Limiti di successioni: la definizione

Inizio del capitolo 3, "Limiti e continuità" (lezione 12). Esercizi svolti: Esercizio 29 · limiti di 1/n e di n con la definizione, Esercizio 30 · la successione (-1)ⁿ non ha limite. Seguito: SottosuccessioniUna sottosuccessione si ottiene prendendo infiniti termini di una successione con indici crescenti; se due sottosuccessioni hanno limiti diversi, il limite non esiste.Sottosuccessioni →, Successioni limitate e monotoneOgni successione convergente è limitata (non viceversa); ogni successione monotona ha limite, uguale al sup se crescente e all'inf se decrescente.Successioni limitate e monotone →.

Successioni

Una successione è una funzione $f : X \to \mathbb{R}$ con $X = \{n \in \mathbb{N} : n \ge n_0\}$ ($n_0 \in \mathbb{N}$ fissato). Per tradizione si scrive $a_n$ invece di $f(n)$ e si indica la successione con $(a_n)_{n \ge n_0}$. È semplicemente una lista infinita di numeri: $a_{n_0}, a_{n_0 + 1}, a_{n_0 + 2}, \dots$

Tre esempi guida:

1. $a_n = \frac1n$, $n \in \mathbb{N}^*$: $1, \frac12, \frac13, \frac14, \dots$ (i punti del grafico di $y = \frac1x$ con $x$ intero);
2. $a_n = n$, $n \in \mathbb{N}$: $0, 1, 2, 3, \dots$;
3. $a_n = (-1)^n$, $n \in \mathbb{N}$: $1, -1, 1, -1, \dots$ (vale $1$ per $n$ pari e $-1$ per $n$ dispari).

L'idea di limite

$\ell = \lim_{n \to +\infty} a_n$ quando, per $n$ abbastanza grande, i termini della successione assumono valori che "si accostano" quanto si vuole al limite $\ell$ (che può essere un numero reale oppure $\pm\infty$). Nei tre esempi:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac1n = 0 \qquad \lim_{n \to +\infty} n = +\infty \qquad \nexists \lim_{n \to +\infty} (-1)^n$$

Definizione di limite finito

Definizione (limite finito). Data $(a_n)_{n \ge n_0}$, si dice che $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n = \ell \in \mathbb{R}$ se $$\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists N \ge n_0 \ \text{ tale che } \ |a_n - \ell| < \varepsilon \quad \forall n > N$$

Come si legge. Si fissa una tolleranza $\varepsilon > 0$, piccola quanto si vuole. Deve esistere un indice $N$ ("una soglia") dopo il quale tutti i termini distano da $\ell$ meno di $\varepsilon$.

Graficamente. Per le proprietà del valore assolutoIl valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) →:

$$|a_n - \ell| < \varepsilon \iff -\varepsilon < a_n - \ell < \varepsilon \iff \ell - \varepsilon < a_n < \ell + \varepsilon \iff a_n \in (\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon)$$

Si disegna la striscia orizzontale tra le rette $y = \ell - \varepsilon$ e $y = \ell + \varepsilon$: da $N$ in poi tutti i punti del grafico della successione devono stare dentro la striscia. I primi termini possono stare fuori, quanti se ne vuole.

$N$ dipende da $\varepsilon$ (si scrive anche $N_\varepsilon$): se si stringe la striscia (si sceglie $\varepsilon' < \varepsilon$) di solito bisogna aspettare di più, cioè $N_{\varepsilon'} \ge N_\varepsilon$.

Esempio con numeri ($a_n = \frac1n$, $\ell = 0$): con $\varepsilon = 0{,}1$ serve $\frac1n < 0{,}1$, cioè $n > 10$: va bene $N = 10$. Con $\varepsilon = 0{,}01$ serve $n > 100$: $N = 100$. In generale $N > \frac{1}{\varepsilon}$, che esiste per l'Archimedeità di NPer ogni numero reale esiste un naturale più grande: serve a trovare n con 1/n più piccolo di qualunque epsilon.Archimedeità di N →. Dettagli nell'Esercizio 29 · limiti di 1/n e di n con la definizione.

Definizione di limite infinito

Definizione (limite infinito). $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty$ se $\ \forall L \in \mathbb{R} \ \exists N \ge n_0$, $N \in \mathbb{N}$, tale che $a_n > L \ \ \forall n > N$.

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty$ se $\ \forall L \in \mathbb{R} \ \exists N \ge n_0$, $N \in \mathbb{N}$, tale che $a_n < L \ \ \forall n > N$.

Esempio. $a_n = n^2 \to +\infty$: dato $L > 0$, la disuguaglianza $n^2 > L$ vale per ogni $n > \sqrt{L}$, quindi si può prendere $N = \lceil \sqrt{L} \rceil$.

Graficamente: per $+\infty$, comunque si fissi una retta orizzontale $y = L$ (alta quanto si vuole), da un certo indice $N$ in poi tutti i punti stanno sopra la retta. $N = N_L$ cresce al crescere di $L$.

Proprietà della definizione

1. $\varepsilon$ "piccolo a piacere". Nella definizione di limite finito basta considerare gli $\varepsilon$ piccoli: se per $0 < \varepsilon' < \varepsilon$ esiste $N$ con $|a_n - \ell| < \varepsilon'$ per $n > N$, allora a maggior ragione $|a_n - \ell| < \varepsilon$ (stesso $N$). Allo stesso modo per $+\infty$ si può scegliere $L > 0$ o "grande a piacere", per $-\infty$ $L < 0$ o "piccolo a piacere". Inoltre è indifferente scrivere $< \varepsilon$ o $\le \varepsilon$, $\forall n > N$ o $\forall n \ge N$.
2. Per le successioni l'unico limite che ha senso è per $n \to +\infty$. Scrivere $\lim_{n \to 5} a_n$ non ha senso (lo si capirà con i limiti di funzioni: $n$ varia tra i naturali, che non si "accumulano" vicino a $5$). Per questo spesso si scrive semplicemente $\lim_n a_n$.
3. Il limite non dipende dai primi termini. Cambiando, togliendo o aggiungendo un numero finito di termini il limite non cambia. Per esempio $\lim_n a_n = \lim_n a_{n - n_0} = \lim_n a_{n + n_0}$ (la successione "spostata" di $n_0$ posti ha lo stesso limite).
4. "Definitivamente". Quando esiste $N$ tale che una proprietà $p_n$ vale per ogni $n > N$, si dice che la proprietà vale definitivamente (abbreviato DEF.). Con questa parola la definizione di limite diventa: "$\forall \varepsilon > 0$, $|a_n - \ell| < \varepsilon$ definitivamente". (Attenzione: se si usa "definitivamente", almeno una volta va scritto per esteso cosa significa.)

Nomenclatura

Esempi: $\frac1n$ è infinitesima (quindi convergente e regolare); $n$ è divergente (regolare); $(-1)^n$ è irregolare.

Limite per eccesso e per difetto

Per le successioni convergenti, $\lim_n a_n = \ell \in \mathbb{R}$, si precisa anche da che parte si avvicinano:

• $\lim_n a_n = \ell^+$ (per eccesso, "da sopra") se $\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \ell \le a_n < \ell + \varepsilon \ \ \forall n > N$;
• $\lim_n a_n = \ell^-$ (per difetto, "da sotto") se $\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \ell - \varepsilon < a_n \le \ell \ \ \forall n > N$.

Cioè: da un certo punto in poi i termini stanno nella metà superiore (o inferiore) della striscia. Esempio: $\lim_n \frac1n = 0^+$, perché $0 \le \frac1n$ sempre (anzi $0 < \frac1n$).

Teorema di unicità del limite

Teorema 1 (da sapere). Se esiste $\lim_n a_n = \ell$, con $\ell \in \mathbb{R}$ oppure $\ell = \pm\infty$, allora questo limite è unico.

Esempio. $\frac{1}{n} \to 0$ e quindi non può tendere anche a un altro numero: per $n > 10$ si ha $\frac{1}{n} < 0{,}1$, quindi i termini non si avvicinano a $1$.

Dimostrazione (solo per $\ell \in \mathbb{R}$, per assurdo). Supponiamo che esistano $\ell_1, \ell_2 \in \mathbb{R}$, $\ell_1 \ne \ell_2$, entrambi limiti di $a_n$; diciamo $\ell_1 < \ell_2$. Per ogni $\varepsilon > 0$:

1. $\lim_n a_n = \ell_1$: esiste $N_1$ con $|a_n - \ell_1| < \varepsilon$ per ogni $n > N_1$;
2. $\lim_n a_n = \ell_2$: esiste $N_2$ con $|a_n - \ell_2| < \varepsilon$ per ogni $n > N_2$.

Preso $N = \max\{N_1, N_2\}$, per ogni $n > N$ valgono entrambe. Scegliamo $\varepsilon = \frac{\ell_2 - \ell_1}{4}$ (un quarto della distanza tra i due limiti). Allora per $n > N$

$$a_n \in (\ell_1 - \varepsilon, \ell_1 + \varepsilon) \cap (\ell_2 - \varepsilon, \ell_2 + \varepsilon) = \emptyset$$

perché le due strisce non si toccano: $\ell_1 + \varepsilon < \ell_2 - \varepsilon$. Infatti questa disuguaglianza equivale a $2\varepsilon < \ell_2 - \ell_1$, cioè $\frac{\ell_2 - \ell_1}{2} < \ell_2 - \ell_1$, vero perché $\ell_2 - \ell_1 > 0$.

Assurdo: $a_n$ dovrebbe appartenere all'insieme vuoto ⚡. Quindi $\ell_1 = \ell_2$ ∎.

Idea grafica: da $N$ in poi i punti dovrebbero stare contemporaneamente in due strisce orizzontali disgiunte, il che è impossibile.

Errori comuni

• Scegliere $N$ prima di $\varepsilon$: l'ordine dei quantificatori è "per ogni $\varepsilon$ esiste $N$", quindi $N$ può (e di solito deve) dipendere da $\varepsilon$.
• Verificare la definizione solo per qualche $\varepsilon$ ($0{,}1$, $0{,}01$…): serve per ogni $\varepsilon > 0$.
• Credere che i primi termini contino per il limite.
• Dire che $(-1)^n$ "tende a $1$ e a $-1$": il limite, se esiste, è unico; qui non esiste.