Derivate seconde e matrice hessiana

Lezione 3 di analisi, Unità 5. Prerequisiti: Derivate direzionali e parzialiLa derivata direzionale di f in p lungo u è D_u f(p) = lim_{t→0} (f(p + tu) − f(p))/t, cioè la derivata in t = 0 di g(t) = f(p + tu): quanto sale f partendo da p lungo u. Le derivate parziali sono le direzionali lungo gli assi, ∂f/∂xᵢ = D_{eᵢ}f, e si calcolano derivando rispetto a xᵢ con le altre variabili ferme. Avere tutte le derivate direzionali NON implica la continuità (x²y/(x⁴ + y²)). Valgono linearità, regola del prodotto e della catena con φ di una variabile.Derivate direzionali e parziali →.

Derivate del secondo ordine

Esempio del prof. $f(x, y) = x^2 + 2x\,e^y$. La derivata parziale $\partial_x f(x, y) = 2x + 2e^y$ è a sua volta una funzione di $(x, y)$, e la si può derivare di nuovo: $$\partial_x(\partial_x f) = 2, \qquad \partial_y(\partial_x f) = 2e^y$$ Analogamente $\partial_y f = 2x\,e^y$, da cui $\partial_x(\partial_y f) = 2e^y$ e $\partial_y(\partial_y f) = 2x\,e^y$.

Definizione. Sia $D$ aperto e $f : D \to \mathbb{R}$. Per $i, j \in \{1, \dots, n\}$, la derivata seconda (o doppia) $$\partial^2_{x_i x_j}f(p) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}(p) = f_{x_j x_i}(p)$$ è, se esiste, la derivata parziale rispetto a $x_i$ della funzione $\partial_{x_j}f$, calcolata in $p$. Per $i = j$ si scrive $\partial^2_{x_i^2}f(p) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(p)$.

Esempio. $f(x,y) = x^2 y$: $f_x = 2xy$ e $f_y = x^2$; le derivate seconde sono $f_{xx} = 2y$, $f_{yy} = 0$, e le due miste valgono entrambe $2x$.

Le derivate con $i \ne j$ si dicono miste. Per $n = 2$ ce ne sono quattro: $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$, $f_{yy}$.

Attenzione alla notazione: $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}$ si legge "da destra a sinistra" (prima rispetto a $x_j$, poi a $x_i$), mentre nel pedice $f_{x_j x_i}$ l'ordine è "da sinistra a destra". Per le funzioni del corso il teorema di Schwarz rende l'ordine indifferente.

La matrice hessiana

Definizione. La matrice hessiana di $f$ in $p$ è la matrice $n \times n$ delle derivate seconde: $$\operatorname{Hess}f(p) := \begin{pmatrix} \partial^2_{x_1^2}f(p) & \cdots & \partial^2_{x_1 x_n}f(p) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial^2_{x_n x_1}f(p) & \cdots & \partial^2_{x_n^2}f(p) \end{pmatrix}$$

Per $n = 2$: $$\operatorname{Hess}f(x, y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$$

Esempio del prof. $f(x, y) = x\cos y + y\,e^x$.

• $f_x = \cos y + y\,e^x$, $\quad f_y = -x\sin y + e^x$;
• $f_{xx} = \partial_x(\cos y + y\,e^x) = y\,e^x$;
• $f_{yx} = \partial_y(\cos y + y\,e^x) = -\sin y + e^x$;
• $f_{xy} = \partial_x(-x\sin y + e^x) = -\sin y + e^x$;
• $f_{yy} = \partial_y(-x\sin y + e^x) = -x\cos y$.

$$\operatorname{Hess}f(x, y) = \begin{pmatrix} y\,e^x & e^x - \sin y \\ e^x - \sin y & -x\cos y \end{pmatrix}$$ Le due derivate miste sono uguali: non è un caso.

Il teorema di Schwarz

Teorema (Schwarz). Sia $D$ aperto e $f : D \to \mathbb{R}$ di classe $C^2$ (derivate parziali seconde esistenti e continue). Allora per ogni $i, j$ e ogni $x \in D$ $$\partial^2_{x_i x_j}f(x) = \partial^2_{x_j x_i}f(x)$$

Esempio. $f(x,y) = e^{xy}$ è $C^2$ e le derivate miste coincidono: $\partial_y(y e^{xy}) = (1 + xy)e^{xy} = \partial_x(x e^{xy})$.

Quindi per le funzioni $C^2$ l'hessiana è una matrice simmetrica, e basta calcolare una delle due derivate miste (conviene comunque calcolarle entrambe come controllo dei conti). Senza l'ipotesi di continuità delle derivate seconde il teorema può fallire, ma per le funzioni date da formule elementari, nei punti interni del dominio, vale sempre.

A che cosa serve

• Classificare i punti critici: come in una variabile il segno di $f''$ dice se un punto stazionario è di minimo o di massimo, in più variabili lo dice il "segno" della matrice hessiana: vedi Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessianaRegola di Fermat: in un punto interno di massimo o minimo locale, dove f è derivabile, ∇f(p) = 0 (punto critico). Non vale il viceversa: x² − y² ha in (0,0) un punto di sella. Per f ∈ C² in un punto critico interno, criterio dell'hessiana in due variabili: det Hess > 0 e f_xx > 0 → minimo locale stretto; det > 0 e f_xx < 0 → massimo locale stretto; det < 0 → sella; det = 0 → il criterio non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴) e si studia il segno di f(x) − f(p) direttamente.Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessiana →.
• Derivate seconde di funzioni composte, con la regola della catena applicata due volte: esempio nell'Esercizio 20 · regola della catena e gradiente da informazioni lungo curve.

Errori comuni

• Confondere l'ordine di derivazione quando la funzione non è $C^2$.
• Calcolare $f_{xy}$ derivando $f$ rispetto a $x$ e a $y$ "separatamente" e moltiplicando: la derivata mista si ottiene derivando la derivata.