Binomio di Newton

Prerequisiti: SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie → e Fattoriale e coefficienti binomialiFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali →. Dimostrazione completa: Esercizio 12 · binomio di Newton per induzione.

Enunciato

Per ogni $a, b \in \mathbb{R}$ con $a + b \ne 0$ e per ogni $n \in \mathbb{N}$:

Teorema (binomio di Newton). $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k\, b^{n-k}$$

Esempio. $(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot 2\, x^2 + 3 \cdot 4\, x + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

dove $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ è il coefficiente binomiale.

A cosa serve. A sviluppare la potenza $n$-esima di un binomio senza dover moltiplicare $(a+b)$ per se stesso $n$ volte. Generalizza le formule note $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ e $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Perché "$a + b \ne 0$". Per $n = 0$ a sinistra c'è $(a+b)^0$, che è $1$ se $a + b \ne 0$, mentre $0^0$ richiederebbe una convenzione. La prof mette questa condizione per evitare la questione; con la convenzione $0^0 = 1$ (la stessa usata nella somma geometrica) la formula vale per ogni $a, b$.

Come si legge la formula

La somma ha $n + 1$ termini ($k = 0, 1, \dots, n$). Nel termine $k$-esimo:

• $a$ compare con esponente $k$ (cresce da $0$ a $n$);
• $b$ compare con esponente $n - k$ (scende da $n$ a $0$);
• la somma degli esponenti è sempre $n$ ($k + (n - k) = n$);
• il coefficiente davanti è $\binom{n}{k}$.

Sviluppi espliciti

Per $n = 5$:

$$(a+b)^5 = \binom{5}{0} b^5 + \binom{5}{1} ab^4 + \binom{5}{2} a^2b^3 + \binom{5}{3} a^3b^2 + \binom{5}{4} a^4b + \binom{5}{5} a^5$$

Servono i coefficienti $\binom{5}{0}, \dots, \binom{5}{5}$: invece di calcolarli uno a uno con i fattoriali, si leggono nella riga $n = 5$ del triangolo di Tartaglia (vedi Fattoriale e coefficienti binomialiFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali →): $1, 5, 10, 10, 5, 1$. Quindi

$$(a+b)^5 = b^5 + 5ab^4 + 10a^2b^3 + 10a^3b^2 + 5a^4b + a^5$$

Controllo con numeri: $a = b = 1$: a sinistra $2^5 = 32$, a destra $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$ ✓.

Con il segno meno

Per $(a - b)^n$ si applica la formula con $-b$ al posto di $b$: i termini con potenza dispari di $b$ cambiano segno. Per esempio

$$(a - b)^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

I segni si alternano.

Due conseguenze utili

• $a = b = 1$: $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$. La somma di una riga del triangolo di Tartaglia è $2^n$: è il numero totale di sottoinsiemi di un insieme con $n$ elementi (si sommano quelli con $0, 1, \dots, n$ elementi). Confronta con l'Esercizio 6 · numero di sottoinsiemi (insieme delle parti).
• $a = x$, $b = 1$, $x \ge 0$: $(1 + x)^n = 1 + nx + \binom{n}{2}x^2 + \dots \ge 1 + nx$, perché i termini tolti sono tutti $\ge 0$. È un caso della disuguaglianza di Bernoulli, che però vale più in generale per $x > -1$: Esercizio 11 · disuguaglianza di Bernoulli.

Perché i coefficienti sono proprio $\binom{n}{k}$ (idea)

$(a + b)^n = (a+b)(a+b)\cdots(a+b)$ ($n$ fattori). Sviluppando il prodotto, ogni termine si ottiene scegliendo da ciascun fattore o $a$ o $b$. Si ottiene $a^k b^{n-k}$ ogni volta che si sceglie $a$ in esattamente $k$ fattori (e $b$ negli altri). I modi di scegliere quali $k$ fattori sono $\binom{n}{k}$ (sottoinsiemi di $k$ elementi tra $n$). Quindi $a^k b^{n-k}$ compare $\binom{n}{k}$ volte.

La dimostrazione rigorosa vista dalla prof (indicata come "non richiesta") è per induzione e usa la formula di Stifel: Esercizio 12 · binomio di Newton per induzione.

Errori comuni

• $(a + b)^n = a^n + b^n$: falso per $n \ge 2$ (mancano tutti i termini misti). Esempio: $(1+1)^2 = 4 \ne 1 + 1$.
• Sbagliare il numero di termini: sono $n + 1$, non $n$.
• Dimenticare i segni nello sviluppo di $(a - b)^n$.