Archimedeità di ℕ

Che cosa dice, in parole semplici

Per quanto grande sia un numero reale, c'è sempre un numero naturale ancora più grande. In altre parole: i naturali non hanno un "tetto".

Può sembrare ovvio ("se ho $1000000$ conto fino a $1000001$"), ma in matematica va dimostrato a partire dagli assiomi di $\mathbb{R}$, e soprattutto è lo strumento che permette di dire "esiste un $n$ abbastanza grande" nelle dimostrazioni sugli inf e sup.

Enunciato

Teorema (archimedeità di ℕ). $\mathbb{N}$ non è limitato superiormente in $\mathbb{R}$. Cioè: per ogni numero reale $x$ esiste $n \in \mathbb{N}$ tale che $n > x$.

Esempio. Per $x = 1000{,}5$ basta $n = 1001$: $1001 > 1000{,}5$.

Formulazione equivalente

Proprietà (formulazione equivalente dell'archimedeità). Dati $a > 0$ e $b$ reali, esiste $n \in \mathbb{N}$ tale che $n \cdot a > b$.

Esempio. Con $a = 0{,}01$ e $b = 5$ serve $n \cdot 0{,}01 > 5$, cioè $n > 500$: va bene $n = 501$, perché $501 \cdot 0{,}01 = 5{,}01 > 5$.

Perché è la stessa cosa. Applicando il primo enunciato al numero reale $\frac{b}{a}$ si ottiene $n > \frac{b}{a}$; moltiplicando per $a > 0$ (verso invariato) si ha $n \cdot a > b$. Sommando abbastanza volte un numero positivo $a$, per quanto piccolo, si supera qualsiasi numero $b$ fissato.

Conseguenza importante

$\frac{1}{n}$ diventa piccolo quanto vogliamo. Per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $n \in \mathbb{N}$ tale che $\frac{1}{n} < \varepsilon$.

Dimostrazione passo per passo:

1. Il numero $\frac{1}{\varepsilon}$ è un numero reale (e positivo).
2. Per l'archimedeità esiste $n \in \mathbb{N}$ con $n > \frac{1}{\varepsilon}$. Poiché $\frac{1}{\varepsilon} > 0$, anche $n > 0$, quindi $n \ge 1$.
3. Moltiplichiamo entrambi i membri di $n > \frac{1}{\varepsilon}$ per il numero positivo $\frac{\varepsilon}{n}$ (non cambia il verso): $\varepsilon > \frac{1}{n}$ ✓.

Variante usata negli esercizi (con una costante $c > 0$ al numeratore): per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $n$ con $\frac{c}{n} < \varepsilon$. Basta prendere $n > \frac{c}{\varepsilon}$ (stesso ragionamento). Nell'Esercizio 2 · max min inf sup di (n+2)/n si ha $c = 2$ e quindi $n > \frac{2}{\varepsilon}$.

Dimostrazione dell'archimedeità

Si usa l'assioma di completezza di $\mathbb{R}$ (vedi Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) →): ogni insieme non vuoto e limitato superiormente ha un sup.

Per assurdo, supponiamo che $\mathbb{N}$ sia limitato superiormente. Essendo non vuoto, per la completezza ha un sup; chiamiamolo $s$.

1. $s$ è il più piccolo dei maggioranti di $\mathbb{N}$. Quindi $s - 1$, che è più piccolo di $s$, non può essere un maggiorante.
2. Che $s - 1$ non sia un maggiorante significa che esiste un elemento di $\mathbb{N}$ più grande di lui: esiste $n \in \mathbb{N}$ con $n > s - 1$.
3. Sommando $1$ ai due membri: $n + 1 > s$.
4. Ma $n + 1$ è ancora un numero naturale, e $s$ è un maggiorante di $\mathbb{N}$, quindi dovrebbe valere $n + 1 \le s$.

I punti 3 e 4 si contraddicono. L'ipotesi iniziale era sbagliata: $\mathbb{N}$ non è limitato superiormente. ∎

Dove si usa e perché

Nelle dimostrazioni sull'inf (e sul sup). Per dimostrare che $L = \inf E$ bisogna mostrare che per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $x \in E$ con $x < L + \varepsilon$. Quando gli elementi di $E$ sono del tipo $L + \frac{c}{n}$, questo equivale a trovare $n$ con $\frac{c}{n} < \varepsilon$, cioè $n > \frac{c}{\varepsilon}$. L'archimedeità garantisce che un tale $n$ esiste, qualunque sia $\varepsilon$ (anche piccolissimo).

Per dimostrare che un insieme è illimitato. Nell'Esercizio 3 · max min inf sup di (-1)ⁿ n + 1/n serve, dato un $M$ arbitrario, un naturale $k > M$ da cui costruire un elemento di $E$ ancora più grande.

Senza questa proprietà non potremmo concludere che $L$ è il più grande dei minoranti: potrebbe esistere un minorante più grande di $L$, perché gli elementi $L + \frac{c}{n}$ potrebbero non avvicinarsi abbastanza a $L$.

Errore tipico

Scrivere "prendo $n$ molto grande" senza dire quanto e senza giustificare che esiste. La dimostrazione corretta dice: "prendo $n > \frac{c}{\varepsilon}$, che esiste per l'archimedeità".