Esercizio 101approssimare e^x tra 0 e 1/2 e stimare la radice di e

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Idea

Un polinomio che approssima una funzione su tutto un intervallo, con un errore che si sa controllare, si ottiene dalla formula di Taylor con resto di Lagrange$f(x) = T_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$ con $c$ tra $x_0$ e $x$: l'errore ha una formula esplicita.Formula di Taylor con resto di Lagrange →: si maggiora il resto con una quantità che dipende solo da $n$ e si sceglie $n$ in modo che sia $< \frac{1}{100}$. Il punto (b) è il punto (a) usato in $x = \frac12$, perché $\sqrt{e} = e^{1/2}$.

(a) Il polinomio

Passo 1: scegliere $x_0$ e scrivere la formula

Si sceglie $x_0 = 0$: appartiene a $[0, \frac12]$ e lì le derivate di $e^x$ sono facilissime ($e^0 = 1$). Con $x_0 = 0$ la formula di Taylor si chiama anche sviluppo di Mac-LaurinFormula di Taylor nel punto $x_0 = 0$.. Tutte le derivate di $e^x$ sono $e^x$, quindi $f^{(k)}(0) = 1$ e il polinomio di Taylor di ordine $n$ è

$$T_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots + \frac{x^n}{n!}$$

Il resto di Lagrange contiene la derivata $(n+1)$-esima calcolata in un punto $c$: $D^{n+1}(e^x) = e^x$, calcolata in $x = c$ dà $e^c$. Quindi, per ogni $x \in [0, \frac12]$, esiste $c$ tra $0$ e $x$ (in particolare $0 \le c \le \frac12$) con

$$e^x = T_n(x) + \frac{1}{(n+1)!}\,e^c\,x^{n+1}$$

Passo 2: maggiorare l'errore

L'errore è

$$|e^x - T_n(x)| = \frac{1}{(n+1)!}\,e^c\,x^{n+1}$$

(tutto è positivo, quindi il moduloIl valore assoluto: per un numero positivo è il numero stesso.Valore assoluto (modulo) → si toglie). Non conosciamo $c$ né vogliamo fissare $x$: maggioriamo ogni pezzo con il suo valore più grande possibile sull'intervallo.

• $e^c$: l'esponenziale è crescenteSe $c_1 < c_2$ allora $e^{c_1} < e^{c_2}$: il valore massimo su un intervallo si ha nell'estremo destro.Funzioni monotone, pari e dispari →, e $c \le \frac12$, quindi $e^c \le e^{1/2} = \sqrt{e}$. Non sappiamo ancora quanto vale $\sqrt e$ (è proprio quello che vogliamo stimare in (b)!), quindi lo maggioriamo con qualcosa di noto: $e < 4$, quindi $\sqrt{e} < \sqrt{4} = 2$. In tutto $e^c \le 2$.
• $x^{n+1}$: per $0 \le x \le \frac12$ la potenza è crescente in $x$, quindi $x^{n+1} \le \left(\frac12\right)^{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}}$.

Mettendo insieme:

$$|e^x - T_n(x)| \le \frac{1}{(n+1)!} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{(n+1)! \cdot 2^n} \qquad \forall x \in \left[0, \tfrac12\right]$$

(il $2$ al numeratore semplifica un $2$ di $2^{n+1}$). Questa maggiorazione non dipende più da $x$: se la facciamo diventare $< \frac{1}{100}$, l'errore è $< \frac1{100}$ in ogni punto dell'intervallo.

Passo 3: trovare il grado minimo

Serve $\frac{1}{(n+1)!\,2^n} < \frac{1}{100}$, cioè (passando ai reciproci di numeri positivi, il verso si inverte)

$$(n+1)! \cdot 2^n > 100$$

Si prova con $n = 1, 2, 3, \dots$:

Il più piccolo è $n = 3$. Quindi il polinomio cercato è

$$T_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}, \qquad \left|e^x - T_3(x)\right| \le \frac{1}{192} < \frac{1}{100} \quad \forall x \in \left[0, \tfrac12\right]$$

Controllo numerico (con Python): l'errore più grande su $[0, \frac12]$ si ha in $x = \frac12$ e vale circa $0{,}0029$, ben sotto $\frac1{192} \approx 0{,}0052$.

(b) Stima di $\sqrt{e}$

$\sqrt e = e^{1/2}$, e $x = \frac12$ sta nell'intervallo: si usa la disuguaglianza di (a) con $x = \frac12$:

$$\left|e^{1/2} - 1 - \frac12 - \frac12 \cdot \frac14 - \frac16 \cdot \frac18\right| < \frac1{100}$$

I numeri: $\left(\frac12\right)^2 = \frac14$ e $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$. Quindi

$$\sqrt{e} \approx 1 + \frac12 + \frac18 + \frac1{48} = \frac{48 + 24 + 6 + 1}{48} = \frac{79}{48} \approx 1{,}6458$$

con errore minore di $\frac1{100}$: $\sqrt e$ sta tra $1{,}6358$ e $1{,}6558$. Il valore vero è $\sqrt e = 1{,}6487\ldots$, e infatti l'errore vero è $0{,}0029$.

Errori comuni

• Maggiorare $e^c$ con $e^0 = 1$: $c$ può essere vicino a $\frac12$, quindi serve il valore massimo $e^{1/2}$.
• Usare $\sqrt e$ nella stima mentre lo si sta calcolando: lo si sostituisce con una maggiorazione grossolana ma sicura ($\sqrt e < 2$).
• Fermarsi a un $n$ che "sembra" bastare provando un solo $x$: la stima deve valere per tutti gli $x$ dell'intervallo, per questo si usa la maggiorazione indipendente da $x$.