Esercizio 52densità e funzioni di distribuzione continue

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1. Il pacco

(1) Normalizzazione. L'integrale della densità deve essere $1$: $$\int_0^2\frac{t}{10}\,dt + \int_2^6 c\,dt = \frac{4}{20} + 4c = \frac15 + 4c = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = \frac15$$

(2) Funzione di distribuzione (integrale della densità da $-\infty$ a $t$, pezzo per pezzo):

• $t < 0$: $F_T(t) = 0$;
• $0 \le t \le 2$: $F_T(t) = \int_0^t\frac{s}{10}\,ds = \frac{t^2}{20}$ (in $t = 2$ vale $\frac15$);
• $2 < t \le 6$: $F_T(t) = \frac15 + \frac{t - 2}{5}$ (in $t = 6$ vale $1$);
• $t > 6$: $F_T(t) = 1$.

È continua (i pezzi si raccordano) e crescente ✓.

(3) $P(1 \le T \le 5) = F_T(5) - F_T(1) = \left(\frac15 + \frac35\right) - \frac1{20} = \frac45 - \frac1{20} = \frac34$.

2. Una funzione di ripartizione da completare

(1) $F_X$ deve tendere a $1$ per $x \to +\infty$, e per $x \ge \frac12$ è costante, quindi $d = 1$. Con $d = 1$ è anche continua in $\frac12$ (il limite da sinistra è $\frac12 + \frac12 = 1$) e in $0$ ($\frac12e^0 = \frac12$), crescente, con limite $0$ a $-\infty$ ✓.

(2) $F_X$ è continua e $C^1$ a tratti (derivabile tranne in $0$ e $\frac12$), quindi $X$ è continua con densità $f_X = F_X'$: $$f_X(x) = \begin{cases} \frac12e^x & x < 0 \\ 1 & 0 < x < \frac12 \\ 0 & x > \frac12 \end{cases}$$ (Controllo: $\int_{-\infty}^0\frac12e^x + \int_0^{1/2}1 = \frac12 + \frac12 = 1$ ✓.)

(3) $P(X \in [-1, 1]) = F_X(1) - F_X(-1) = 1 - \frac12e^{-1} \approx 0.816$ (per una continua gli estremi non contano).

3. Derivata di una funzione integrale

$f$ è continua su $]-\infty, 1[$ e su $]1, +\infty[$, con un salto in $1$ ($\lim_{t \to 1^-}f = e^{-1}$, $f(1) = 6$). $F(x)$ è finito per ogni $x$ ($e^{-t^2}$ è integrabile su $]-\infty, 1[$, e $t^3 + 5$ su intervalli limitati). Per il teorema fondamentale del calcolo:

• per $x \ne 1$: $F'(x) = f(x)$, cioè $e^{-x^2}$ per $x < 1$ e $x^3 + 5$ per $x > 1$;
• in $x = 1$: la derivata sinistra è $e^{-1}$, la destra $6$: $F'(1)$ non esiste ($F$ ha un punto angoloso).

(Questa $F$ non è una funzione di distribuzione: tende a $+\infty$. È un esercizio sul teorema fondamentale, che serve a ricavare le densità dalle funzioni di ripartizione.)

4. $Y = e^X$ con $X \sim U(0, 1)$

$Y$ assume valori in $[1, e]$. Per $1 \le y \le e$, siccome $\log$ è crescente: $$F_Y(y) = P(e^X \le y) = P(X \le \log y) = \log y$$ con $F_Y(y) = 0$ per $y < 1$ e $1$ per $y > e$. Derivando: $$f_Y(y) = \frac1y \quad \text{per } 1 < y < e, \qquad 0 \text{ altrimenti}$$ (Controllo: $\int_1^e\frac{dy}{y} = 1$ ✓.) $Y$ non è uniforme: i valori vicini a $1$ sono più probabili, perché l'esponenziale "stira" di più l'intervallo verso destra.

5. Densità da una funzione di ripartizione polinomiale

(a) $F_X$ è continua (in $0$ vale $0$, in $1$ vale $6 - 8 + 3 = 1$) e $C^1$ a tratti: $$f_X(x) = 24x^3 - 24x^2 + 6x = 6x\,(2x - 1)^2 \quad (0 < x < 1), \qquad 0 \text{ altrimenti}$$ (è $\ge 0$ ✓, e si annulla in $x = \frac12$).

(b) $$E[X] = \int_0^1 x(24x^3 - 24x^2 + 6x)\,dx = \frac{24}{5} - 6 + 2 = \frac45$$

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Errori comuni

• Nel pacco, dimenticare il contributo $\frac15$ di $[0, 2]$ quando si scrive $F_T$ su $]2, 6]$.
• Prendere $d$ diverso da $1$: una funzione di ripartizione tende sempre a $1$.
• Credere che una funzione di una uniforme sia uniforme.