Somma di Poisson indipendenti e processo di Poisson

Lezione 5 di probabilità, Unità 3. Prerequisiti: Variabile di Poisson e approssimazione della binomialeX ~ Po(λ), λ > 0, assume i valori 0, 1, 2, … con P(X = k) = e^{−λ} λᵏ/k!; λ è il numero medio di eventi. Nasce come limite della binomiale: se Xₙ ~ B(n, λ/n) allora P(Xₙ = k) → e^{−λ}λᵏ/k!. In pratica B(n,p) ≈ Po(np) se n è grande e p piccolo (regole del corso: n ≥ 20, p ≤ 0.05, p ≤ 10/n). Modella conteggi di eventi rari in un intervallo di tempo o spazio: telefonate, arrivi, terremoti, difetti, vincite.Variabile di Poisson e approssimazione della binomiale →.

Somma di Poisson indipendenti

Esempio del prof. Il numero di terremoti sopra magnitudo $4$ in un mese è $\operatorname{Po}(8)$ in California e $\operatorname{Po}(13)$ in Grecia, indipendenti. Probabilità che nel prossimo mese ce ne siano almeno $8$ in tutto?

Proposizione. Se $X \sim \operatorname{Po}(\lambda)$ e $Y \sim \operatorname{Po}(\mu)$ sono indipendenti, allora $X + Y \sim \operatorname{Po}(\lambda + \mu)$.

Esempio. $X \sim \operatorname{Po}(2)$ e $Y \sim \operatorname{Po}(3)$ indipendenti: $X + Y \sim \operatorname{Po}(5)$.

Dimostrazione. $X + Y = n$ si scompone secondo il valore di $X$ ($k = 0, \dots, n$), e per l'indipendenza $$P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n P(X = k)P(Y = n - k) = \sum_{k=0}^n e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\mu}\frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{n!}\sum_{k=0}^n\binom nk\lambda^k\mu^{n-k} = e^{-(\lambda + \mu)}\frac{(\lambda + \mu)^n}{n!}$$ (moltiplicando e dividendo per $n!$ e usando il binomio di NewtonLa formula per sviluppare (a+b)^n con i coefficienti binomiali.Binomio di Newton →) ∎.

Interpretazione: sommare i conteggi di due sorgenti indipendenti di eventi rari dà ancora un conteggio di eventi rari, con media la somma delle medie (è coerente con l'approssimazione: $B(n, p) + B(m, p) = B(n + m, p)$ per binomiali indipendenti con lo stesso $p$).

I terremoti. Il totale è $\operatorname{Po}(21)$, e $$P(\text{almeno } 8) = 1 - \sum_{k=0}^{7}e^{-21}\frac{21^k}{k!} \approx 0.9996$$ (con una media di $21$, scendere sotto $8$ è quasi impossibile).

Il processo di Poisson

Si vuole descrivere un flusso di eventi nel tempo (arrivi a un ufficio postale, telefonate, terremoti) che avvengono "a caso", con una frequenza media costante di $\lambda$ eventi per unità di tempo.

Definizione. Un processo di Poisson di intensità $\lambda$ è una famiglia di variabili aleatorie $\{X_t : t > 0\}$ ($X_t$ = numero di eventi nell'intervallo $[0, t]$) tale che:

1. per ogni $t > 0$, $X_t \sim \operatorname{Po}(\lambda t)$;
2. per ogni $t, \tau > 0$, $X_{t+\tau} - X_t \sim \operatorname{Po}(\lambda\tau)$ (gli eventi in un intervallo di lunghezza $\tau$, ovunque sia collocato);
3. per ogni $t_0 < t_1 < \cdots < t_n$, gli incrementi $X_{t_1} - X_{t_0}, \dots, X_{t_n} - X_{t_{n-1}}$ sono indipendenti.

Esempio. Con intensità $\lambda = 2$ eventi all'ora: $P(\text{nessun evento in } 30 \text{ minuti}) = e^{-2 \cdot 0{,}5} = e^{-1} \approx 0{,}368$.

In parole: il numero di eventi in un intervallo di durata $\tau$ è Poisson di media $\lambda\tau$ (proporzionale alla durata), e i conteggi su intervalli che non si sovrappongono sono indipendenti. Quindi il passato non influenza il futuro: è l'analogo continuo delle prove indipendenti, e porterà all'assenza di memoria della variabile esponenzialeX è continua se esiste una densità fₓ ≥ 0 con P(X ∈ (a,b)) = ∫ₐᵇ fₓ e ∫R fₓ = 1; allora P(X = x) = 0 per ogni x, Fₓ(x) = ∫{−∞}^x fₓ, e se Fₓ è continua e C¹ a tratti X è continua con fₓ = Fₓ'. Uniforme U(a,b): densità 1/(b−a) su (a,b), P(X ∈ [c,d]) = (d−c)/(b−a). Esponenziale Exp(λ): tempo d'attesa del primo evento in un processo di Poisson, P(T > t) = e^{−λt}, densità λe^{−λt} per t > 0; è senza memoria: P(T > t + s | T > s) = P(T > t). Per Y = g(X) con g monotona si passa dalla funzione di distribuzione.Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenziale →.

Nessun evento in un tempo $\tau$: $P(X_{t+\tau} - X_t = 0) = e^{-\lambda\tau}$.

Esempi del prof

L'ufficio postale (intensità $120$ arrivi all'ora, cioè $\lambda\tau = 60$ in mezz'ora e $30$ in un quarto d'ora).

• Nella prima mezz'ora arrivano $55$ persone: $P(X_{1/2} = 55) = e^{-60}\frac{60^{55}}{55!} \approx 0.0433$.
• Non arriva nessuno nella prima mezz'ora: probabilità che nella successiva mezz'ora ne arrivino $55$? Per l'indipendenza degli incrementi l'informazione non conta: ancora $\approx 0.0433$.
• $55$ nella prima mezz'ora e $28$ tra il minuto $45$ e il $60$: intervalli disgiunti, quindi si moltiplica: $e^{-60}\frac{60^{55}}{55!}\cdot e^{-30}\frac{30^{28}}{28!} \approx 0.0433\cdot 0.0702 \approx 0.0030$.

Il centralino ($\lambda = 30$ all'ora $= 0.5$ al minuto).

• Nessuna telefonata nei prossimi $3$ minuti: media $1.5$, probabilità $e^{-1.5} \approx 0.223$.
• Nessuna telefonata nel primo quarto d'ora; probabilità di riceverne esattamente una tra il minuto $15$ e il $18$: indipendente dal passato, $1.5\,e^{-1.5} \approx 0.335$.

I terremoti in Giappone [2023] (intensità $4$ al giorno).

• Esattamente $12$ in $3$ giorni: media $12$, $e^{-12}\frac{12^{12}}{12!} \approx 0.114$.
• Nessun terremoto dal 10 al 12 dicembre: probabilità di $12$ nei tre giorni successivi? La stessa, $\approx 0.114$: i giorni "tranquilli" non rendono più probabile una scossa dopo.

Esercizi: Esercizio 50 · approssimazione di Poisson dagli appelli e dai Ripassi.

Errori comuni

• Non riscalare il parametro sull'intervallo richiesto: $\lambda$ è per unità di tempo, il parametro della Poisson è $\lambda\tau$.
• Pensare che dopo un periodo senza eventi un evento sia "dovuto": gli incrementi sono indipendenti.
• Sommare Poisson non indipendenti e concludere che la somma è Poisson.