Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in Rn

Lezione 1 di analisi, Unità 1. Prerequisiti: Norma, distanza e prodotto scalare in RnIn Rⁿ la norma è |x| = √(x₁² + … + xₙ²) e la distanza tra x e y è |x − y|. Valgono la disuguaglianza triangolare |x + y| ≤ |x| + |y| e quella di Cauchy-Schwarz |x·y| ≤ |x||y|, con uguaglianza solo per vettori paralleli. Palle B(p,r] e cubi Q(p,r] si contengono a vicenda: B(p,r] ⊆ Q(p,r] ⊆ B(p,r√n]. Rette, piani, ellissi e cilindri si riconoscono dall'equazione (completando i quadrati).Norma, distanza e prodotto scalare in Rn →.

In una variabile si parlava di intervalli aperti e chiusi e di "punti vicini" a un punto. In $\mathbb{R}^n$ gli intervalli si sostituiscono con le palle: tutte le definizioni di questa nota dicono, in modi diversi, "che cosa succede in una piccola palla attorno al punto". Servono per dire dove si possono calcolare limiti e derivate (nei punti interni) e dove una funzione ha sicuramente massimo e minimo (sui chiusi e limitati).

Intorni

Definizione. Un intorno di $p \in \mathbb{R}^n$ è un qualunque insieme che contiene una palla centrata in $p$ (di raggio positivo, anche piccolissimo).

Esempio. Il disco aperto $B(p, r[$ e il quadrato $Q(p, r[$ sono intorni di $p$; l'asse $x$ non lo è (non contiene nessuna palla).

Per la proposizione su palle e cubi, si può dire equivalentemente "che contiene un cubo centrato in $p$".

Esempi del prof (intorni di $(0, 0)$ nel piano):

• $\mathbb{R}^2$: contiene ogni palla.
• $\{(x, y) : |x - y| \le 10^{-6}\}$: è la striscia tra le rette $y = x - 10^{-6}$ e $y = x + 10^{-6}$. È sottilissima, ma contiene il disco di centro l'origine e raggio $r = \frac{10^{-6}}{2}$: infatti se $|(x, y)| \le r$ allora $|x| \le r$ e $|y| \le r$, quindi $|x - y| \le |x| + |y| \le 2r = 10^{-6}$.
• $Q\big((0,0), 10^{-6}\big[$: contiene il disco di raggio $10^{-6}$.

Non è un intorno dell'origine il semipiano $\{(x, y) : y \ge x\}$: l'origine sta sul suo bordo (la retta $y = x$), e ogni disco centrato in $(0,0)$, per quanto piccolo, contiene punti come $(\varepsilon, -\varepsilon)$ con $y < x$, che non stanno nel semipiano.

Punti interni e insiemi aperti

Definizione. Sia $D \subseteq \mathbb{R}^n$. Un punto $p \in D$ è interno a $D$ se esiste $\delta > 0$ tale che $B(p, \delta[ \subseteq D$. L'insieme dei punti interni si indica con $\operatorname{int}(D)$.

Esempio. Per $D = [0,1] \times [0,1]$: $\operatorname{int}(D) = \,]0,1[ \times ]0,1[$; il punto $(0, \frac{1}{2})$ sta in $D$ ma non è interno.

Definizione. $D$ è aperto se ogni suo punto è interno ($D = \operatorname{int}(D)$). $D$ è chiuso se il suo complementare $\mathbb{R}^n \setminus D$ è aperto.

$\emptyset$ e $\mathbb{R}^n$ sono sia aperti sia chiusi (per $\emptyset$ non c'è nessun punto da controllare; $\mathbb{R}^n$ contiene ogni palla). Attenzione: "chiuso" non significa "non aperto". Ci sono insiemi né aperti né chiusi, come $[0, 1[$ in $\mathbb{R}$, o un disco con metà del bordo.

Esempio: un disco aperto è aperto. Sia $p \in B(c, r[$, cioè $|p - c| < r$. Scegliamo $\delta = r - |p - c| > 0$ (la distanza di $p$ dal bordo). Se $|x - p| < \delta$, per la disuguaglianza triangolare $$|x - c| \le |x - p| + |p - c| < \delta + |p - c| = r$$ quindi $x \in B(c, r[$. Ogni punto ha una pallina tutta dentro: il disco è aperto. Il disco chiuso $B(c, r]$ invece non è aperto: un punto del cerchio $|p - c| = r$ non ha nessuna pallina dentro il disco.

Frontiera e chiusura

Definizione. La frontiera (o bordo) $\partial D$ è l'insieme dei punti $p \in \mathbb{R}^n$ tali che ogni intorno di $p$ contiene sia punti di $D$ sia punti di $\mathbb{R}^n \setminus D$.

Esempio. Sia il disco unitario aperto sia quello chiuso hanno come frontiera la circonferenza $\{|x| = 1\}$.

Un punto di frontiera può appartenere a $D$ oppure no.

Definizione. La chiusura di $D$ è $\overline{D} := D \cup \partial D$. È il più piccolo insieme chiuso che contiene $D$.

Esempio. Per il disco aperto $D = B(0, 1[$: $\overline{D} = D \cup \{|x| = 1\}$ è il disco chiuso.

Proposizione. $p \in \overline D$ se e solo se ogni intorno di $p$ contiene punti di $D$.

Esempio. Per il disco aperto $D = B(0, 1[$ del piano: $\operatorname{int}(D) = D$, $\partial D = \{|x| = 1\}$ (il cerchio unitario), $\overline D = B(0, 1]$. Per il disco chiuso: stesso interno, stessa frontiera, stessa chiusura; cambia solo il fatto che la frontiera appartiene all'insieme.

Collegamenti utili (si ricavano dalle definizioni):

• ogni punto di $\mathbb{R}^n$ è di uno solo di tre tipi rispetto a $D$: interno a $D$, interno al complementare, oppure di frontiera;
• $D$ è aperto $\iff$ non contiene nessun punto della sua frontiera;
• $D$ è chiuso $\iff$ contiene tutta la sua frontiera ($D = \overline D$);
• $\partial D = \overline D \setminus \operatorname{int}(D)$.

Insiemi limitati

$D$ è limitato se sta dentro una palla: esiste $R > 0$ con $|x| \le R$ per ogni $x \in D$. Gli insiemi chiusi e limitati (detti anche compatti) sono quelli su cui il teorema di Weierstrass garantisce massimo e minimo di una funzione continua: vedi Massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitatiTeorema di Weierstrass: una funzione continua su un insieme chiuso e limitato (compatto) ha massimo e minimo assoluti. Per trovarli si confrontano i valori di f nei candidati: i punti critici interni e i punti di massimo e minimo di f ristretta al bordo (che si studia parametrizzando ogni pezzo del bordo e riducendosi a funzioni di una variabile, vertici compresi). Esempi: profitto massimo 648 in (21, 3); pacco postale con volume massimo 64/27 (il cubo di lato 4/3).Massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitati →.

Come si riconoscono aperti e chiusi in pratica

Verificare la definizione punto per punto è faticoso. Nei casi del corso basta questa regola (la "fabbrica" di aperti e chiusi, che il prof riprende nella lezione 2 dopo aver introdotto le funzioni continue):

Se $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ è continua, gli insiemi definiti con disuguaglianze strette come $\{f < c\}$ e $\{f > c\}$ sono aperti, quelli definiti con $\le$, $\ge$, $=$ come $\{f \le c\}$, $\{f = c\}$ sono chiusi.

Per esempio $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1\}$ è aperto, $\{(x, y) : 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}$ (una corona circolare) è chiuso e limitato, il semipiano $\{y \ge x\}$ è chiuso ma non limitato.

Unioni e intersezioni

• Un'unione qualsiasi (anche infinita) di aperti è aperta.
• Un'intersezione finita di aperti è aperta; un'intersezione infinita può non esserlo.
• Passando ai complementari: un'intersezione qualsiasi di chiusi è chiusa, un'unione finita di chiusi è chiusa.

La dimostrazione e i controesempi sono nell'Esercizio 4 · unioni e intersezioni di aperti e chiusi. Il motivo per cui serve "finita": per l'intersezione di $A_1, \dots, A_m$ si prende il minimo dei raggi delle palline, che è positivo; con infiniti insiemi l'estremo inferiore dei raggi può essere $0$.

Errori comuni

• Pensare che chiuso sia il contrario di aperto.
• Dimenticare i punti isolati nella frontiera: se $D$ è un disco più un punto lontano, quel punto è di frontiera (ogni sua pallina contiene punti fuori da $D$) ma non è interno. Vedi l'Esercizio 1 · interno e frontiera di un disco con un punto e massimo di u·v.
• Credere che la frontiera stia sempre dentro l'insieme: per un aperto, nessun punto della frontiera gli appartiene.