Limiti notevoli di funzioni

Lezioni 21-22. Prerequisiti: Limite di funzioni composte (cambio di variabile)Se g(x) → y0 e f(y) → ℓ per y → y0, allora f(g(x)) → ℓ, purché g(x) ≠ y0 vicino a x0 (ipotesi inutile se y0 = ±∞ o f è continua in y0): si sostituisce y = g(x).Limite di funzioni composte (cambio di variabile) →, Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →, Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → (il numero $e$).

La gerarchia degli infiniti risolve le forme indeterminate "all'infinito". Per le forme $\frac00$ (tipicamente per $x \to 0$) servono invece alcuni limiti di riferimento, i limiti notevoli. Si usano insieme al cambio di variabile: se $f(x) \to 0$, al posto di $x$ si può mettere $f(x)$.

Gruppo 1: esponenziali, logaritmi, potenze

Formula (limiti notevoli: esponenziali, logaritmi, potenze). Per ogni $a > 0$, $a \ne 1$:

	Limite	Con base $e$
1	$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e$
2	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1 + x)}{x} = \log_a e$	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1$
3	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log a$	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
4	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha \quad (\alpha \in \mathbb{R},\ \alpha \ne 0)$

Esempio. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{3x} = 3$.

Verifica numerica con $x = 0{,}01$: $\frac{\log(1{,}01)}{0{,}01} \approx 0{,}995$, $\frac{e^{0{,}01} - 1}{0{,}01} \approx 1{,}005$, $\frac{\sqrt{1{,}01} - 1}{0{,}01} \approx 0{,}4988 \approx \frac12$.

Dimostrazioni

Derivano tutti dal limite 1.

Limite 1. Per le successioni si sa che, per ogni successione $a_n \to +\infty$ (oppure $a_n \to -\infty$), $\left(1 + \frac{1}{a_n}\right)^{a_n} \to e$. Per il teorema pontelim f(x) = ℓ se e solo se f(x_n) → ℓ per ogni successione x_n del dominio, diversa da x0, che tende a x0.Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni → questo è proprio $\lim_{x \to \pm\infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e$.

Una forma equivalente. Con il cambio di variabile $y = \frac1x$ (strettamente monotona): per $x \to +\infty$ si ha $y \to 0^+$, per $x \to -\infty$ si ha $y \to 0^-$, e $\left(1 + \frac1x\right)^x = (1 + y)^{1/y}$. Quindi limite destro e sinistro in $0$ valgono entrambi $e$:

$$\lim_{y \to 0} (1 + y)^{1/y} = e$$

Limite 2. Per le proprietà del logaritmo, $\frac1x\log_a(1 + x) = \log_a\left[(1 + x)^{1/x}\right]$, e il logaritmo è continuo (il limite "salta dentro"):

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \log_a\left[(1 + x)^{1/x}\right] = \log_a\left(\lim_{x \to 0}(1 + x)^{1/x}\right) = \log_a e$$

Limite 3. Si pone $y = a^x - 1$: per $x \to 0$, $y \to a^0 - 1 = 0$, e da $a^x = 1 + y$ si ricava $x = \log_a(1 + y)$. Allora, per il limite 2,

$$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\log_a(1 + y)} = \frac{1}{\log_a e} = \log a$$

(l'ultimo passaggio è il cambio di base: $\log_a e = \frac{\log e}{\log a} = \frac{1}{\log a}$).

Limite 4 (non è sul libro). Forma esponenziale: $(1 + x)^\alpha = e^{\alpha\log(1 + x)}$. Si moltiplica e si divide per $\alpha\log(1 + x)$:

$$\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \frac{e^{\alpha\log(1 + x)} - 1}{\alpha\log(1 + x)} \cdot \frac{\alpha\log(1 + x)}{x}$$

• Nel primo fattore si pone $y = \alpha\log(1 + x) \to 0$: diventa $\frac{e^y - 1}{y} \to 1$ (limite 3).
• Il secondo tende a $\alpha \cdot 1 = \alpha$ (limite 2).

Il prodotto tende ad $\alpha$ ∎.

Il 4 può essere difficile da riconoscere. Casi particolari:

• $\alpha = 2$: $\frac{(1 + x)^2 - 1}{x} = \frac{2x + x^2}{x} = 2 + x \to 2$;
• $\alpha = \frac12$: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = \frac12$;
• $\alpha = -\frac13$: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt[3]{1 + x}} - 1}{x} = -\frac13$.

Gruppo 2: funzioni trigonometriche

Formula (limiti notevoli trigonometrici).

	Limite
1	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
2	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
3	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$
4	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$
5	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$
6	$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right) = 1$

Esempio. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = 5 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 5$ e $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Dimostrazioni

Derivano tutte dal limite 1.

Limite 1. $\frac{\sin x}{x}$ è pari (rapporto di due funzioni dispari), quindi limite destro e sinistro in $0$ coincidono: basta calcolare quello destro, e si può supporre $0 < x < \frac{\pi}{2}$.

Sulla circonferenza goniometrica, con l'angolo $x$ in radianti, si confrontano tre lunghezze: il segmento verticale $\sin x$, l'arco $x$, e il segmento della tangente $\tan x$ (sulla retta verticale $X = 1$). Il segmento è più corto dell'arco, e l'arco è più corto del segmento di tangente:

$$0 < \sin x < x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

Si divide per $\sin x > 0$: $1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$, e passando ai reciproci (che rovesciano le disuguaglianze tra positivi):

$$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$$

Per $x \to 0^+$, $\cos x \to \cos 0 = 1$ (continuità del coseno). Per il teorema del confronto (carabinieri) $\frac{\sin x}{x} \to 1$ ∎.

Limite 2. $\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \to 1 \cdot \frac11 = 1$.

Limite 3. Si moltiplica e si divide per $1 + \cos x$ (che tende a $2$, quindi non dà problemi), usando $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$:

$$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2} \cdot \frac{1}{1 + \cos x} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \to 1^2 \cdot \frac12 = \frac12$$

Limite 4. Si pone $y = \arcsin x$: per $x \to 0$, $y \to \arcsin 0 = 0$, e $x = \sin y$. Allora $\frac{\arcsin x}{x} = \frac{y}{\sin y} \to \frac11 = 1$.

Limite 5. Allo stesso modo con $y = \arctan x$, $x = \tan y$: $\frac{\arctan x}{x} = \frac{y}{\tan y} \to 1$.

Limite 6. È una forma $\infty \cdot 0$ (cioè $\frac00$ se si scrive $\frac{\frac{\pi}{2} - \arctan x}{1/x}$). Si pone $y = \frac{\pi}{2} - \arctan x$: per $x \to +\infty$, $\arctan x \to \frac{\pi}{2}$ e quindi $y \to 0^+$. Da $\arctan x = \frac{\pi}{2} - y$ si ricava $x = \tan\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \frac{\cos y}{\sin y}$ (formule degli archi associati). Allora

$$x\left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right) = \frac{\cos y}{\sin y} \cdot y = \cos y \cdot \frac{y}{\sin y} \to 1 \cdot 1 = 1$$

I limiti notevoli come asintoticità

Un limite del tipo $\lim \frac{f}{g} = 1$ dice esattamente che $f \sim g$. Per esempio $\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$ significa $e^x - 1 \sim x$, cioè $e^x - 1 = x + o(x)$, cioè $e^x = 1 + x + o(x)$ per $x \to 0$. Così tutti i limiti notevoli si riscrivono come asintoticità, che è la forma comoda per i calcoli.

Proprietà (limiti notevoli come asintoticità). Per $x \to 0$:

	Asintoticità	Forma con o-piccolo
1	$\log(1 + x) \sim x$ $\quad$ ($\log_a(1 + x) \sim x\log_a e$)	$\log(1 + x) = x + o(x)$
2	$e^x - 1 \sim x$ $\quad$ ($a^x - 1 \sim x\log a$)	$e^x = 1 + x + o(x)$
3	$(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$	$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + o(x)$
4	$\sin x$, $\tan x$, $\arcsin x$, $\arctan x$ $\sim x$	$\sin x = x + o(x)$, ecc.
5	$1 - \cos x \sim \frac12 x^2$	$\cos x = 1 - \frac12 x^2 + o(x^2)$

e per $x \to +\infty$: $\frac{\pi}{2} - \arctan x \sim \frac1x$, cioè $\frac{\pi}{2} - \arctan x = \frac1x + o\left(\frac1x\right)$.

Esempio. Per $x \to 0$: $\sin 3x \sim 3x$ e $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$, quindi $\frac{\sin 3x}{1 - \cos x} \sim \frac{3x}{x^2/2} = \frac{6}{x}$.

Con le funzioni composte

Grazie al cambio di variabile, i limiti notevoli valgono anche per $x \to x_0$ qualunque ($x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$, non solo $0$), purché l'argomento tenda a $0$. Per esempio, se $f(x) \to 0$ per $x \to x_0$ (e $f(x) \ne 0$ vicino a $x_0$), con $y = f(x) \to 0$:

$$\lim_{x \to x_0} \frac{\sin f(x)}{f(x)} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \qquad \Rightarrow \qquad \sin f(x) \sim f(x) \text{ per } x \to x_0$$

Lo stesso vale per tutte le asintoticità della tabella. Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$, per $x \to x_0$:

Esempi.

• $\log(1 - 6x^5)$ per $x \to 0$: $f(x) = -6x^5 \to 0$, quindi $\log(1 - 6x^5) \sim -6x^5$, cioè $\log(1 - 6x^5) = -6x^5 + o(x^5)$.
• $\arctan(x + x^3)$ per $x \to 0$: $\arctan(x + x^3) \sim x + x^3 \sim x$, cioè $\arctan(x + x^3) = x + o(x)$.
• $\sin(e^{-x})$ per $x \to +\infty$: $e^{-x} \to 0$, quindi $\sin(e^{-x}) \sim e^{-x}$.
• Anche con le successioni: $e^{\frac1n + \frac{2}{n^3}} - 1 \sim \frac1n + \frac{2}{n^3} \sim \frac1n$, cioè $e^{\frac1n + \frac{2}{n^3}} = 1 + \frac1n + o\left(\frac1n\right)$ per $n \to +\infty$.

Attenzione: l'argomento deve tendere a $0$. Per $x \to +\infty$, $\sin x$ non è asintotico a $x$ (anzi $\sin x = o(x)$).

Un'osservazione utile. Se $\lim_{x \to x_0} g(x) = \ell \in \mathbb{R}$ con $\ell \ne 0$, allora $g(x) \sim \ell$ (perché $\frac{g(x)}{\ell} \to 1$): una funzione che tende a un numero non nullo si può sostituire con quel numero nei prodotti e quozienti.

Quando resta solo un o-piccolo: gli sviluppi di Mac-Laurin (anticipo)

Lezione 26. Con i limiti notevoli si arriva al "primo ordine". A volte non basta: in una forma $\frac00$ i termini principali del numeratore (o del denominatore) si cancellano e resta solo un o-piccolo, che non dice nulla. Esempio:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x + o(x) - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{o(x)}{x^3} = \ ?$$

Un $o(x)$ diviso $x^3$ può fare qualunque cosa.

L'idea. I limiti notevoli dicono che vicino a $0$ certe funzioni sono approssimate da un polinomio di primo grado (la retta tangente: $\sin x = x + o(x)$) o di secondo grado ($\cos x = 1 - \frac12 x^2 + o(x^2)$, una parabola). In realtà tutte le funzioni elementari, vicino a $0$, si approssimano con un polinomio di qualunque grado $n$, con errore $o(x^n)$: sono gli sviluppi di Mac-Laurin (la teoria completa, con la formula di Taylor, arriva nella lezione 31). Per esempio

$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^m\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} + o(x^{2m+2})$$

e con questo $\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-\frac16 x^3 + o(x^4)}{x^3} \to -\frac16$.

Una regola utile: se $f$ è dispari, il suo sviluppo contiene solo potenze dispari di $x$; se è pari, solo potenze pari. (Per questo nello sviluppo del seno l'errore dopo $x^{2m+1}$ è già $o(x^{2m+2})$: il termine di grado $2m + 2$ è nullo.)

Quanto sviluppare. In genere basta arrivare un grado sopra il grado massimo di $x$ che compare "da solo" nell'espressione; se resta ancora solo un o-piccolo, si aggiunge un termine. La tabella completa degli sviluppi e le regole per combinarli sono in Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →; esempi in Esercizio 74 · limiti con gli sviluppi di Mac-Laurin.

Errori comuni

• Usare i limiti notevoli quando l'argomento non tende a $0$: $\frac{\log(1 + x)}{x} \to 1$ solo per $x \to 0$; per $x \to +\infty$ tende a $0$.
• Dimenticare il fattore: $\log(1 + 5x) \sim 5x$, non $x$; $1 - \cos(3x) \sim \frac12(3x)^2 = \frac92 x^2$.
• Sostituire con un asintotico dentro una somma (per esempio in $x - \sin x$ scrivere $x - x = 0$): nelle somme si usano le forme con l'o-piccolo e si controlla che non resti solo un o-piccolo.

Esercizi: Esercizio 61 · arctan² x su 1 - cos x e somme con tan e sin, Esercizio 62 · sin(e^-x) su e^-x a più e meno infinito, Esercizio 63 · limiti con log(1+1/n², e^-1/n) e arcsin.