Esercizio 165y'' - 4y' + 4y = 1 + t² con condizioni iniziali

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(a) Integrale generale

È lineare, del secondo ordine, a coefficienti costanti, completa. L'integrale generale è $y = y_0 + y_p$.

1. Integrale generale dell'omogenea

$y'' - 4y' + 4y = 0$, con $$p(\lambda) = \lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda - 2)^2 = 0 \iff \lambda_1 = \lambda_2 = 2$$ Una radice doppia ($\Delta = 0$): $$y_0(t) = (c_1 + c_2\,t)\,e^{2t} \qquad \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

2. Una soluzione particolare (metodo di somiglianza)

Il tipo di $b(t)$. $b(t) = 1 + t^2$ è un polinomio di grado $m = 2$: $b(t) = Q_2(t)\,e^{0t}\cos(0t)$, quindi $\bar\lambda = 0 + i0 = 0$.

Risonanza? $p(0) = 4 \ne 0$: $0$ non è radice di $p$ (l'unica radice è $2$). Niente risonanza, si usa il caso 1: un polinomio generico dello stesso grado $2$, $$y_p(t) = A + Bt + Ct^2$$ (anche se in $b$ manca il termine in $t$, in $y_p$ ci va: derivando, i termini si mescolano).

Sostituzione. $y_p' = B + 2Ct$, $y_p'' = 2C$: $$2C - 4(B + 2Ct) + 4(A + Bt + Ct^2) = 1 + t^2$$ Si ordina per potenze di $t$: $$4C\,t^2 + (4B - 8C)\,t + (2C - 4B + 4A) = t^2 + 0\cdot t + 1$$ Per il principio di identità dei polinomiDue polinomi sono uguali per ogni t se e solo se hanno gli stessi coefficienti, potenza per potenza. i coefficienti delle stesse potenze devono coincidere: $$\begin{cases} 4C = 1 \\ 4B - 8C = 0 \\ 2C - 4B + 4A = 1 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} C = \frac14 \\ B = 2C = \frac12 \\ 4A = 1 - 2C + 4B = 1 - \frac12 + 2 = \frac52 \Rightarrow A = \frac58 \end{cases}$$

$$y_p(t) = \frac58 + \frac12 t + \frac14 t^2$$

3. Integrale generale della completa

$$y(t) = (c_1 + c_2\,t)\,e^{2t} + \frac58 + \frac12 t + \frac14 t^2 \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

(b) Problema di Cauchy con $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$

Le condizioni vanno imposte sull'integrale generale completo (non solo su $y_0$). La derivata, con la regola del prodotto sul primo pezzo: $$y'(t) = 2(c_1 + c_2\,t)\,e^{2t} + c_2\,e^{2t} + \frac12 + \frac12 t$$ In $t = 0$: $$\begin{cases} y(0) = c_1 + \frac58 = 1 \\ y'(0) = 2c_1 + c_2 + \frac12 = 0 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} c_1 = \frac38 \\ c_2 = -\frac12 - 2c_1 = -\frac12 - \frac34 = -\frac54 \end{cases}$$

$$y(t) = \left(\frac38 - \frac54 t\right)e^{2t} + \frac58 + \frac12 t + \frac14 t^2 \qquad \forall t \in \mathbb{R}$$

Controllo: $y(0) = \frac38 + \frac58 = 1$ ✓; $y'(0) = \frac34 - \frac54 + \frac12 = 0$ ✓. Anche dsolve di Python dà la stessa soluzione.

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Errori comuni

• Cercare $y_p = Ct^2 + A$ (senza il termine in $t$) perché manca in $b(t)$: il sistema diventa impossibile.
• Imporre le condizioni iniziali su $y_0$ e aggiungere $y_p$ dopo.
• Dimenticare il termine $c_2\,e^{2t}$ nella derivata di $(c_1 + c_2 t)e^{2t}$.