Variabili aleatorie normali (gaussiane)

Lezione 8 di probabilità, Unità 1-2. Prerequisiti: Integrali doppi generalizzati e integrale di GaussPer f ≥ 0 su domini illimitati (o con f illimitata) l'integrale doppio generalizzato si calcola con le formule di riduzione o con un cambio di variabili: se il risultato è finito, f è integrabile e l'integrale è quel valore (criterio per funzioni positive). Con f di segno variabile gli integrali iterati possono esistere finiti ma essere diversi. Integrale di Gauss: ∫_{−∞}^{+∞} e^{−t²} dt = √π, ottenuto integrando e^{−x²−y²} sul piano in due modi (riduzione: I²; polari: π).Integrali doppi generalizzati e integrale di Gauss →, Valore atteso e varianza di variabili continuePer X continua con densità fₓ: E[X] = ∫ x fₓ(x) dx (se |x| fₓ è integrabile in senso generalizzato), il baricentro della densità; E[g(X)] = ∫ g(x) fₓ(x) dx; Var[X] = E[X²] − E[X]². Valgono monotonia, linearità, Var[aX + b] = a² Var X, e Var[X + Y] = Var X + Var Y per indipendenti. U(a,b): media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Exp(λ): media 1/λ, varianza 1/λ² (deviazione standard = media); la mediana ln2/λ è minore della media.Valore atteso e varianza di variabili continue →.

La normale standard

Dall'integrale di Gauss $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt\pi$, con la sostituzione $x = \frac{t}{\sqrt2}$ ($dx = \frac{dt}{\sqrt2}$): $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt\pi = 1$$ quindi $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}$ è una densità.

Definizione. $Z$ è normale standard, $Z \sim N(0, 1)$, se è continua con densità $$f_Z(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}, \qquad x \in \mathbb{R}$$ La sua funzione di distribuzione si indica con $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x f_Z(t)\,dt$.

Esempio. $Z \sim N(0,1)$: $f_Z(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}399$ e $\Phi(0) = \frac{1}{2}$.

$\Phi$ non ha una formula elementare (la primitiva di $e^{-x^2/2}$ non è elementare): i suoi valori si leggono sulla tabella della normale standard, data negli appelli. Basta tabularla per $x \ge 0$, perché la densità è pari: $$\Phi(0) = \frac12, \qquad \Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$$ (l'area a sinistra di $-x$ è uguale a quella a destra di $x$).

Come si legge la tabella (esempio del prof, $\Phi(0.65)$): la riga dà le prime due cifre ($0.6$), la colonna la seconda cifra decimale ($0.05$); all'incrocio $\Phi(0.65) \approx 0.7422$. Per un valore negativo: $\Phi(-0.53) = 1 - \Phi(0.53) \approx 1 - 0.7019 = 0.2981$.

Esempi del prof.

• $P(|Z| \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 2\Phi(2) - 1 \approx 2\cdot 0.9772 - 1 = 0.9544$;
• $P(|Z| \le 3) = 2\Phi(3) - 1 \approx 2\cdot 0.9987 - 1 = 0.9974$;
• $P(-0.43 < Z \le 0.72) = \Phi(0.72) - (1 - \Phi(0.43)) \approx 0.7642 - 1 + 0.6664 = 0.4306$.

Proposizione. Se $Z \sim N(0, 1)$: $E[Z] = 0$ e $\operatorname{Var}[Z] = 1$.

Esempio. Per $Z \sim N(0,1)$ la densità è pari, quindi $E[Z] = 0$; e $\operatorname{Var}[Z] = E[Z^2] = 1$.

Dimostrazione. $E[Z] = \int x\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}dx = \left[-\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\right]_{-\infty}^{+\infty} = 0$ (o per simmetria: l'integranda è dispari). Per la varianza, $E[Z^2] = \int x^2\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}dx$; per parti con $x\cdot\left(x\,e^{-x^2/2}\right)$: $\left[-x\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\right] + \int\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}dx = 0 + 1$ ∎.

Le normali di parametri qualsiasi

Definizione. Siano $\mu \in \mathbb{R}$, $\sigma > 0$. $X$ è normale (o gaussiana) di parametri $(\mu, \sigma^2)$, $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, se $$Z := \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1), \qquad \text{cioè} \quad X = \mu + \sigma Z$$ Allora $E[X] = \mu$ e $\operatorname{Var}[X] = \sigma^2$.

Esempio. $X \sim N(10, 36)$ ha $\mu = 10$, $\sigma^2 = 36$, $\sigma = 6$, e $P(X \le 16) = \Phi\left(\frac{16 - 10}{6}\right) = \Phi(1) \approx 0{,}841$.

Attenzione alla notazione: il secondo parametro è la varianza $\sigma^2$, non la deviazione standard. $N(10, 36)$ ha $\sigma = 6$.

Densità. $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ è continua con densità $$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\,e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$$

Dimostrazione. $F_X(x) = P(\mu + \sigma Z \le x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$, che è $C^1$; derivando con la regola della catena $f_X(x) = \frac1\sigma f_Z\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$ ∎.

La campana è centrata in $\mu$ (asse di simmetria, punto di massimo) e larga circa $\sigma$ (i flessi sono in $\mu \pm \sigma$): il prof mostra le densità di $N(0, \sigma^2)$ per $\sigma = \frac{1}{\sqrt2}, 1, \sqrt2$, sempre più basse e larghe. Simmetria: se $X \sim N(0, \sigma^2)$, allora $X$ e $-X$ hanno la stessa distribuzione.

Il metodo di calcolo: standardizzare

Per ogni probabilità su $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ si passa a $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \le a) = P\left(Z \le \frac{a - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right), \qquad P(a < X < b) = \Phi\left(\frac{b - \mu}\sigma\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}\sigma\right)$$

Esempio del prof. $X \sim N(10, 36)$, cioè $X = 10 + 6Z$: $$P(X \le 8) = P\left(Z \le -\frac13\right) = 1 - \Phi\left(\tfrac13\right) \approx 1 - \Phi(0.33) \approx 1 - 0.6293 = 0.3707$$

Esempio del prof. $X \sim N(1, 2)$, $\sigma = \sqrt2$: $$P(0 < X < 2) = P\left(-\tfrac{1}{\sqrt2} < Z < \tfrac{1}{\sqrt2}\right) = 2\Phi(0.71) - 1 \approx 2\cdot 0.7611 - 1 = 0.5223$$

Il significato dei parametri

$$P(|X - \mu| \le k\sigma) = P(|Z| \le k) = 2\Phi(k) - 1$$ non dipende da $\mu$ e $\sigma$:

Una gaussiana sta entro una deviazione standard dalla media circa $2$ volte su $3$, entro due deviazioni standard il $95\%$ delle volte, e quasi mai oltre tre.

Perché le gaussiane sono ovunque. Il prof confronta i dati di altezza ($182$ studenti, media $178.2$ cm, varianza $71.34$) con la densità di $N(178.2, 71.34)$: l'accordo è ottimo. Per il peso (media $70.6$ kg, varianza $129.4$) è meno buono (la distribuzione dei pesi è asimmetrica). La ragione per cui molte grandezze sono approssimativamente gaussiane è il teorema centrale del limiteSe X₁, X₂, … sono i.i.d. con media μ e varianza σ², la somma standardizzata (X₁ + ⋯ + Xₙ − nμ)/√(nσ²) tende in distribuzione a N(0,1): P(Sₙ ≤ a) ≈ Φ((a − nμ)/√(nσ²)) per n grande, qualunque sia la legge delle Xᵢ (servono indipendenza e stessa legge). Per la media campionaria: media μ, varianza σ²/n. Casi particolari: B(n,p) ≈ N(np, np(1−p)) per n grande; Po(λ) ≈ N(λ, λ) per λ ≥ 50. Per variabili a valori interi si usa la correzione di continuità: P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0.5), P(X = k) ≈ P(k − 0.5 ≤ Y ≤ k + 0.5).Teorema centrale del limite e correzione di continuità →: sono la somma di tanti piccoli effetti indipendenti.

Esercizi: Esercizio 54 · calcoli con la normale e tolleranze.

Errori comuni

• Usare $\sigma^2$ al posto di $\sigma$ nella standardizzazione ($N(1, 2)$ ha $\sigma = \sqrt2$).
• Dimenticare $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ e cercare valori negativi in tabella.
• Leggere la tabella al contrario (cercare $\Phi^{-1}$): per "quale $z$ ha $\Phi(z) = 0.95$?" si cerca $0.95$ tra i valori interni ($z \approx 1.645$).