Curve parametriche e sostegno

Lezione 1 di analisi, Unità 2. Prerequisiti: Norma, distanza e prodotto scalare in RnIn Rⁿ la norma è |x| = √(x₁² + … + xₙ²) e la distanza tra x e y è |x − y|. Valgono la disuguaglianza triangolare |x + y| ≤ |x| + |y| e quella di Cauchy-Schwarz |x·y| ≤ |x||y|, con uguaglianza solo per vettori paralleli. Palle B(p,r] e cubi Q(p,r] si contengono a vicenda: B(p,r] ⊆ Q(p,r] ⊆ B(p,r√n]. Rette, piani, ellissi e cilindri si riconoscono dall'equazione (completando i quadrati).Norma, distanza e prodotto scalare in Rn →.

Un'auto che va da Padova a Roma: a ogni istante $t$ si trova in un punto $f(t)$ della cartina. La curva è la legge oraria $t \mapsto f(t)$ (dice dove e quando); il sostegno è il disegno della strada sulla cartina (dice solo dove). Questa distinzione è il punto chiave dell'unità.

Funzioni vettoriali e curve

Definizione. Una funzione vettoriale è una funzione $f : I \to \mathbb{R}^n$, con $I \subseteq \mathbb{R}$ intervallo, $$t \mapsto f(t) = (f_1(t), \dots, f_n(t))$$ Le $f_i : I \to \mathbb{R}$ sono le componenti. Se le componenti sono continue e $I = [a, b]$ è chiuso e limitato, $f$ si dice curva (parametrica). Il sostegno di $f$ è l'immagine $$f([a, b]) = \{f(t) : t \in [a, b]\} \subseteq \mathbb{R}^n$$ $f(a)$ è il punto iniziale, $f(b)$ il punto finale.

Esempio. $f(t) = (\cos t, \sin t)$ per $t \in [0, 2\pi]$ è una curva il cui sostegno è la circonferenza unitaria, con $f(0) = f(2\pi) = (1, 0)$.

Se $\Sigma \subseteq \mathbb{R}^n$ è il sostegno di una curva $f$, si dice che $f$ è una parametrizzazione di $\Sigma$. La variabile $t$ è il parametro (spesso il tempo).

Curva e sostegno non sono la stessa cosa. Le curve $$f(t) = (\cos t, \sin t),\ t \in [0, 2\pi] \qquad g(t) = (\cos t, \sin t),\ t \in [0, 4\pi] \qquad h(t) = (\cos 2t, \sin 2t),\ t \in [0, \pi]$$ hanno tutte come sostegno il cerchio unitario. Ma $g$ lo percorre due volte, e $h$ lo percorre una volta a velocità doppia. Vedremo che $f$ e $h$ hanno la stessa lunghezza ($2\pi$), mentre $g$ è lunga $4\pi$: la lunghezza è una proprietà della curva, non del disegno (vedi Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva →). Negli esercizi però si "confondono" spesso curva e sostegno, sottintendendo la parametrizzazione più naturale, quella che percorre il sostegno una volta sola.

Le parametrizzazioni da sapere

Le curve della forma $(t, h(t))$ o $(h(t), t)$ si dicono curve cartesiane: hanno per sostegno il grafico di una funzione di una variabile. Per abuso di linguaggio si dice "il grafico di $h$" intendendo la curva $(t, h(t))$.

Esempio (ellisse). Una parametrizzazione dell'ellisse $\frac{(x - 1)^2}{3^2} + \frac{(y - 2)^2}{2^2} = 1$ è $f(t) = (1 + 3\cos t,\ 2 + 2\sin t)$, $t \in [0, 2\pi]$. Controllo: $\frac{(3\cos t)^2}{9} + \frac{(2\sin t)^2}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ ✓.

Esempio (astroide). $f(t) = (\cos^3 t, \sin^3 t)$, $t \in [0, 2\pi]$ è una curva (le componenti sono continue). Il sostegno si trova eliminando il parametro: $x^{2/3} = \cos^2 t$ e $y^{2/3} = \sin^2 t$ (radici cubiche, definite anche per numeri negativi), quindi $$x^{2/3} + y^{2/3} = 1$$ È una "stella a quattro punte" con le punte in $(\pm1, 0)$ e $(0, \pm1)$. Il calcolo della lunghezza è nell'Esercizio 7 · astroide, sostegno e lunghezza.

Parametrizzare un insieme dato con equazioni

Quando il sostegno è descritto come intersezione di superfici, la strategia è:

1. parametrizzare la parte "facile" (di solito un cerchio o un'ellisse in $x, y$, con $\cos t$ e $\sin t$);
2. ricavare l'ultima coordinata dall'altra equazione.

Esempio del prof. $M = \{(x, y, z) : x^2 + (y/2)^2 = 1,\ z = 3 - 2x - y\}$. La prima equazione è un cilindro a sezione ellittica (la $z$ non compare), la seconda un piano: l'intersezione è un'ellisse "inclinata" nello spazio.

1. $x^2 + (y/2)^2 = 1$ si parametrizza con $x = \cos t$, $\frac y2 = \sin t$, cioè $y = 2\sin t$.
2. Dalla seconda equazione $z = 3 - 2\cos t - 2\sin t$.

Quindi $M$ è il sostegno di $f(t) = (\cos t,\ 2\sin t,\ 3 - 2\cos t - 2\sin t)$, $t \in [0, 2\pi]$. Altri esempi (sfera e cilindro, paraboloide e cilindro) nell'Esercizio 3 · curva intersezione di una sfera e di un cilindro e nell'Esercizio 6 · ellisse, parametrizzazioni e curve nello spazio.

Curve chiuse e semplici

Definizione. Sia $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ una curva.

• $f$ è chiusa se $f(a) = f(b)$ (torna al punto di partenza);
• $f$ è semplice se non passa due volte per lo stesso punto: non esistono $a \le t_1 < t_2 \le b$ con $f(t_1) = f(t_2)$, con l'unica eccezione ammessa $t_1 = a$, $t_2 = b$.

Esempio. $f(t) = (\cos t, \sin t)$ su $[0, 2\pi]$ è chiusa e semplice; su $[0, 4\pi]$ è chiusa ma non semplice.

Il cerchio percorso una volta è chiuso e semplice; percorso due volte è chiuso ma non semplice; un "otto" non è semplice (si autointerseca nel centro); un segmento è semplice ma non chiuso.

Limiti e continuità

Definizione. Sia $f : I \to \mathbb{R}^n$ e $t_0$ un punto di $I$ o un suo estremo. Si scrive $\lim_{t \to t_0} f(t) = \ell \in \mathbb{R}^n$ se $$\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \quad 0 < |t - t_0| < \delta,\ t \in I \implies |f(t) - \ell| < \varepsilon$$

Esempio. $f(t) = (t^2, \sin t)$: $\lim_{t \to 0} f(t) = (0, 0)$, calcolando il limite componente per componente.

È la stessa definizione di limite in una variabileIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione →, con la norma al posto del valore assoluto: $f(t)$ deve entrare in ogni palla centrata in $\ell$.

Proposizione (componente per componente). $\lim_{t \to t_0} f(t) = \ell$ se e solo se $\lim_{t \to t_0} f_i(t) = \ell_i$ per ogni $i = 1, \dots, n$.

Dimostrazione ($n = 2$). Per ogni componente vale $|f_i(t) - \ell_i| \le |f(t) - \ell|$ (una componente non supera la norma), quindi se $|f(t) - \ell| < \varepsilon$ anche ogni componente è vicina. Viceversa, se $|f_1(t) - \ell_1| < \varepsilon$ e $|f_2(t) - \ell_2| < \varepsilon$, allora $$|f(t) - \ell| = \sqrt{(f_1(t) - \ell_1)^2 + (f_2(t) - \ell_2)^2} < \sqrt{2\varepsilon^2} = \varepsilon\sqrt2$$ che si può rendere piccolo quanto si vuole ∎ (è la proposizione palle-cubi: un quadrato di lato $2\varepsilon$ sta nel disco di raggio $\varepsilon\sqrt2$).

Esempio. $\displaystyle\lim_{t \to 0}\left(\frac{\sin t}{t},\ \log(t^2 + 1)\right) = (1, 0)$: la prima componente è un limite notevoleI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →, la seconda tende a $\log 1 = 0$ per continuità.

Continuità. $f$ è continua in $t_0 \in I$ se $\lim_{t \to t_0} f(t) = f(t_0)$; per la proposizione, questo accade se e solo se ogni componente è continua in $t_0$.

Errori comuni

• Dire che un insieme "è una curva": un insieme può essere solo il sostegno di una curva. La curva è la funzione.
• Dimenticare l'intervallo del parametro: $(\cos t, \sin t)$ senza dire $t \in [0, 2\pi]$ non specifica quante volte si percorre il cerchio.
• Parametrizzare un'ellisse con $(A\cos t, B\sin t)$ dimenticando il centro.