Funzione caratteristica

Punto 6 del programma ("funzione caratteristica: definizione, proprietà e analogie con la trasformata di Fourier; teorema di Bochner e caratterizzazione della misura di probabilità; applicazioni: somma di v.a. indipendenti, combinazione lineare di gaussiane indipendenti e di vettori gaussiani"). Prerequisiti: Funzione generatrice dei momentiLa funzione generatrice dei momenti M_X(t) = E[e^(tX)] (quando è finita vicino a 0) produce i momenti per derivazione, E[X^k] = M_X^(k)(0); trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti, M_(X+Y) = M_X M_Y, e se finita in un intorno di 0 determina la legge.Funzione generatrice dei momenti →. Seguito: Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie → (teorema di Lévy), Teorema del limite centrale e approssimazione normaleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →.

Perché non basta la funzione generatrice

La Funzione generatrice dei momentiLa funzione generatrice dei momenti M_X(t) = E[e^(tX)] (quando è finita vicino a 0) produce i momenti per derivazione, E[X^k] = M_X^(k)(0); trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti, M_(X+Y) = M_X M_Y, e se finita in un intorno di 0 determina la legge.Funzione generatrice dei momenti → $E[e^{tX}]$ può valere $+\infty$ (code pesanti), e allora non serve a niente. Sostituendo l'esponente reale $tX$ con uno immaginario $i\theta X$ il problema sparisce: $e^{i\theta X}$ è un numero complesso di modulo $1$, quindi la sua media esiste sempre.

Richiamo sui complessi

Per $x \in \mathbb R$ vale la formula di Euleroe^(ix) = cos x + i sin x: il punto di modulo 1 e angolo x nel piano complesso.: $e^{ix} = \cos x + i\sin x$, con $|e^{ix}| = 1$ (il modulo è $\sqrt{\cos^2 x + \sin^2 x} = 1$). Le regole sono quelle di Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi → e Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →; servono soprattutto:

• $e^{ia}e^{ib} = e^{i(a + b)}$ (si sommano gli angoli);
• il coniugato di $e^{ix}$ è $e^{-ix} = \cos x - i\sin x$;
• $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ e $\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$ (sommando e sottraendo le formule di Eulero per $x$ e $-x$).

La media di una v.a. complessa si fa separatamente su parte reale e immaginaria: $E[U + iV] = E[U] + iE[V]$. Resta lineare anche con coefficienti complessi.

Definizione

Definizione (funzione caratteristica). La funzione caratteristica di una v.a. $X$ è $$\varphi_X(\theta) := E\big[e^{i\theta X}\big] = E[\cos(\theta X)] + i\,E[\sin(\theta X)], \qquad \theta \in \mathbb R.$$

Esempio. $X \sim \text{Be}(p)$: $\varphi_X(\theta) = (1 - p) + p\,e^{i\theta}$.

In concreto, col teorema fondamentale del valor medioLa media di g(X) si calcola sommando (o integrando) g(x) per la densità di X, senza trovare la legge di g(X).Valore atteso → applicato separatamente a $\cos(\theta X)$ e $\sin(\theta X)$:

$$\varphi_X(\theta) = \sum_x e^{i\theta x} p_X(x) \ \text{(discreta)}, \qquad \varphi_X(\theta) = \int_{\mathbb R} e^{i\theta x} f_X(x) \, dx \ \text{(a.c.)}.$$

Nel caso Bernoulli la somma ha due termini: $e^{i\theta \cdot 0}(1 - p) + e^{i\theta \cdot 1}p = 1 - p + pe^{i\theta}$. La serie o l'integrale convergono sempre (assolutamente), perché $|e^{i\theta x}| f_X(x) = f_X(x)$ e $\int f_X = 1$.

Analogia con Fourier. Nel caso a.c. $\varphi_X$ è la trasformata di FourierLa funzione che a ogni frequenza θ associa l'integrale di f(x) e^(±iθx): scompone f in oscillazioni. della densità (a meno della convenzione sul segno dell'esponente e sui fattori $2\pi$). Con la convenzione di Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →, $F(\omega) = \int f(x)e^{-j\omega x}dx$, vale $\varphi_X(\theta) = F(-\theta)$: cambia solo il segno dell'esponente. Tutto ciò che si sa sulla trasformata di Fourier (le sue proprietà, in Segnali e Sistemi) si traduce qui: convoluzione ↔ prodotto, traslazione ↔ fase, cambio di scala ↔ cambio di scala inverso, inversione.

Proprietà elementari

Proprietà (elementari della funzione caratteristica).

1. $\varphi_X(0) = 1$.
2. $|\varphi_X(\theta)| \le 1$ per ogni $\theta$.
3. $\varphi_X(-\theta) = \overline{\varphi_X(\theta)}$ (coniugato).
4. $\varphi_X$ è (uniformemente) continua.
5. Affinità: $\varphi_{aX + b}(\theta) = e^{ib\theta}\varphi_X(a\theta)$.
6. Se $X$ è simmetrica ($X$ e $-X$ hanno la stessa legge), $\varphi_X$ è reale e pari.

Esempio. $\varphi_{2X + 1}(\theta) = e^{i\theta}\varphi_X(2\theta)$.

Perché.

1. $\varphi_X(0) = E[e^{0}] = E[1] = 1$.
2. $|E[Z]| \le E[|Z|]$ anche per v.a. complesse (è la disuguaglianza triangolare $\left|\sum z_k\right| \le \sum |z_k|$ portata alle medie), e $|e^{i\theta X}| = 1$, quindi $|\varphi_X(\theta)| \le E[1] = 1$.
3. $e^{-i\theta x} = \cos(\theta x) - i\sin(\theta x)$ è il coniugato di $e^{i\theta x}$, e il coniugato passa dentro la somma o l'integrale (perché coniugare cambia solo il segno della parte immaginaria, e la media è lineare).
4. $|\varphi_X(\theta + h) - \varphi_X(\theta)| \le E\big[|e^{ihX} - 1|\big]$, che non dipende da $\theta$ e tende a $0$ per $h \to 0$ ($|e^{ihX} - 1| \le 2$ e tende a $0$ per ogni valore di $X$, quindi anche la sua media tende a $0$: è il teorema di convergenza dominata, non in programma): per questo la continuità è uniforme.
5. $e^{i\theta(aX + b)} = e^{ib\theta}e^{i(a\theta)X}$, e il numero $e^{ib\theta}$ esce dalla media.
6. Se $X$ e $-X$ hanno la stessa legge, $E[\sin(\theta X)] = E[\sin(\theta(-X))] = E[-\sin(\theta X)] = -E[\sin(\theta X)]$ (il seno è dispari), quindi $E[\sin(\theta X)] = 0$ e resta solo la parte reale $E[\cos(\theta X)]$, che è pari in $\theta$ perché il coseno è pari (Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →).

Esempi

Bernoulli $\text{Be}(p)$: $\varphi(\theta) = 1 - p + pe^{i\theta}$.

Binomiale $\text{Bin}(n, p)$: $\varphi(\theta) = (1 - p + pe^{i\theta})^n$ (stesso conto della f.g.m. con $e^t \to e^{i\theta}$).

Poisson $\text{Poi}(\lambda)$: $\varphi(\theta) = e^{\lambda(e^{i\theta} - 1)}$. Stesso conto della f.g.m.: $\sum_k e^{i\theta k}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda}\sum_k \frac{(\lambda e^{i\theta})^k}{k!} = e^{-\lambda}e^{\lambda e^{i\theta}}$, perché la serie esponenziale $\sum_k \frac{w^k}{k!} = e^w$ vale anche per $w$ complesso (Funzioni elementari complesseLe funzioni elementari complesse sono estese tramite le loro serie di potenze nel piano complesso. La formula di Eulero $e^{iz} = \cos z + i \sin z$ collega l'esponenziale alle funzioni trigonometriche, mentre il logaritmo complesso risulta essere una funzione polidroma.Funzioni elementari complesse →).

Geometrica $\text{Geo}(p)$: $\varphi(\theta) = \dfrac{pe^{i\theta}}{1 - (1 - p)e^{i\theta}}$ (serie geometrica di ragione $(1 - p)e^{i\theta}$, che ha modulo $1 - p < 1$: converge sempre). Come per la f.g.m., $\sum_{n \ge 1} e^{i\theta n}(1 - p)^{n-1}p = pe^{i\theta}\sum_{m \ge 0} w^m$ con $w = (1 - p)e^{i\theta}$, e la serie geometricaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → $\sum_{m \ge 0} w^m = \frac{1}{1 - w}$ vale anche per $w$ complesso con $|w| < 1$ (le somme parziali sono $\frac{1 - w^{N+1}}{1 - w}$ e $|w^{N+1}| = |w|^{N+1} \to 0$). Qui non ci sono restrizioni su $\theta$, a differenza della f.g.m.

Esponenziale $\text{Exp}(\lambda)$: $\varphi(\theta) = \dfrac{\lambda}{\lambda - i\theta}$. Passaggi. Con $c = \lambda - i\theta$ (complesso, con parte reale $\lambda > 0$): $$\varphi(\theta) = \int_0^\infty e^{i\theta x}\lambda e^{-\lambda x}dx = \lambda\int_0^\infty e^{-cx}dx = \lambda\lim_{R \to \infty}\frac{1 - e^{-cR}}{c} = \frac{\lambda}{c},$$ perché $|e^{-cR}| = e^{-\lambda R}|e^{i\theta R}| = e^{-\lambda R} \to 0$; la primitiva $-\frac{e^{-cx}}{c}$ si deriva come nel caso reale.

Uniforme $U(-a, a)$: $\varphi(\theta) = \dfrac{\sin(a\theta)}{a\theta}$ (reale, perché simmetrica). Passaggi. Per $\theta \ne 0$, con la densità $\frac{1}{2a}$ su $[-a, a]$: $$\varphi(\theta) = \frac{1}{2a}\int_{-a}^a e^{i\theta x}dx = \frac{1}{2a}\cdot\frac{e^{ia\theta} - e^{-ia\theta}}{i\theta} = \frac{1}{a\theta}\cdot\frac{e^{ia\theta} - e^{-ia\theta}}{2i} = \frac{\sin(a\theta)}{a\theta},$$ usando $\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$. In $\theta = 0$ vale $1$, coerente con il limite notevoleI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni → $\frac{\sin y}{y} \to 1$. È la funzione $\text{sinc}$ di Segnali e SistemiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →: la densità uniforme è un rettangolo, e la trasformata di un rettangolo è un seno cardinale.

Gaussiana $N(\mu, \sigma^2)$: $$\varphi(\theta) = e^{i\mu\theta - \frac12\sigma^2\theta^2}.$$ Per $N(0, 1)$ si ottiene $e^{-\theta^2/2}$: la gaussiana standard è (a meno di costanti) la propria trasformata di Fourier. Il caso generale segue dalla proprietà 5 con $X = \mu + \sigma Z$.

Passaggi per $N(0, 1)$. Il completamento del quadrato della Funzione generatrice dei momentiLa funzione generatrice dei momenti M_X(t) = E[e^(tX)] (quando è finita vicino a 0) produce i momenti per derivazione, E[X^k] = M_X^(k)(0); trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti, M_(X+Y) = M_X M_Y, e se finita in un intorno di 0 determina la legge.Funzione generatrice dei momenti → porterebbe a una gaussiana "traslata di un numero immaginario", che richiede l'analisi complessa. Più semplice usare i momenti: per lo sviluppo in serie dell'esponenziale $\varphi_Z(\theta) = \sum_k \frac{(i\theta)^k E[Z^k]}{k!}$, i momenti dispari sono $0$ e $E[Z^{2m}] = \frac{(2m)!}{2^m m!}$, quindi, con $(i\theta)^{2m} = (i^2)^m\theta^{2m} = (-1)^m\theta^{2m}$, $$\varphi_Z(\theta) = \sum_{m \ge 0}\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!}\cdot\frac{(2m)!}{2^m m!} = \sum_{m \ge 0}\frac{1}{m!}\left(-\frac{\theta^2}{2}\right)^m = e^{-\theta^2/2}.$$ Poi, per $X = \mu + \sigma Z$: $\varphi_X(\theta) = e^{i\mu\theta}\varphi_Z(\sigma\theta) = e^{i\mu\theta}e^{-\sigma^2\theta^2/2}$.

Esempio d'esame: v.a. discreta a tre valori (II appello 12.02.2026, Esercizio 25 · convergenze di Xn a valori −√n, 0, √n). $P(X_n = \pm\sqrt n) = \frac1n$, $P(X_n = 0) = 1 - \frac2n$: $$\varphi_n(\theta) = \left(1 - \frac2n\right) + \frac1n\left(e^{i\theta\sqrt n} + e^{-i\theta\sqrt n}\right) = 1 - \frac2n + \frac2n\cos(\theta\sqrt n),$$ usando $e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos x$. È reale perché $X_n$ è simmetrica.

Esempio d'esame: densità lineare (III appello 24.06.2026, Esercizio 15 · densità c(1+x) e radice quadrata). $f_X(x) = \frac23(1 + x)$ su $[0, 1]$. Per $\theta \ne 0$, con $\int_0^1 e^{i\theta x}dx = \frac{e^{i\theta} - 1}{i\theta}$ e (per parti) $\int_0^1 xe^{i\theta x}dx = \frac{e^{i\theta}}{i\theta} - \frac{e^{i\theta} - 1}{(i\theta)^2}$: $$\varphi_X(\theta) = \frac23\left[\frac{e^{i\theta} - 1}{i\theta} + \frac{e^{i\theta}}{i\theta} - \frac{e^{i\theta} - 1}{(i\theta)^2}\right], \qquad \varphi_X(0) = 1.$$

Da dove vengono i due integrali. Per linearità $\varphi_X(\theta) = \frac23\left(\int_0^1 e^{i\theta x}dx + \int_0^1 xe^{i\theta x}dx\right)$. Il primo ha primitiva $\frac{e^{i\theta x}}{i\theta}$: tra $0$ e $1$ dà $\frac{e^{i\theta} - 1}{i\theta}$. Il secondo si fa per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti → con $u = x$ (che derivato dà $1$) e $dv = e^{i\theta x}dx$ (con $v = \frac{e^{i\theta x}}{i\theta}$): $$\int_0^1 xe^{i\theta x}dx = \left[x\frac{e^{i\theta x}}{i\theta}\right]_0^1 - \int_0^1\frac{e^{i\theta x}}{i\theta}dx = \frac{e^{i\theta}}{i\theta} - \frac{e^{i\theta} - 1}{(i\theta)^2}.$$ Raccogliendo, con $(i\theta)^2 = -\theta^2$, si può scrivere anche $\varphi_X(\theta) = \frac23\left[\frac{2e^{i\theta} - 1}{i\theta} + \frac{e^{i\theta} - 1}{\theta^2}\right]$. Controllo numerico in $\theta = 1{,}3$: entrambe le forme danno $0{,}6993 + 0{,}6186\,i$, lo stesso valore di $E[\cos(1{,}3X)] + iE[\sin(1{,}3X)]$ calcolato integrando numericamente. In $\theta = 0$ la formula non si può usare (divisione per $0$), ma $\varphi_X(0) = 1$ vale sempre (proprietà 1).

Momenti

Teorema (momenti dalla funzione caratteristica). Se $E[|X|^k] < \infty$, allora $\varphi_X$ è derivabile $k$ volte e $$\varphi_X^{(k)}(0) = i^k E[X^k], \qquad \text{cioè} \quad E[X^k] = \frac{\varphi_X^{(k)}(0)}{i^k}.$$

Esempio. $X \sim \text{Be}(p)$: $\varphi_X'(\theta) = ip\,e^{i\theta}$ (la derivata di $e^{i\theta}$ rispetto a $\theta$ è $ie^{i\theta}$, come per $e^{c\theta}$ con $c = i$), quindi $\varphi_X'(0) = i p$ e $E[X] = \frac{\varphi_X'(0)}{i} = p$.

Perché: derivando sotto il segno di media (Integrali dipendenti da parametriUn integrale dipendente da un parametro è F(y) = ∫ab f(x,y) dx. Se f è continua sul rettangolo [a,b]×[c,d], F è continua su [c,d] (quindi si può portare il limite sotto il segno di integrale: lim F(y) = ∫ lim f). Se anche ∂f/∂y è continua, F è derivabile e F'(y) = ∫ab ∂f/∂y (x,y) dx (derivazione sotto il segno di integrale, regola di Leibniz). Con estremi variabili, G(y) = ∫α(y)β(y) f(x,y) dx, vale G' = f(β,y)β' − f(α,y)α' + ∫ ∂f/∂y dx. Serve per calcolare integrali che non hanno primitiva elementare.Integrali dipendenti da parametri →), $\frac{d^k}{d\theta^k}e^{i\theta X} = (iX)^k e^{i\theta X}$ (ogni derivata fa scendere un fattore $iX$); in $\theta = 0$ resta $i^k X^k$, e la media dà $i^k E[X^k]$. In particolare, poiché $\frac1i = -i$ (infatti $i \cdot (-i) = -i^2 = 1$) e $i^2 = -1$: $E[X] = -i\varphi'(0)$ e $E[X^2] = -\varphi''(0)$.

Esempio (esponenziale). $\varphi(\theta) = \lambda(\lambda - i\theta)^{-1}$, $\varphi'(\theta) = \lambda(\lambda - i\theta)^{-2}\cdot i$ (regola della catena: la derivata interna di $\lambda - i\theta$ è $-i$, e il segno meno si cancella con quello di $-1$ all'esponente), $\varphi''(\theta) = 2\lambda(\lambda - i\theta)^{-3}\cdot i^2$. In $0$: $\varphi'(0) = \frac{i}{\lambda}$, quindi $E[X] = -i \cdot \frac{i}{\lambda} = \frac1\lambda$; $\varphi''(0) = -\frac{2}{\lambda^2}$, quindi $E[X^2] = \frac{2}{\lambda^2}$, come con la f.g.m.

Sviluppo di Taylor (serve per il teorema del limite centraleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →): se $E[X] = 0$ e $E[X^2] = \sigma^2$, $$\varphi_X(\theta) = 1 - \frac{\sigma^2\theta^2}{2} + o(\theta^2), \qquad \theta \to 0.$$ È la Formula di Taylor con resto di PeanoUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano → al secondo ordine in $0$, $\varphi(\theta) = \varphi(0) + \varphi'(0)\theta + \frac{\varphi''(0)}{2}\theta^2 + o(\theta^2)$, con $\varphi(0) = 1$, $\varphi'(0) = iE[X] = 0$ e $\varphi''(0) = i^2E[X^2] = -\sigma^2$. Basta che $E[X^2]$ sia finito, perché il teorema sopra con $k = 2$ garantisce le due derivate.

Somme di v.a. indipendenti

Proprietà (funzione caratteristica di una somma di indipendenti). Se $X$ e $Y$ sono indipendenti: $\quad \varphi_{X + Y}(\theta) = \varphi_X(\theta)\,\varphi_Y(\theta)$.

Esempio. $X, Y \sim \text{Be}(p)$ indipendenti: $\varphi_{X+Y}(\theta) = \big(1 - p + p\,e^{i\theta}\big)^2$, la funzione caratteristica di $\text{Bin}(2, p)$.

Stesso motivo della f.g.m.: $e^{i\theta(X + Y)} = e^{i\theta X}e^{i\theta Y}$ e la media del prodotto di funzioni di v.a. indipendenti è il prodotto delle medie (Vettori aleatori discretiUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →, Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →; per i complessi si applica a parte reale e immaginaria, sviluppando il prodotto). È la versione probabilistica di "la trasformata di una convoluzione è il prodotto delle trasformate" (Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →): la densità di $X + Y$ è la convoluzione $f_X * f_Y$ (Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →).

Combinazione lineare di gaussiane indipendenti. $X_k \sim N(\mu_k, \sigma_k^2)$ indipendenti, $S = \sum a_k X_k$: $$\varphi_S(\theta) = \prod_k \varphi_{X_k}(a_k\theta) = \prod_k e^{ia_k\mu_k\theta - \frac12 a_k^2\sigma_k^2\theta^2} = e^{i(\sum a_k\mu_k)\theta - \frac12(\sum a_k^2\sigma_k^2)\theta^2},$$ che è la funzione caratteristica di $N(\sum a_k\mu_k, \sum a_k^2\sigma_k^2)$. Per l'unicità (sotto), $S$ ha quella legge.

Passaggi. Le $a_kX_k$ sono indipendenti (funzioni di v.a. indipendenti), quindi $\varphi_S$ è il prodotto delle $\varphi_{a_kX_k}$; per l'affinità con $b = 0$, $\varphi_{a_kX_k}(\theta) = \varphi_{X_k}(a_k\theta)$; si sostituisce $a_k\theta$ al posto di $\theta$ nella formula della gaussiana, $e^{i\mu_k(a_k\theta) - \frac12\sigma_k^2(a_k\theta)^2}$; infine il prodotto di esponenziali è l'esponenziale della somma degli esponenti, e si raccolgono $i\theta$ e $-\frac12\theta^2$. Ad esempio, con $X_1, X_2 \sim N(0, 1)$ indipendenti, $X_1 - X_2$ ($a_1 = 1$, $a_2 = -1$) è $N(0, 1 + 1) = N(0, 2)$: la varianza si somma anche quando si sottrae, perché compare $a_k^2$.

Esempio (I appello 15.01.2026, Esercizio 18 · vettore gaussiano con covarianza diagonale): $V = X + Y \sim N(0, 4)$ e $W = 2 + V$. Per l'affinità: $$\varphi_W(\theta) = e^{2i\theta}\varphi_V(\theta) = e^{2i\theta}e^{-\frac12 \cdot 4\theta^2} = e^{2i\theta - 2\theta^2}.$$

Qui $a = 1$, $b = 2$ e $\varphi_V(\theta) = e^{-\frac12\sigma^2\theta^2}$ con $\sigma^2 = 4$ e $\mu = 0$. Si riconosce la funzione caratteristica di $N(2, 4)$: traslare di $2$ aggiunge solo la fase $e^{2i\theta}$ e non cambia il modulo.

Vettori. Per $X$ in $\mathbb R^n$ si definisce $\varphi_X(\theta) = E[e^{i\theta^T X}]$, $\theta \in \mathbb R^n$, dove $\theta^TX = \theta_1X_1 + \dots + \theta_nX_n$ è il prodotto scalareIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →. Per $X \sim N(m, \Sigma)$: $\varphi_X(\theta) = e^{i\theta^T m - \frac12\theta^T\Sigma\theta}$, dove $\theta^T\Sigma\theta$ è la forma quadraticaUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche → associata alla matrice di covarianza (è la varianza di $\theta^TX$, quindi $\ge 0$), ed è la strada più breve per dimostrare le proprietà dei Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →. Le componenti sono indipendenti se e solo se $\varphi_X(\theta_1, \dots, \theta_n) = \prod_k \varphi_{X_k}(\theta_k)$.

Somme con un numero aleatorio di termini

(II parziale 15.01.2026, Esercizio 22 · somma di un numero geometrico di Bernoulli.) $Y = X_1 + \dots + X_T$ con $X_k \sim \text{Be}(p)$ e $T \sim \text{Geo}(q)$, tutte indipendenti. Con la proprietà della torreLa densità condizionata di X dato Y = y è p(x, y)/p_Y(y) nel discreto e f(x, y)/f_Y(y) nel continuo; la sua media è E[X | Y = y], e E[X | Y] è la v.a. che si ottiene sostituendo y con Y. Proprietà della torre: E[E[X | Y]] = E[X]. Per un vettore gaussiano, X dato Y = y è gaussiana con media m₁ + (Cov/Var Y)(y − m₂) e varianza σ₁²(1 − ρ²).Densità e media condizionata → e $a := \varphi_{\text{Be}(p)}(\theta) = pe^{i\theta} + 1 - p$:

$$\varphi_Y(\theta) = E\big[E[e^{i\theta Y} \mid T]\big] = E[a^T] = \sum_{k \ge 1} a^k (1 - q)^{k - 1}q = \frac{qa}{1 - (1 - q)a}.$$

Passaggi. Sapendo che $T = k$, $Y$ è la somma di $k$ Bernoulli indipendenti (e indipendenti da $T$, quindi condizionare a $T = k$ non ne cambia la legge): la sua funzione caratteristica è il prodotto di $k$ fattori uguali, $E[e^{i\theta Y} \mid T = k] = a^k$. Quindi $E[e^{i\theta Y} \mid T] = a^T$, e la torre dice che la media di questa v.a. è $\varphi_Y(\theta)$. La media $E[a^T]$ si calcola con il teorema fondamentale e la densità geometrica $(1 - q)^{k-1}q$; portando fuori $qa$ resta $\sum_{k \ge 1}\big((1 - q)a\big)^{k-1} = \frac{1}{1 - (1 - q)a}$ (serie geometricaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →).

La serie converge perché $|a| = |pe^{i\theta} + 1 - p| \le p|e^{i\theta}| + (1 - p) = 1$ (disuguaglianza triangolare) e quindi $|(1 - q)a| \le 1 - q < 1$. Se $q = 1$ ($T = 1$ sempre) la formula dà $a$: correttamente $Y = X_1 \sim \text{Be}(p)$.

Unicità, inversione e teorema di Bochner

Teorema (di unicità). Unicità. Due v.a. con la stessa funzione caratteristica hanno la stessa legge.

Esempio. Se $\varphi_X(\theta) = 1 - p + p\,e^{i\theta}$ allora $X \sim \text{Be}(p)$.

Teorema (di inversione). Inversione. Se $\int_{\mathbb R} |\varphi_X(\theta)| \, d\theta < \infty$, allora $X$ è a.c. con densità $$f_X(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R} e^{-i\theta x}\varphi_X(\theta) \, d\theta.$$

Esempio. $\varphi(\theta) = e^{-\theta^2/2}$ è integrabile e l'inversione restituisce $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$, la densità di $N(0,1)$.

È la formula di antitrasformata di Fourier ("sintesi" in Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →, con $\omega = -\theta$, che spiega il segno $-$ nell'esponente). L'ipotesi $\int|\varphi_X| < \infty$ esclude le v.a. discrete: per esse $|\varphi_X|$ non tende a $0$ (per la Bernoulli $|1 - p + pe^{i\theta}|$ torna a $1$ ogni volta che $\theta$ è multiplo di $2\pi$). Ne segue che la funzione caratteristica caratterizza la misura di probabilità (da qui il nome): per trovare la legge di una v.a. basta riconoscerne la funzione caratteristica.

Teorema di Bochner. Una funzione $\varphi : \mathbb R \to \mathbb C$ è la funzione caratteristica di qualche v.a. se e solo se $\varphi(0) = 1$, $\varphi$ è continua e $\varphi$ è definita positiva: per ogni scelta di $\theta_1, \dots, \theta_n \in \mathbb R$ e $c_1, \dots, c_n \in \mathbb C$, $$\sum_{j,k} c_j \overline{c_k}\,\varphi(\theta_j - \theta_k) \ge 0.$$

Esempio. $\varphi(\theta) = e^{-\theta^2/2}$, funzione caratteristica di $N(0,1)$, soddisfa $\varphi(0) = 1$, è continua ed è definita positiva.

La necessità è facile: la somma vale $E\left[\left|\sum_j c_j e^{i\theta_j X}\right|^2\right] \ge 0$. Infatti $|w|^2 = w\overline w$, e con $w = \sum_j c_je^{i\theta_jX}$, $\overline w = \sum_k \overline{c_k}e^{-i\theta_kX}$: $$|w|^2 = \sum_{j,k}c_j\overline{c_k}\,e^{i(\theta_j - \theta_k)X} \implies E\big[|w|^2\big] = \sum_{j,k}c_j\overline{c_k}\,\varphi(\theta_j - \theta_k),$$ e la media di una quantità $\ge 0$ è $\ge 0$. Con $n = 1$ ritorna $|c_1|^2\varphi(0) \ge 0$; con $n = 2$, $c_1 = 1$, $c_2 = -1$ si ottiene $2 - 2\,\text{Re}\,\varphi(\theta_1 - \theta_2) \ge 0$, cioè $\text{Re}\,\varphi \le 1$. La sufficienza è il contenuto profondo del teorema (non dimostrato nel corso). Uso pratico: una funzione con $|\varphi(\theta)| > 1$ per qualche $\theta$, o con $\varphi(0) \ne 1$, o discontinua, non è una funzione caratteristica.

Convergenza

Il teorema di continuità di Lévy dice che $X_n \to X$ in distribuzione se e solo se $\varphi_{X_n}(\theta) \to \varphi_X(\theta)$ per ogni $\theta$. Nell'esempio del II appello: $\varphi_n(\theta) = 1 - \frac2n + \frac2n\cos(\theta\sqrt n) \to 1$ per ogni $\theta$ (il coseno è limitato e $\frac2n \to 0$), e $1$ è la funzione caratteristica della costante $0$: quindi $X_n \to 0$ in distribuzione. Dettagli in Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →.

Tabella

Errori comuni

• Dimenticare la $i$: $E[X] = -i\varphi'(0)$, non $\varphi'(0)$.
• Mettere $\sigma$ invece di $\sigma^2$ nell'esponente della gaussiana: è $-\frac12\sigma^2\theta^2$.
• Applicare l'affinità al rovescio: $\varphi_{aX + b}(\theta) = e^{ib\theta}\varphi_X(a\theta)$; la $b$ dà una fase, la $a$ riscala l'argomento.
• Moltiplicare le funzioni caratteristiche di v.a. non indipendenti.