Discontinuità e prolungamento per continuità

Lezione 21. Prerequisiti: Funzioni continuef è continua in x0 (punto del dominio) se il limite in x0 esiste ed è f(x0); somme, prodotti e quozienti di funzioni continue sono continue, e tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio.Funzioni continue →, Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione → (limite destro e sinistro).

Una funzione elementare è continua in tutto il suo dominio. Le funzioni definite "a pezzi", invece, possono non esserlo in qualche punto. Qui si classifica come una funzione può non essere continua in un punto, e che cosa fare nei punti che non stanno nel dominio.

Continuità in un punto interno, con destro e sinistro

Sia $x_0 \in X$ un punto interno al dominio: esiste $\delta > 0$ con $]x_0 - \delta, x_0 + \delta[\, \subseteq X$ (il dominio "circonda" $x_0$ da entrambi i lati). Allora

Proprietà (continuità con limite destro e sinistro). $$f \text{ continua in } x_0 \iff \exists\, f(x_0^-),\ f(x_0^+) \text{ e } f(x_0^-) = f(x_0^+) = f(x_0) \ (\in \mathbb{R})$$

Esempio. $f(x) = |x|$ in $x_0 = 0$: $f(0^-) = f(0^+) = 0 = f(0)$, quindi $f$ è continua in $0$.

cioè: limite sinistro, limite destro e valore devono esistere ed essere lo stesso numero.

Classificazione dei punti di discontinuità

Si dice che $x_0 \in X$, interno a $X$, è un punto di discontinuità se $f$ non è continua in $x_0$. Ci sono tre tipi.

1. Discontinuità di prima specie (salto)

Definizione (discontinuità di prima specie). Esistono finiti $f(x_0^-)$ e $f(x_0^+)$, ma $f(x_0^-) \ne f(x_0^+)$. Il numero $|f(x_0^+) - f(x_0^-)|$ si chiama salto di $f$ in $x_0$.

Esempio. La funzione segno $$f(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x < 0 \end{cases}$$ ha $f(0^-) = -1$ e $f(0^+) = 1$: discontinuità di prima specie in $0$, con salto $|1 - (-1)| = 2$. Il grafico "salta" da una semiretta all'altra.

2. Discontinuità di seconda specie

Definizione (discontinuità di seconda specie). Almeno uno tra $f(x_0^-)$ e $f(x_0^+)$ è infinito oppure non esiste.

Esempio. $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|} & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$ $f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac1x = +\infty$, e siccome $f$ è pari anche $f(0^-) = +\infty$: discontinuità di seconda specie in $0$ (e $x = 0$ è asintoto verticale completo).

Un altro esempio: $f(x) = \sin\frac1x$ per $x \ne 0$, $f(0) = 0$; in $0$ i limiti destro e sinistro non esistono.

Le discontinuità di prima e seconda specie si dicono essenziali: non esiste nessun valore di $f(x_0)$ che le renda continue (il problema sta nei limiti, non nel valore).

3. Discontinuità eliminabile

Definizione (discontinuità eliminabile). Esistono finiti $f(x_0^-)$ e $f(x_0^+)$ e sono uguali, ma $f(x_0) \ne f(x_0^-) = f(x_0^+)$.

Esempio. $$f(x) = \begin{cases} x\sin\frac1x & x \ne 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$$ Si sa che $\lim_{x \to 0} x\sin\frac1x = 0$ (infinitesima per limitata), quindi $f(0^-) = f(0^+) = 0$, ma $f(0) = 1 \ne 0$.

Il nome dice che la discontinuità si elimina cambiando il valore in $x_0$: se $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$, la funzione $$\hat f(x) = \begin{cases} f(x) & x \ne x_0 \\ \ell & x = x_0 \end{cases}$$ è continua in $x_0$. Nell'esempio basta porre $\hat f(0) = 0$.

Prolungamento per continuità

Negli studi di funzione la situazione precedente (una funzione definita in $x_0$ ma con un valore "sbagliato") non capita quasi mai. Capita invece di avere una funzione non definita in $x_0$, cioè $f: X \setminus \{x_0\} \to \mathbb{R}$ (per esempio dove si annulla un denominatore). Allora si calcolano i limiti:

• se $x_0$ è di accumulazione da sinistra per $X$, si calcola $f(x_0^-)$;
• se $x_0$ è di accumulazione da destra, si calcola $f(x_0^+)$.

Definizione. Sia $x_0 \notin X$ di accumulazione per $X$ sia da destra sia da sinistra. Se $f(x_0^-) = f(x_0^+) = \ell \in \mathbb{R}$, si dice che $f$ è prolungabile per continuità in $x_0$, con valore $\ell$. La funzione $$\tilde f(x) = \begin{cases} f(x) & x \in X \\ \ell & x = x_0 \end{cases}$$ definita in $X \cup \{x_0\}$ e continua in $x_0$, si chiama prolungamento per continuità di $f$ in $x_0$.

Esempio 1. $f(x) = x\sin\frac1x$, dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. $f(0^-) = f(0^+) = 0 \in \mathbb{R}$: $f$ è prolungabile per continuità in $0$ con valore $0$, e il prolungamento $$\tilde f(x) = \begin{cases} x\sin\frac1x & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$ è una funzione continua su tutto $\mathbb{R}$.

Attenzione: sarebbe sbagliato dire che $x\sin\frac1x$ "ha una discontinuità eliminabile in $0$": $0$ non sta nel dominio, e le discontinuità si classificano solo nei punti del dominio.

Esempio 2. $f(x) = \frac{1}{|x|}$, dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. $f(0^-) = f(0^+) = +\infty \notin \mathbb{R}$: non è prolungabile per continuità in $0$; $x = 0$ è asintoto verticale completo. Anche qui è sbagliato parlare di "discontinuità di seconda specie in $0$": $f$ in $0$ non è definita.

Limiti alla frontiera nello studio di funzione

Nello studio di una funzione $f: X \to \mathbb{R}$, oltre a dominio, simmetrie e segno, si calcolano i limiti alla frontiera (ai "bordi" del dominio):

• i limiti per $x \to -\infty$ e $x \to +\infty$, se $\pm\infty$ sono di accumulazione per $X$;
• i limiti per $x \to x_0^-$ e $x \to x_0^+$ in ogni $x_0 \in \mathbb{R}$, $x_0 \notin X$, di accumulazione da sinistra o da destra per $X$.

Da questi si ricavano gli asintoti (Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →), la continuità (nel dominio, se $f$ è fatta di funzioni elementari) e gli eventuali prolungamenti per continuità. Esempio completo: Esercizio 60 · studio di log(e^modulo di x) - 1) + 3 modulo di x.

Tabella riassuntiva

Errori comuni

• Classificare discontinuità in punti fuori dal dominio: $\frac1x$ non ha "una discontinuità in $0$", in $0$ non è definita.
• Confondere salto ed eliminabile: nel salto i limiti destro e sinistro sono diversi, nell'eliminabile sono uguali (e diverso è solo il valore).
• Prolungare con un limite infinito: il valore del prolungamento deve essere un numero reale.