Esercizio 137integrali definiti su intervalli simmetrici

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Testo. Calcolare

$10. \ \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \left(\cos^4 x\sin^3 x - 3\sin x + 8\cos x\right) dx \qquad\qquad 11. \ \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \left(\cos x\cdot|\sin x| - 3\sin^7 x + x^3\cosh x\right) dx$

Idea: entrambi gli intervalli sono simmetrici rispetto a $0$ . Per la proprietà delle funzioni pari e dispari su intervalli simmetrici, conviene spezzare l'integranda (linearità) e riconoscere la parità di ogni addendo. Regole: pari·pari $=$ pari, dispari·dispari $=$ pari, pari·dispari $=$ dispari; una potenza dispari di una funzione dispari è dispari.

10.

Parità dei tre addendi:

$\cos^4 x\sin^3 x$ : $\cos^4$ è pari (il coseno è pari), $\sin^3$ è dispari (potenza dispari del seno, che è dispari): pari·dispari $=$ dispari;
$-3\sin x$ : dispari;
$8\cos x$ : pari.

I due addendi dispari danno integrale $0$ (senza calcolarli!). Resta $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} 8\cos x\,dx = 2\cdot 8\int_0^{\pi/4}\cos x\,dx = 16\Big[\sin x\Big]_0^{\pi/4} = 16\left(\frac{\sqrt2}{2} - 0\right) = 8\sqrt2$

Grafico interattivo: Integranda dell'esercizio 10 (blu) e sua parte pari 8 cos x (rossa, area colorata): su [−π/4, π/4] la parte dispari aggiunge a sinistra tanta area quanta ne toglie a destra, e l'integrale vale 8√2 ≈ 11,31

Perché è un vantaggio: $\int \cos^4 x\sin^3 x\,dx$ si saprebbe calcolare (esponente dispari), ma è lungo; la simmetria dice subito che sull'intervallo simmetrico vale $0$ .

11.

Parità:

$\cos x\cdot|\sin x|$ : $\cos$ è pari e $|\sin x|$ è pari ( $|\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x|$ ): pari;
$-3\sin^7 x$ : potenza dispari del seno: dispari;
$x^3\cosh x$ : $x^3$ dispari, $\cosh$ pari: dispari.

Restano solo il primo addendo: $\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos x\,|\sin x|\,dx = 2\int_0^{\pi/3}\cos x\,|\sin x|\,dx = 2\int_0^{\pi/3}\cos x\sin x\,dx$ perché su $[0, \frac\pi3]$ è $\sin x \ge 0$ , quindi $|\sin x| = \sin x$ . (Il modulo si toglie dopo essersi ridotti a $[0, \frac\pi3]$ : su $[-\frac\pi3, 0]$ il seno è negativo.)

Primitiva per sostituzione: $y = \sin x$ , $dy = \cos x\,dx$ , $\int y\,dy = \frac12 y^2$ , quindi $\int \cos x\sin x\,dx = \frac12\sin^2 x + k$ . Allora $2\int_0^{\pi/3}\cos x\sin x\,dx = 2\cdot\frac12\Big[\sin^2 x\Big]_0^{\pi/3} = \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 - 0 = \frac34$

(Entrambi i risultati, $8\sqrt2$ e $\frac34$ , sono stati controllati con Python.)

Errori comuni

Togliere il modulo su tutto $[-\frac\pi3, \frac\pi3]$ scrivendo $|\sin x| = \sin x$ : è falso per $x < 0$ .
Pensare che $\cos^4 x\sin^3 x$ sia pari perché "il coseno è pari": conta il prodotto, e $\sin^3$ è dispari.

Versione ripasso

Testo. Calcolare: $10. \ \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\cos^4 x\sin^3 x - 3\sin x + 8\cos x) dx \quad 11. \ \int_{-\pi/3}^{\pi/3} (\cos x|\sin x| - 3\sin^7 x + x^3\cosh x) dx$

Metodo: Intervallo simmetrico $[-a, a]$ . Usare la parità/disparità.

Pari·Pari = Pari; Dispari·Dispari = Pari; Pari·Dispari = Dispari.

10.

$\cos^4 x\sin^3 x$ : Pari $\cdot$ Dispari = Dispari.
$-3\sin x$ : Dispari.
$8\cos x$ : Pari.

Integrale: $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} 8\cos x \, dx = 2 \cdot 8 [\sin x]_0^{\pi/4} = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ .

11.

$\cos x|\sin x|$ : Pari $\cdot$ Pari = Pari.
$-3\sin^7 x$ : Dispari.
$x^3\cosh x$ : Dispari $\cdot$ Pari = Dispari.

Integrale: $2 \int_0^{\pi/3} \cos x \sin x \, dx$ (poiché $\sin x \ge 0$ su $[0, \pi/3]$ ). Sostituzione $y = \sin x$ : $2 [\frac{1}{2} \sin^2 x]_0^{\pi/3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$ .

Errori tipici:

Togliere il modulo $|\sin x|$ su tutto l'intervallo (è falso per $x < 0$ ).
Dimenticare che il prodotto di funzioni dispari è pari, o ignorare il segno delle potenze dispari di funzioni dispari.