Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzione

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Lezione 4 di probabilità, Unità 1-2. Prerequisiti: Definizione assiomatica e continuità della probabilità, Eventi indipendenti e indipendenza condizionata.

Variabili aleatorie

Due esperimenti diversi, la stessa domanda. (1) Si lancia tre volte un dado: probabilità che il $6$ esca due volte? (2) Si lancia tre volte una moneta truccata che dà testa con probabilità $\frac16$ : probabilità di due teste? Gli spazi campionari sono diversi (terne di $\{1, \dots, 6\}$ e terne di $\{T, C\}$ ), ma in entrambi interessa solo un numero associato all'esito: quante volte si è avuto "successo". E la risposta è la stessa, $3\cdot\left(\frac16\right)^2\cdot\frac56 = \frac{5}{72}$ . Le variabili aleatorie servono a "dimenticare" lo spazio campionario e lavorare con i numeri che interessano.

Definizione. Una variabile aleatoria (v.a.) su $\Omega$ è una funzione $X : \Omega \to \mathbb{R}$ .

Esempio. Lancio di due dadi: $X(\omega_1, \omega_2) = \omega_1 + \omega_2$ è una v.a. su $\Omega = \{1, \dots, 6\}^2$ .

Per ogni $x \in \mathbb{R}$ e $A \subseteq \mathbb{R}$ si scrive $\{X = x\} := \{\omega \in \Omega : X(\omega) = x\} = X^{-1}(\{x\}), \qquad \{X \in A\} := X^{-1}(A)$ Sono eventi (sottoinsiemi di $\Omega$ ), e ha senso calcolarne la probabilità.

Esempi: il numero di teste su $3$ lanci; il numero di carte di cuori in una mano di $5$ carte; l'istante del prossimo terremoto in California; il numero di persone che passano oggi alla stazione di Padova; l'ascissa del punto colpito a caso su un bersaglio circolare di raggio $1$ (può essere qualunque numero in $[-1, 1]$ ).

Variabili discrete e densità discreta

Definizione. $X$ è discreta se la sua immagine è un insieme finito o numerabile $\{x_0, x_1, x_2, \dots\}$ . La densità discreta di $X$ è la funzione $p_X : \mathbb{R} \to [0, 1]$ , $p_X(x) = P(X = x)$ .

Esempio. Dado equo: $p_X(k) = \frac{1}{6}$ per $k = 1, \dots, 6$ , e $\sum_k p_X(k) = 1$ .

Proprietà. Se $X$ è discreta con valori $x_0, x_1, \dots$ : $\sum_k p_X(x_k) = 1, \qquad P(X \in A) = \sum_{k : x_k \in A}p_X(x_k)$

(gli eventi $\{X = x_k\}$ sono disgiunti e la loro unione è $\Omega$ ). Quindi la densità discreta determina tutte le probabilità che riguardano $X$ .

Esempio del prof. Tre lanci di una moneta, $\Omega$ = terne di $\{T, C\}$ . $X_1$ = numero di teste: $\{X_1 = 1\} = \{(T, C, C), (C, T, C), (C, C, T)\}$ . $X_2$ = $1$ se due lanci danno lo stesso risultato, $0$ altrimenti: con tre lanci e due sole facce due risultati coincidono sempre, quindi $\{X_2 = 0\} = \emptyset$ .

La variabile di Bernoulli

Un esperimento di Bernoulli ha due esiti, successo e insuccesso: lanciare una moneta (successo = testa), un dado (successo = $6$ ), giocare a una lotteria, sostenere un esame.

Definizione. $X$ è di Bernoulli di parametro $p$ , e si scrive $X \sim \operatorname{Be}(p)$ , se $\operatorname{Im}X = \{0, 1\}$ con $p_X(1) = p, \qquad p_X(0) = 1 - p$

$X$ vale $1$ in caso di successo, $0$ altrimenti (è la "funzione indicatrice" del successo).

Attenzione alla notazione $\sim$ . Si scrive $X \sim \operatorname{Be}(p)$ (" $X$ ha legge di Bernoulli"), non $X = \operatorname{Be}(p)$ : due variabili possono avere la stessa legge ed essere diverse. Lanciando due volte una moneta e ponendo $X_i = 1$ se esce testa al lancio $i$ , si ha $X_1 \sim \operatorname{Be}(p)$ , $X_2 \sim \operatorname{Be}(p)$ , ma in generale $X_1 \ne X_2$ (il primo lancio può dare testa e il secondo croce).

Esempio del prof. Due carte estratte insieme da un mazzo di $52$ ; $X = 1$ se c'è almeno una figura ( $12$ figure), $0$ altrimenti. $P(X = 0) = \frac{\binom{40}2}{\binom{52}2} = \frac{780}{1326} = \frac{130}{221} \approx 0.588$ , quindi $X \sim \operatorname{Be}\left(\frac{91}{221}\right)$ .

La funzione di distribuzione

Definizione. La funzione di distribuzione (o di ripartizione) di una v.a. $X$ è $F_X : \mathbb{R} \to [0, 1], \qquad F_X(x) = P(X \le x)$

Vale per tutte le variabili aleatorie, non solo le discrete. Per una discreta, $F_X(x) = \sum_{x_k \le x}p_X(x_k)$ : è una funzione a gradini, costante tra un valore e il successivo, con un salto di ampiezza $p_X(x_k)$ in ogni valore $x_k$ .

Esempio (Bernoulli di parametro $\frac13$ ): $F(x) = 0$ per $x < 0$ , $F(x) = \frac23$ per $0 \le x < 1$ , $F(x) = 1$ per $x \ge 1$ .

Esempio del prof (l'autobus). Un autobus passa a caso tra mezzogiorno e l'una; $T$ = istante di arrivo (in ore dopo mezzogiorno), con $P(T \in [a, b]) = b - a$ per $0 \le a \le b \le 1$ . Allora $F_T(t) = 0$ per $t < 0$ , $F_T(t) = P(0 \le T \le t) = t$ per $0 \le t \le 1$ , $F_T(t) = 1$ per $t > 1$ : una rampa continua, senza salti ( $T$ non è discreta).

Proprietà della funzione di distribuzione.

$F_X$ è crescente (non decrescente);

$\lim_{x \to -\infty}F_X(x) = 0$ , $\lim_{x \to +\infty}F_X(x) = 1$ ;

$F_X$ è continua a destra;

$P(X < a) = F_X(a^-) := \lim_{x \to a^-}F_X(x)$ ;

$P(X = a) = F_X(a) - F_X(a^-)$ (il salto in $a$ ).

Esempio. Dado equo: $F_X(3) = \frac{3}{6}$ , $P(X < 3) = F_X(3^-) = \frac{2}{6}$ e $P(X = 3) = F_X(3) - F_X(3^-) = \frac{1}{6}$ .

Perché (con la continuità della probabilità): la 1 perché $\{X \le x\} \subseteq \{X \le y\}$ per $x \le y$ ; la 2 perché $\{X \le -n\}$ decresce verso $\emptyset$ e $\{X \le n\}$ cresce verso $\Omega$ ; la 3 perché $\{X \le a + \frac1n\}$ decresce verso $\{X \le a\}$ ; la 4 perché $\{X \le a - \frac1n\}$ cresce verso $\{X < a\}$ ; la 5 è la differenza tra la 3 e la 4.

Corollario. Variabili con la stessa funzione di distribuzione hanno la stessa legge: $P(X \in A) = P(Y \in A)$ per ogni $A$ .

Formule utili: $P(a < X \le b) = F(b) - F(a), \quad P(a \le X \le b) = F(b) - F(a^-), \quad P(X > a) = 1 - F(a)$

Esempio del prof. $F_X(x) = \begin{cases} \frac14e^x & x < 0 \\ \frac14x^2 + \frac14 & 0 \le x < 1 \\ \frac34 + \frac{x - 1}{8} & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases}$

$P(X = 0) = F(0) - F(0^-) = \frac14 - \frac14 = 0$ (nessun salto in $0$ );
$P(X = 1) = F(1) - F(1^-) = \frac34 - \left(\frac14 + \frac14\right) = \frac14$ ;
$P(X = 2) = F(2) - F(2^-) = 1 - \left(\frac34 + \frac18\right) = \frac18$ ;
$P(X < 1) = F(1^-) = \frac12$ .

Questa $X$ non è né discreta né continua: ha due salti e tratti in cui cresce con continuità (una variabile "mista").

Grafico interattivo: La distribuzione dell'esempio: salti in x = 1 (ampiezza 1/4) e in x = 2 (ampiezza 1/8)

Esercizi: Esercizio 48 · densità discrete e funzioni di distribuzione.

Errori comuni

Confondere densità discreta e distribuzione: $p_X(x) = P(X = x)$ (le altezze dei salti), $F_X(x) = P(X \le x)$ (la somma cumulata).
Dimenticare il salto nel calcolo di $P(X < a)$ o di $P(a \le X \le b)$ .
Scrivere $X = \operatorname{Be}(p)$ invece di $X \sim \operatorname{Be}(p)$ .

Versione ripasso

Variabili aleatorie

V.a.: $X : \Omega\to\mathbb{R}$ . $\{X = x\} = X^{-1}(\{x\})$ e $\{X\in A\} = X^{-1}(A)$ sono eventi.

Servono a lavorare con il numero che interessa dimenticando $\Omega$ : tre lanci di un dado (successo = 6) e di una moneta con testa $\frac16$ danno la stessa probabilità di due successi, $3\left(\frac16\right)^2\frac56 = \frac5{72}$ .

$X$ discreta: immagine finita o numerabile $\{x_0,x_1,\dots\}$ . Densità discreta $p_X(x) = P(X = x)$ , con $\sum_kp_X(x_k) = 1$ e $P(X\in A) = \sum_{x_k\in A}p_X(x_k)$ : determina tutte le probabilità.

Bernoulli

$X\sim\operatorname{Be}(p)$ : valori $\{0,1\}$ , $p_X(1) = p$ , $p_X(0) = 1 - p$ (indicatrice del successo).

Si scrive $\sim$ (stessa legge), non $=$ : $X_1$ , $X_2$ dei due lanci hanno la stessa legge ma in generale $X_1\ne X_2$ . Es. due carte, $X = 1$ se c'è una figura: $P(X = 0) = \frac{\binom{40}{2}}{\binom{52}{2}} = \frac{130}{221}$ , $X\sim\operatorname{Be}\left(\frac{91}{221}\right)$ .

Funzione di distribuzione

$F_X(x) = P(X\le x)$ (per ogni v.a.). Discreta: $F_X(x) = \sum_{x_k\le x}p_X(x_k)$ , a gradini con salti $p_X(x_k)$ .

Es. $\operatorname{Be}\left(\frac13\right)$ : $0$ , $\frac23$ su $[0,1[$ , $1$ . Autobus a caso in un'ora: $F_T(t) = t$ su $[0,1]$ (rampa continua, $T$ non è discreta).

$F$ crescente; 2. limiti $0$ in $-\infty$ e $1$ in $+\infty$ ; 3. continua a destra; 4. $P(X < a) = F(a^-)$ ; 5. $P(X = a) = F(a) - F(a^-)$ (salto). Stessa $F$ $\Rightarrow$ stessa legge. $P(a < X\le b) = F(b) - F(a)$ , $P(a\le X\le b) = F(b) - F(a^-)$ , $P(X > a) = 1 - F(a)$ .

Dimostrazioni con la continuità: $\{X\le a + \frac1n\}\downarrow\{X\le a\}$ , $\{X\le a - \frac1n\}\uparrow\{X < a\}$ .

Es. $F = \frac14e^x$ ( $x < 0$ ), $\frac14x^2 + \frac14$ ( $0\le x < 1$ ), $\frac34 + \frac{x-1}{8}$ ( $1\le x < 2$ ), $1$ ( $x\ge2$ ):

$P(X = 0) = \frac14 - \frac14 = 0$ ;
$P(X = 1) = \frac34 - \left(\frac14 + \frac14\right) = \frac14$ ;
$P(X = 2) = 1 - \left(\frac34 + \frac18\right) = \frac18$ ;
$P(X < 1) = F(1^-) = \frac12$ .

Variabile mista (salti e tratti continui). Esercizi: Esercizio 48 · densità discrete e funzioni di distribuzione; indipendenza: Eventi indipendenti e indipendenza condizionata.

Errori tipici: confondere $p_X$ (altezze dei salti) e $F_X$ (somma cumulata); dimenticare il salto in $P(X < a)$ e $P(a\le X\le b)$ ; scrivere $X = \operatorname{Be}(p)$ .

Esercizi su questo argomento

Esercizio 48 · densità discrete e funzioni di distribuzione

Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzione

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La variabile di Bernoulli

La funzione di distribuzione

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