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Note per Studenti Esercizio 68 · limite in 1⁻ con 31/(x-1)), radici e log1/3) x

Esercizio 68limite in 1⁻ con 31/(x-1)), radici e log1/3) x

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Testo. Calcolare

L=lim⁡x→1−31x−1+3(1−x2)−1−x1−x3 log⁡1/3x+1−xL = \lim_{x \to 1^-} \frac{3^{\frac{1}{x - 1}} + 3(1 - x^2) - \sqrt{1 - x}}{\sqrt[3]{1 - x}\,\log^{1/3} x + \sqrt{1 - x}}

Teoria: Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimoPrendendo i reciproci della gerarchia degli infiniti si ottiene quella degli infinitesimi per x → +∞, e mettendo 1/x al posto di x quella per x → 0⁺ (x^α|log x|^p → 0). L'ordine di infinito o di infinitesimo è l'esponente α della potenza a cui la funzione è asintotica, a meno di una costante.Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo →, Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →.

Passo 0: che forma è

Per x→1−x \to 1^-: x−1→0−x - 1 \to 0^-, quindi 1x−1→−∞\frac{1}{x - 1} \to -\infty e 31x−1→03^{\frac{1}{x-1}} \to 0; 1−x2→01 - x^2 \to 0; 1−x→0\sqrt{1 - x} \to 0; log⁡x→0\log x \to 0. Forma 00\frac00.

(Attenzione: log⁡1/3x=log⁡x3\log^{1/3} x = \sqrt[3]{\log x}, e per x<1x < 1 il logaritmo è negativo; la radice cubica di un negativo esiste ed è negativa.)

Passo 1: cambio di variabile

Conviene una variabile che tende a 0+0^+: y=1−x→0+y = 1 - x \to 0^+, cioè x=1−yx = 1 - y. Allora:

  • 1x−1=−1y\frac{1}{x - 1} = -\frac1y, quindi 31x−1=3−1/y3^{\frac{1}{x-1}} = 3^{-1/y};
  • 1−x2=1−(1−y)2=1−(1−2y+y2)=2y−y21 - x^2 = 1 - (1 - y)^2 = 1 - (1 - 2y + y^2) = 2y - y^2, quindi 3(1−x2)=6y−3y23(1 - x^2) = 6y - 3y^2;
  • 1−x=y1/2\sqrt{1 - x} = y^{1/2}, 1−x3=y1/3\sqrt[3]{1 - x} = y^{1/3};
  • log⁡x=log⁡(1−y)\log x = \log(1 - y).

L=lim⁡y→0+3−1/y+6y−3y2−y1/2y1/3log⁡1/3(1−y)+y1/2L = \lim_{y \to 0^+} \frac{3^{-1/y} + 6y - 3y^2 - y^{1/2}}{y^{1/3}\log^{1/3}(1 - y) + y^{1/2}}

Passo 2: il numeratore

Gerarchia degli infinitesimi per y→0+y \to 0^+: 3−1/y3^{-1/y} (esponenziale a−1/ya^{-1/y}) e le potenze yy, y2y^2 con esponente maggiore di 12\frac12 sono tutte o(y1/2)o(y^{1/2}). Il termine che va a zero più lentamente è y1/2y^{1/2}:

NUM=−y1/2+o(y1/2)∼−y1/2\text{NUM} = -y^{1/2} + o(y^{1/2}) \sim -y^{1/2}

Passo 3: il denominatore

Il pezzo delicato è log⁡1/3(1−y)\log^{1/3}(1 - y). Dal limite notevole log⁡(1+t)=t+o(t)\log(1 + t) = t + o(t) con t=−y→0t = -y \to 0:

log⁡(1−y)=−y+o(y)\log(1 - y) = -y + o(y)

e poiché le potenze conservano l'asintoticità (log⁡(1−y)∼−y\log(1 - y) \sim -y, quindi le radici cubiche sono asintotiche):

log⁡1/3(1−y)=(−y+o(y))1/3∼(−y)1/3=−y1/3\log^{1/3}(1 - y) = (-y + o(y))^{1/3} \sim (-y)^{1/3} = -y^{1/3}

cioè log⁡1/3(1−y)=−y1/3+o(y1/3)\log^{1/3}(1 - y) = -y^{1/3} + o(y^{1/3}). Moltiplicando per y1/3y^{1/3}:

y1/3log⁡1/3(1−y)=−y2/3+o(y2/3)y^{1/3}\log^{1/3}(1 - y) = -y^{2/3} + o(y^{2/3})

Ora si confronta con y1/2y^{1/2}: in 0+0^+ comanda l'esponente minore, e 12<23\frac12 < \frac23, quindi y2/3=o(y1/2)y^{2/3} = o(y^{1/2}):

DEN=−y2/3+o(y2/3)+y1/2=y1/2+o(y1/2)∼y1/2\text{DEN} = -y^{2/3} + o(y^{2/3}) + y^{1/2} = y^{1/2} + o(y^{1/2}) \sim y^{1/2}

Conclusione

L=lim⁡y→0+−y1/2y1/2=−1L = \lim_{y \to 0^+} \frac{-y^{1/2}}{y^{1/2}} = -1

Verifica numerica. Con x=1−10−6x = 1 - 10^{-6} il quoziente vale ≈−1,10\approx -1{,}10: si avvicina a −1-1 lentamente, perché il termine trascurato al denominatore è y2/3y^{2/3} contro y1/2y^{1/2}, e il loro rapporto y1/6y^{1/6} va a zero piano (10−6/6=0,110^{-6/6} = 0{,}1) ✓.

Errori comuni

  • Scegliere y2/3y^{2/3} come termine principale "perché l'esponente è più grande": vicino a 00 è più piccolo.
  • Dimenticare il segno di log⁡1/3(1−y)\log^{1/3}(1 - y): è negativo.
  • Sviluppare male (1−y)2(1 - y)^2: 1−2y+y21 - 2y + y^2.

Versione ripasso

Testo. Calcolare L=lim⁡x→1−31x−1+3(1−x2)−1−x1−x3 log⁡1/3x+1−xL = \lim_{x \to 1^-} \frac{3^{\frac{1}{x - 1}} + 3(1 - x^2) - \sqrt{1 - x}}{\sqrt[3]{1 - x}\,\log^{1/3} x + \sqrt{1 - x}}.

Metodo: GerarchiaPrendendo i reciproci della gerarchia degli infiniti si ottiene quella degli infinitesimi per x → +∞, e mettendo 1/x al posto di x quella per x → 0⁺ (x^α|log x|^p → 0). L'ordine di infinito o di infinitesimo è l'esponente α della potenza a cui la funzione è asintotica, a meno di una costante.Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo → e Limiti notevoliI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →.

  1. Cambio di variabile. y=1−x→0+y = 1 - x \to 0^+. Sostituendo: L=lim⁡y→0+3−1/y+6y−3y2−y1/2y1/3log⁡1/3(1−y)+y1/2L = \lim_{y \to 0^+} \frac{3^{-1/y} + 6y - 3y^2 - y^{1/2}}{y^{1/3}\log^{1/3}(1 - y) + y^{1/2}}
  2. Numeratore. Per y→0+y \to 0^+, il termine che decade più lentamente (ordine minore) è y1/2y^{1/2}: NUM=−y1/2+o(y1/2)∼−y1/2\text{NUM} = -y^{1/2} + o(y^{1/2}) \sim -y^{1/2}
  3. Denominatore. Usando log⁡(1−y)∼−y\log(1-y) \sim -y, abbiamo log⁡1/3(1−y)∼(−y)1/3=−y1/3\log^{1/3}(1-y) \sim (-y)^{1/3} = -y^{1/3}. Quindi: y1/3log⁡1/3(1−y)∼y1/3(−y1/3)=−y2/3y^{1/3}\log^{1/3}(1 - y) \sim y^{1/3}(-y^{1/3}) = -y^{2/3} Confrontando gli ordini, y1/2y^{1/2} domina su −y2/3-y^{2/3} perché 12<23\frac{1}{2} < \frac{2}{3}: DEN=y1/2+o(y1/2)∼y1/2\text{DEN} = y^{1/2} + o(y^{1/2}) \sim y^{1/2}
  4. Limite. L=lim⁡y→0+−y1/2y1/2=−1L = \lim_{y \to 0^+} \frac{-y^{1/2}}{y^{1/2}} = -1.

Errori tipici: confondere l'ordine di grandezza (vicino a 00, l'esponente minore domina); ignorare il segno negativo del logaritmo; errori di segno nello sviluppo di (1−y)2(1-y)^2.

Teoria collegata