Variabili aleatorie congiunte discrete

Lezione 9 di probabilità, Unità 1-2. Prerequisiti: Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzioneUna variabile aleatoria è una funzione X : Ω → R; {X ∈ A} = X⁻¹(A) è un evento. X è discreta se assume un insieme finito o numerabile di valori x₀, x₁, …; la densità discreta pₓ(x) = P(X = x) ha somma 1 e determina tutto: P(X ∈ A) = Σ_{xₖ∈A} pₓ(xₖ). La funzione di distribuzione Fₓ(x) = P(X ≤ x) è crescente, continua a destra, con limiti 0 e 1; P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a), P(X = a) = F(a) − F(a⁻) (il salto in a), P(X < a) = F(a⁻). Per una discreta F è a gradini. Bernoulli Be(p): vale 1 (successo) con probabilità p, 0 altrimenti.Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzione →, Varianza e covarianza di variabili discreteVar[X] = E[(X − μ)²] = E[X²] − μ² misura la dispersione attorno alla media μ = E[X]; σ = √Var è la deviazione standard. Var[aX + b] = a² Var[X]; la normalizzata (X − μ)/σ ha media 0 e varianza 1. Varianze notevoli: Be(p) → p(1−p), B(n,p) → np(1−p), Po(λ) → λ, Ge(p) → (1−p)/p². Cov[X,Y] = E[XY] − E[X]E[Y]; variabili indipendenti hanno covarianza nulla, ma non vale il viceversa (X uniforme su {−1,0,1} e X²). Var[X + Y] = Var X + Var Y + 2 Cov[X,Y]: per indipendenti le varianze si sommano.Varianza e covarianza di variabili discrete →.

Densità congiunta

Definizione. Una variabile congiunta discreta su $(\Omega, P)$ è una coppia $(X, Y)$ di variabili discrete: $\omega \mapsto (X(\omega), Y(\omega)) \in \mathbb{R}^2$. La densità congiunta è $$p_{X,Y}(a, b) = P(X = a, Y = b), \qquad (a, b) \in \mathbb{R}^2$$ e le densità $p_X$ e $p_Y$ si dicono marginali.

$P(X = a, Y = b)$ abbrevia $P(\{X = a\} \cap \{Y = b\})$. Spesso si scrive in una tabella a doppia entrata, con i valori di $X$ sulle righe e quelli di $Y$ sulle colonne.

Esempio del prof. Si sceglie a caso uno dei $5$ punti $(\pm1, 1)$, $(\pm1, -1)$, $(0, 0)$; $(X, Y)$ sono le coordinate. Ogni punto ha probabilità $\frac15$. $X$ vale $-1$ (due punti), $0$ (un punto), $1$ (due punti): $p_X(\pm1) = \frac25$, $p_X(0) = \frac15$; per simmetria lo stesso per $Y$.

Esempio del prof (due dadi). Un dado blu e uno rosso; $X$ = somma, $Y$ = numero del blu. $p_{X,Y}(3, 3) = 0$ (se il blu dà $3$ la somma è almeno $4$); $p_{X,Y}(4, 2) = P(Y = 2)\,P(X = 4 \mid Y = 2) = \frac16\cdot\frac16 = \frac1{36}$ (serve che il rosso dia $2$).

Densità marginali

Proposizione. Le marginali si ottengono sommando la congiunta sui valori dell'altra variabile: $$p_X(a) = \sum_{y \in \operatorname{Im}Y}p_{X,Y}(a, y), \qquad p_Y(b) = \sum_{x \in \operatorname{Im}X}p_{X,Y}(x, b)$$

Perché: gli eventi $\{X = a, Y = y\}$, al variare di $y$, sono disgiunti e la loro unione è $\{X = a\}$. Nella tabella: somme per riga danno $p_X$, somme per colonna danno $p_Y$ (si scrivono "ai margini", da cui il nome).

Esempio del prof. $p_{X,Y}(0, 3) = 0.05$, $p_{X,Y}(0, 4) = 0.2$, $p_{X,Y}(1, 2) = 0.05$, $p_{X,Y}(1, 4) = 0.1$, $p_{X,Y}(2, 2) = 0.2$, $p_{X,Y}(2, 3) = 0.1$, $p_{X,Y}(2, 4) = 0.3$.

$E[X] = 0.15 + 1.2 = 1.35$, $E[Y] = 0.5 + 0.45 + 2.4 = 3.35$.

Le marginali non determinano la congiunta. $X$, $Y$ con valori $\pm1$:

• con $p_{X,Y} = \frac14$ in tutti e quattro i punti,
• oppure con $\tilde p(-1, -1) = \tilde p(1, 1) = \frac38$ e $\tilde p(1, -1) = \tilde p(-1, 1) = \frac18$,

in entrambi i casi le marginali sono uniformi su $\{-1, 1\}$. Ma nel secondo $X$ e $Y$ tendono ad avere lo stesso segno. La congiunta contiene un'informazione in più: come le variabili sono legate.

Valore atteso di una funzione di $(X, Y)$

Proposizione. $E[g(X, Y)] = \sum_{x, y}g(x, y)\,p_{X,Y}(x, y)$ (se la serie converge assolutamente).

Esempio. $p_{X,Y} \equiv \frac{1}{4}$ su $\{0,1\}^2$: $E[X + Y] = \frac{0 + 1 + 1 + 2}{4} = 1$.

Con la tabella di prima: $$E[XY] = 1\cdot 2\cdot 0.05 + 1\cdot 4\cdot 0.1 + 2\cdot 2\cdot 0.2 + 2\cdot 3\cdot 0.1 + 2\cdot 4\cdot 0.3 = 0.1 + 0.4 + 0.8 + 0.6 + 2.4 = 4.3$$ (i termini con $x = 0$ sono nulli), quindi $\operatorname{Cov}[X, Y] = 4.3 - 1.35\cdot 3.35 = -0.2225$.

Indipendenza

Proposizione. $X$ e $Y$ discrete sono indipendenti se e solo se $$p_{X,Y}(a, b) = p_X(a)\,p_Y(b) \qquad \text{per ogni } (a, b)$$

Dimostrazione. Se sono indipendenti, $P(X = a, Y = b) = P(X = a)P(Y = b)$ per definizione. Viceversa, se la congiunta è il prodotto delle marginali, per $A, B \subseteq \mathbb{R}$: $$P(X \in A, Y \in B) = \sum_{a \in A, b \in B}p_X(a)p_Y(b) = \left(\sum_{a \in A}p_X(a)\right)\left(\sum_{b \in B}p_Y(b)\right) = P(X \in A)P(Y \in B)$$ ∎

Nella tabella: ogni casella deve essere il prodotto del suo totale di riga per il suo totale di colonna. Basta una casella che non lo è per concludere che non sono indipendenti; in particolare, uno zero in una casella con marginali positive esclude l'indipendenza.

• Nel primo esempio $\pm1$: $\frac14 = \frac12\cdot\frac12$ in ogni casella: indipendenti.
• Nel secondo: $\tilde p(1, 1) = \frac38 \ne \frac14$: non indipendenti.

Esempio del prof. $p(0,0) = \frac1{12}$, $p(0,1) = \frac3{12}$, $p(0,2) = \frac3{12}$, $p(1,0) = \frac2{12}$, $p(1,1) = \frac1{12}$, $p(1,2) = \frac2{12}$.

• Marginali: $p_X(0) = \frac7{12}$, $p_X(1) = \frac5{12}$; $p_Y(0) = \frac3{12}$, $p_Y(1) = \frac4{12}$, $p_Y(2) = \frac5{12}$.
• $p(0, 0) = \frac1{12} = \frac{12}{144}$, mentre $p_X(0)p_Y(0) = \frac{21}{144}$: non indipendenti.
• $E[X] = \frac5{12}$, $E[Y] = \frac4{12} + \frac{10}{12} = \frac76$, $E[XY] = 1\cdot 1\cdot\frac1{12} + 1\cdot 2\cdot\frac2{12} = \frac5{12}$.
• $\operatorname{Cov}[X, Y] = \frac5{12} - \frac5{12}\cdot\frac76 = -\frac{5}{72}$.

Esercizi: Esercizio 57 · variabili congiunte discrete dai Ripassi.

Errori comuni

• Ricavare la congiunta moltiplicando le marginali senza sapere che le variabili sono indipendenti.
• Concludere l'indipendenza controllando una sola casella.
• Dimenticare le caselle con probabilità $0$ nel calcolo delle marginali (contano come $0$ nella somma, ma vanno considerate per l'indipendenza).