Funzioni di più variabili - dominio, grafico e insiemi di livello

Lezione 2 di analisi, Unità 1. Prerequisiti: Norma, distanza e prodotto scalare in RnIn Rⁿ la norma è |x| = √(x₁² + … + xₙ²) e la distanza tra x e y è |x − y|. Valgono la disuguaglianza triangolare |x + y| ≤ |x| + |y| e quella di Cauchy-Schwarz |x·y| ≤ |x||y|, con uguaglianza solo per vettori paralleli. Palle B(p,r] e cubi Q(p,r] si contengono a vicenda: B(p,r] ⊆ Q(p,r] ⊆ B(p,r√n]. Rette, piani, ellissi e cilindri si riconoscono dall'equazione (completando i quadrati).Norma, distanza e prodotto scalare in Rn →.

La temperatura in una stanza dipende dal punto $(x, y, z)$; l'altitudine su una cartina dipende da $(x, y)$; la temperatura percepita dipende da temperatura e umidità. Sono funzioni di più variabili: entrano più numeri, esce un numero.

Definizione e dominio

Definizione (funzione di più variabili e dominio). Una funzione di più variabili è una funzione $f : D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, che a ogni $x = (x_1, \dots, x_n) \in D$ associa un numero reale $f(x)$. $D$ è il dominio.

Quando la funzione è data con una formula, il dominio (naturale) è l'insieme dei punti in cui la formula ha senso: argomenti dei logaritmi positivi, radicandi delle radici pari non negativi, denominatori non nulli.

Esempio del prof. $f(x, y) = \log(1 + x + y)$: serve $1 + x + y > 0$, cioè $$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y > -1 - x\}$$ il semipiano aperto sopra la retta $y = -1 - x$ (la retta esclusa). Per capire quale dei due semipiani, si prova un punto: l'origine dà $1 > 0$, quindi il semipiano è quello che contiene l'origine.

Grafico

Definizione (grafico). Il grafico di $f : D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ è il sottoinsieme di $\mathbb{R}^{n+1}$ $$G_f = \{(x, f(x)) : x \in D\} = \{(x_1, \dots, x_n, f(x_1, \dots, x_n)) : x \in D\}$$

Esempio. Il grafico di $f(x,y) = x^2 + y^2$ è il paraboloide $\{(x, y, x^2 + y^2)\} \subseteq \mathbb{R}^3$; contiene il punto $(1, 2, 5)$.

Per $n = 2$ il grafico è una superficie nello spazio: sopra ogni punto $(x, y)$ del dominio si alza il punto di quota $z = f(x, y)$, come un paesaggio di montagne sopra una cartina. Per $n \ge 3$ il grafico sta in $\mathbb{R}^4$ o oltre e non si può disegnare: si usano gli insiemi di livello.

Funzioni radiali

Definizione (funzione radiale). $f$ è radiale se dipende solo dalla distanza dall'origine: $f(x) = h(|x|)$ con $h : I \subseteq [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$.

Esempio. $f(x,y) = e^{-(x^2 + y^2)} = h(|x|)$ con $h(r) = e^{-r^2}$ è radiale.

Il grafico (per $n = 2$) si ottiene facendo ruotare attorno all'asse $z$ il grafico di $h$ disegnato su una semiretta.

Il profilo di una funzione radiale è il grafico di $h$, che si disegna con gli strumenti di una variabile:

Il metodo delle sezioni

Per capire la forma di una superficie $z = f(x, y)$ la si "affetta":

• fissata $x = x_0$, si disegna la funzione di una variabile $y \mapsto f(x_0, y)$ (sezione con il piano verticale $x = x_0$);
• fissata $y = y_0$, si disegna $x \mapsto f(x, y_0)$.

Esempio del prof: il paraboloide iperbolico $f(x, y) = x^2 - y^2$.

• Fissando $y$: $x \mapsto x^2 - y_0^2$ è una parabola verso l'alto (per esempio con $y_0 = -1$: $x^2 - 1$).
• Fissando $x$: $y \mapsto x_0^2 - y^2$ è una parabola verso il basso (con $x_0 = 1$: $1 - y^2$).

Nell'origine la superficie sale lungo l'asse $x$ e scende lungo l'asse $y$: ha la forma di una sella (o di una patatina Pringles). L'origine non è né un massimo né un minimo: è il prototipo del punto di sella che si incontrerà in Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessianaRegola di Fermat: in un punto interno di massimo o minimo locale, dove f è derivabile, ∇f(p) = 0 (punto critico). Non vale il viceversa: x² − y² ha in (0,0) un punto di sella. Per f ∈ C² in un punto critico interno, criterio dell'hessiana in due variabili: det Hess > 0 e f_xx > 0 → minimo locale stretto; det > 0 e f_xx < 0 → massimo locale stretto; det < 0 → sella; det = 0 → il criterio non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴) e si studia il segno di f(x) − f(p) direttamente.Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessiana →.

Insiemi di livello

Definizione (insieme di livello). Sia $f : D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. L'insieme di livello $c \in \mathbb{R}$ è $$Z_c(f) := \{x \in D : f(x) = c\} \subseteq D$$

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2$: l'insieme di livello $Z_c(f)$ è la circonferenza di raggio $\sqrt{c}$ se $c > 0$, l'origine se $c = 0$, l'insieme vuoto se $c < 0$.

Per $n = 2$ sono di solito curve, le curve di livello: i punti della cartina in cui la "montagna" ha quota $c$. Sono le isoipse delle carte topografiche e le isobare delle carte meteo. Dove le curve di livello (a quote equispaziate) sono fitte, la funzione varia rapidamente.

Esempi.

• $f(x, y) = \log(1 + x + y)$: $\log(1 + x + y) = c \iff 1 + x + y = e^c$, cioè le rette $x + y = e^c - 1$ (una per ogni $c \in \mathbb{R}$, tutte parallele, tutte nel dominio).
• Funzione radiale $f(x) = h(|x|)$: $f(x) = c \iff h(|x|) = c$, quindi l'insieme di livello è l'unione dei cerchi $\{|x| = r\}$ con $r$ tale che $h(r) = c$: $$Z_c(f) = \bigcup_{r : h(r) = c}\{x : |x| = r\}$$ Per il paraboloide $x^2 + y^2 = c$: per $c > 0$ il cerchio di raggio $\sqrt c$, per $c = 0$ solo l'origine, per $c < 0$ l'insieme vuoto.
• Paraboloide iperbolico $x^2 - y^2 = c$: per $c \ne 0$ iperboli (con i rami lungo l'asse $x$ se $c > 0$, lungo l'asse $y$ se $c < 0$), per $c = 0$ le due rette $y = \pm x$ (perché $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$).

Un esempio in cui gli insiemi di livello sono cerchi non concentrici (i cerchi di Apollonio) è nell'Esercizio 14 · un limite infinito e i cerchi di Apollonio.

Altre funzioni da esplorare

Il prof propone di tracciare con Mathematica (Plot3D per il grafico, ContourPlot per le curve di livello): $\sin x\sin y$ (una "scatola delle uova"), la sella di scimmia $x^3 - 3xy^2$ (tre valli e tre colline attorno all'origine), $x^2y^2$, la funzione di Morse $e^{-x^2 - y^2}(x^2 + y^2)$ (un anello di colline attorno a un cratere), il cono $\sqrt{x^2 + y^2}$.

Errori comuni

• Confondere grafico e insiemi di livello: il grafico sta in $\mathbb{R}^{n+1}$ (per $n = 2$ una superficie nello spazio), gli insiemi di livello stanno nel dominio $\subseteq \mathbb{R}^n$ (curve nel piano).
• Dimenticare il dominio negli insiemi di livello: $Z_c$ contiene solo punti di $D$.
• Sbagliare il semipiano nel dominio: si controlla sempre con un punto di prova.