Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polari

Lezione 2 di analisi, Unità 3-4. Prerequisiti: Limiti e continuità in più variabiliIl limite di f : D ⊆ Rⁿ → R in un punto di accumulazione p si definisce come in una variabile, con la norma: ∀ε ∃δ, 0 < |x − p| ≤ δ, x ∈ D ⇒ |f(x) − ℓ| ≤ ε. Valgono permanenza del segno, algebra dei limiti e carabinieri. f è continua in p se il limite è f(p): polinomi e composizioni di funzioni continue lo sono. Con f continua, {f < c} è aperto e {f ≤ c} è chiuso. Gli sviluppi asintotici di una variabile si usano se l'argomento tende a 0 (es. sin(x³y) ~ x³y).Limiti e continuità in più variabili →.

Davanti a un limite in due variabili che non si risolve sostituendo, la strategia è:

1. calcolare il limite su qualche restrizione semplice (assi, rette, parabole) per farsi un'idea del candidato $\ell$;
2. se si trovano due valori diversi, il limite non esiste e si è finito;
3. se tutte le restrizioni danno lo stesso $\ell$, non basta: bisogna dimostrare che il limite è $\ell$ con una stima uniforme, le coordinate polari o l'incollamento.

Limiti sulle restrizioni

Proposizione. Sia $f : D \to \mathbb{R}$, $E \subseteq D$ e $p$ di accumulazione per $E$. Se $\lim_{x \to p,\ x \in D}f(x) = \ell$ (finito o infinito), allora anche $\lim_{x \to p,\ x \in E}f(x) = \ell$.

Esempio. Se $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}$ esistesse, esisterebbe anche lungo $E = \{y = x\}$, dove vale $\frac{1}{2}$, e lungo $E = \{y = 0\}$, dove vale $0$: i due valori diversi mostrano che il limite non esiste.

Perché. Se $f(x)$ è vicino a $\ell$ per tutti gli $x \in D$ vicini a $p$, lo è in particolare per gli $x$ del sottoinsieme $E$: lo stesso $\delta$ della definizione funziona.

Conseguenze:

1. se su due restrizioni si trovano limiti diversi, il limite di $f$ non esiste;
2. se si sa già che il limite esiste, il suo valore si può calcolare su una restrizione comoda.

Le restrizioni più usate per un punto $p = (p_1, p_2)$:

• le rette $y - p_2 = m(x - p_1)$, al variare di $m$ (più la retta verticale $x = p_1$);
• le semirette in coordinate polari $x = p_1 + \rho\cos t$, $y = p_2 + \rho\sin t$: con $t$ fisso e $\rho \to 0^+$ si arriva a $p$ lungo la direzione $(\cos t, \sin t)$;
• le parabole $y - p_2 = k(x - p_1)^2$ o altre curve adattate alla funzione.

Esempio 1: $\dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ in $(0, 0)$

Sulla retta $y = mx$ (con $x \ne 0$): $$f(x, mx) = \frac{m x^2}{x^2 + m^2x^2} = \frac{m}{1 + m^2}$$ costante, ma dipende da $m$: per $m = 0$ vale $0$, per $m = 1$ vale $\frac12$. Due restrizioni con limiti diversi: il limite non esiste. In coordinate polari $f = \cos t\sin t = \frac12\sin 2t$: la funzione è costante su ogni semiretta, con un valore diverso per ogni direzione.

Esempio 2: $\dfrac{x^2y}{x^4 + y^2}$ in $(0, 0)$, dove le rette non bastano

Sulle rette $y = mx$ con $m \ne 0$: $$f(x, mx) = \frac{m x^3}{x^4 + m^2x^2} = \frac{m x}{x^2 + m^2} \xrightarrow[x \to 0]{} 0$$ e sugli assi $f = 0$. Il limite vale $0$ su ogni retta. Ma sulla parabola $y = x^2$: $$f(x, x^2) = \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac12$$ Quindi il limite non esiste. Perché proprio la parabola: al denominatore $x^4$ e $y^2$ sono "dello stesso ordine" quando $y \approx x^2$; è lì che numeratore e denominatore si bilanciano.

Esempio 3: limite uguale su ogni retta, ma che non esiste

$$f(x, y) = \begin{cases} 1 & \text{se } x^2 \le y \le 2x^2 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}$$ La regione in cui $f = 1$ è la "lama" tra le parabole $y = x^2$ e $y = 2x^2$. Ogni retta per l'origine, abbastanza vicino all'origine, esce dalla lama: per $y = mx$ con $m > 0$ servirebbe $x^2 \le mx \le 2x^2$, cioè $\frac m2 \le x \le m$, che non contiene gli $x$ piccoli; per $m \le 0$ o per l'asse $y$ si verifica allo stesso modo. Quindi su ogni retta il limite è $0$. Ma sulla parabola $y = \frac32x^2$, che sta dentro la lama, $f = 1$. Il limite non esiste.

Dimostrare che il limite esiste: le stime uniformi

Proposizione (stime uniformi). Se per ogni $x \in D \setminus \{p\}$ $$|f(x) - \ell| \le h(x) \qquad \text{con} \quad \lim_{x \to p}h(x) = 0$$ allora $\lim_{x \to p}f(x) = \ell$.

È il teorema dei carabinieri con $-h \le f - \ell \le h$. L'arte sta nel trovare una $h$ semplice, di solito una funzione della sola distanza $|x - p|$.

Stime utili (con $r = \sqrt{x^2 + y^2}$):

• $|x| \le r$ e $|y| \le r$ (una componente non supera la norma);
• $|xy| \le \frac12(x^2 + y^2) = \frac{r^2}{2}$, perché $0 \le (|x| - |y|)^2 = x^2 - 2|xy| + y^2$;
• $\frac{x^2}{x^2 + y^2} \le 1$ e $\frac{y^2}{x^4 + y^2} \le 1$ (un pezzo del denominatore non supera il denominatore intero).

Esempio. $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2y}{x^2 + y^2} = 0$, perché $$\left|\frac{x^2y}{x^2 + y^2}\right| = \underbrace{\frac{x^2}{x^2 + y^2}}_{\le 1}\,|y| \le |y| \to 0$$

Dimostrare che il limite esiste: le coordinate polari

Si scrive $x = p_1 + \rho\cos t$, $y = p_2 + \rho\sin t$, con $\rho = |(x, y) - p| > 0$ e $t \in [0, 2\pi]$.

Attenzione. Non basta che $\lim_{\rho \to 0^+}f(p_1 + \rho\cos t, p_2 + \rho\sin t) = \ell$ per ogni $t$ fissato: questo è il limite su ogni semiretta, e l'esempio 2 mostra che non basta. Serve una uniformità in $t$:

Corollario. Sia $f$ definita in $B(p, r] \setminus \{p\}$. Se per ogni $\rho \in\, ]0, r]$ e ogni $t$ $$|f(p_1 + \rho\cos t,\ p_2 + \rho\sin t) - \ell| \le h(\rho) \qquad \text{con} \quad \lim_{\rho \to 0^+}h(\rho) = 0$$ allora $\lim_{(x, y) \to p}f(x, y) = \ell$.

La chiave è che $h$ dipende solo da $\rho$, non da $t$: allora $|f - \ell| \le h(|x - p|)$ ed è una stima uniforme.

Esempio del prof. $\displaystyle\frac{x^2y}{x^2 + y^2}$ in $(0, 0)$: in polari $$\frac{\rho^2\cos^2 t\cdot\rho\sin t}{\rho^2} = \rho\cos^2 t\sin t, \qquad |\rho\cos^2 t\sin t| \le \rho = h(\rho) \to 0$$ (perché $|\cos t| \le 1$ e $|\sin t| \le 1$). Il limite è $0$.

Controesempio all'uso ingenuo (l'esempio 2 in polari): $\frac{x^2y}{x^4 + y^2} = \frac{\rho\cos^2 t\sin t}{\rho^2\cos^4 t + \sin^2 t}$. Per ogni $t$ fissato con $\sin t \ne 0$ tende a $0$ per $\rho \to 0$, ma non c'è una stima uniforme: quando $\sin t$ è piccolo come $\rho$, il denominatore è piccolo come $\rho^2$ e la frazione non è piccola.

Dimostrare che il limite esiste: l'incollamento

Proposizione (incollamento). Se $D = D_1 \cup \dots \cup D_m$, $p$ è di accumulazione per ogni $D_i$ e il limite di $f$ ristretta a ogni $D_i$ vale lo stesso $\ell$, allora $\lim_{x \to p,\ x \in D}f(x) = \ell$.

Esempio. $f = x^2 y$ per $x \le y \le 2x$ e $f = \sin(xy)$ altrove: in $(0,0)$ entrambe le restrizioni tendono a $0$, quindi $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0$.

Si usa per le funzioni definite "a pezzi". Esempio del prof: $$f(x, y) = \begin{cases} x^2y & \text{se } x \le y \le 2x\ (D_1) \\ \sin(xy) & \text{altrimenti } (D_2) \end{cases}$$ Su $D_1$ il limite in $(0,0)$ è $0$ (polinomio continuo che vale $0$ nell'origine); su $D_2$ è $\sin 0 = 0$ (funzione continua). I due pezzi ricoprono il piano, quindi $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f = 0$.

Schema riassuntivo

Esercizi svolti: Esercizio 12 · limiti con stime uniformi e coordinate polari, Esercizio 13 · asintotici, stime e restrizioni su parabole, Esercizio 14 · un limite infinito e i cerchi di Apollonio.

Errori comuni

• Concludere che il limite esiste perché vale $\ell$ su tutte le rette.
• In polari, dimenticare che la stima deve essere indipendente da $t$: "$\rho\cdot g(t) \to 0$" va bene solo se $g$ è limitata.
• Dimenticare il modulo nelle stime: si stima $|f - \ell|$, non $f - \ell$.