Esercizio 15derivate parziali da derivate direzionali note

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Lo strumento

Per una funzione $C^1$ (o, più in generale, differenziabile) vale la formula del gradienteLa derivata direzionale lungo u è il prodotto scalare tra il gradiente e u: D_u f(p) = ∇f(p)·u. $$D_u f(p) = \nabla f(p)\cdot u = a\,u_1 + b\,u_2, \qquad (a, b) = \nabla f(p)$$ Ogni derivata direzionale nota diventa quindi un'equazione lineare nelle due incognite $a = \partial_x f(p)$ e $b = \partial_y f(p)$. Con due direzioni non parallele si ha un sistema $2 \times 2$ risolubile.

1. Dalle due derivate direzionali al gradiente

Sia $(a, b) = \nabla f(0, 0)$.

Prima direzione $u = \left(\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\right)$: $$\frac{a}{\sqrt2} + \frac{b}{\sqrt2} = \frac{5}{\sqrt2} \iff a + b = 5$$ (si moltiplica per $\sqrt2$).

Seconda direzione $u = \left(-\frac{2}{\sqrt5}, \frac{1}{\sqrt5}\right)$: $$-\frac{2a}{\sqrt5} + \frac{b}{\sqrt5} = \frac{3}{\sqrt5} \iff -2a + b = 3$$

Sistema. Sottraendo la seconda equazione dalla prima: $(a + b) - (-2a + b) = 5 - 3$, cioè $3a = 2$. Quindi $$\partial_x f(0, 0) = a = \frac23, \qquad \partial_y f(0, 0) = b = 5 - \frac23 = \frac{13}{3}$$

Verifica: $\frac23 + \frac{13}3 = 5$ ✓ e $-\frac43 + \frac{13}3 = 3$ ✓.

Perché serve l'ipotesi $C^1$. Senza di essa le derivate direzionali non sono legate alle parziali dalla formula del gradiente (nella teoria c'è l'esempio $f = 0$ sugli assi, $2x + y$ altrove, con parziali nulle e $D_{(1,1)}f(0,0) = 3$), e i dati non basterebbero.

2. Dalle restrizioni sulle bisettrici al gradiente

Le informazioni sono su due rette per l'origine: la bisettrice $y = x$ e l'antibisettrice $y = -x$. Lungo una retta $x \mapsto f(x, mx)$ la derivata in $0$ è una derivata direzionale: $$\frac{d}{dx}f(x, mx)\Big|_{x=0} = \lim_{x \to 0}\frac{f(x(1, m)) - f(0, 0)}{x} = D_{(1, m)}f(0, 0)$$

Prima informazione: $f(x, -x) = 0$ per ogni $x$, quindi la derivata lungo $(1, -1)$ è $0$. Con la formula del gradiente ($f$ è differenziabile in $(0,0)$): $$D_{(1,-1)}f(0, 0) = \partial_1 f(0,0) - \partial_2 f(0,0) = 0$$

Seconda informazione: $f(x, x) = 2x$, la cui derivata è $2$: $$D_{(1,1)}f(0, 0) = \partial_1 f(0,0) + \partial_2 f(0,0) = 2$$

Sistema. Sommando: $2\,\partial_1 f(0,0) = 2$. Quindi $$\partial_1 f(0, 0) = 1, \qquad \partial_2 f(0, 0) = 1$$

Osservazione. Si usano vettori $(1, \pm1)$ non unitari: va bene, perché la formula $D_u f = \nabla f\cdot u$ vale per ogni $u$, e la derivata di $x \mapsto f(x, mx)$ è proprio la derivata lungo $(1, m)$, non lungo il suo versore.

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Errori comuni

• Dimenticare che le direzioni del punto 1 sono versori e moltiplicare male per $\sqrt2$ o $\sqrt5$.
• Applicare la formula del gradiente senza l'ipotesi di differenziabilità: nel testo è data apposta.