Integrali tripli

Lezione 7 di analisi. Le slide di questa lezione non sono ancora disponibili: la nota è costruita sugli esercizi dei Ripassi 2025/26 (sezione "Integrali tripli": fanno parte del programma; per i follower sono chiesti nella peer review di Natale ma non nella prova finale) e sulle formule della lezione sugli integrali doppi. Prerequisiti: Integrali doppi e formule di riduzioneL'integrale doppio ∫_D f dx dy è il limite delle somme Σ f(cᵢ) Area(Aᵢ): per f ≥ 0 è il volume del trapezoide sotto il grafico; ∫_D 1 = Area(D). Si calcola con le formule di riduzione: su un rettangolo ∫∫ f = ∫ₐᵇ(∫_c^d f dy)dx = ∫_c^d(∫ₐᵇ f dx)dy; su un dominio semplice rispetto a x, D = {a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, ∫D f = ∫ₐᵇ ∫{α(x)}^{β(x)} f dy dx (fette verticali), e analogamente per fette orizzontali. Scambiare l'ordine serve quando un integrale interno non ha primitiva elementare (sin y², e^{x²}).Integrali doppi e formule di riduzione →, Cambiamento di variabili negli integrali doppiSe φ : E → D, (u,v) ↦ (x,y), è biiettiva, C¹ e con det φ' ≠ 0, allora ∫_D f(x,y) dx dy = ∫_E f(φ(u,v)) |det φ'(u,v)| du dv: |det φ'| (lo jacobiano) misura di quanto φ dilata le aree. Si cambia variabile per semplificare il dominio (u = x + y, v = x − y trasformano un parallelogramma in un rettangolo) o la funzione. Se le nuove variabili sono date in funzione delle vecchie, (u,v) = ψ(x,y), si usa |det φ'| = 1/|det ψ'|. Simmetrie: f dispari in x su un dominio simmetrico rispetto all'asse y ha integrale nullo.Cambiamento di variabili negli integrali doppi →, Integrali doppi in coordinate polariCon x = ρ cos t, y = ρ sin t lo jacobiano è ρ: ∫D f dx dy = ∫E f(ρ cos t, ρ sin t) ρ dρ dt, con E la descrizione di D in (ρ,t). Conviene per dischi, corone, settori e funzioni radiali: ∫{B(0,R]} g(√(x²+y²)) = 2π ∫₀ᴿ g(ρ) ρ dρ. L'area della regione 0 ≤ ρ ≤ ρ(t), t ∈ [a,b] è ½ ∫ₐᵇ ρ(t)² dt. Esempi: ∫{B(0,R]} e^{x²+y²} = π(e^{R²} − 1); petalo (x²+y²)² ≤ 8xy di area 2.Integrali doppi in coordinate polari →.

Definizione e significato

Per una regione limitata $E \subseteq \mathbb{R}^3$ e una funzione $f$ continua su $E$ si definisce $\iiint_E f(x, y, z)\,dx\,dy\,dz$ come limite di somme $\sum_i f(c_i)\operatorname{Vol}(A_i)$ su suddivisioni di $E$ in parallelepipedi piccoli, esattamente come per gli integrali doppi (con i volumi al posto delle aree). Valgono le stesse proprietà: linearità, positività, additività rispetto al dominio (le superfici non contano).

• $\operatorname{Vol}(E) = \iiint_E 1\,dx\,dy\,dz$;
• se $\mu(x, y, z)$ è una densità di massa, la massa è $\iiint_E\mu$ e il baricentro ha coordinate $\bar x = \frac{1}{M}\iiint_E x\,\mu$, ecc.

Formule di riduzione

Per fili (integrazione "per colonne"). Se $E = \{(x, y) \in D,\ \alpha(x, y) \le z \le \beta(x, y)\}$, con $D$ dominio del piano (la "proiezione" di $E$ sul piano $xy$) e $E$ compreso tra le superfici $z = \alpha$ e $z = \beta$:

Formula (riduzione per fili). $$\iiint_E f\,dx\,dy\,dz = \iint_D\left(\int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)}f(x, y, z)\,dz\right)dx\,dy$$

Esempio. Volume del tetraedro $0 \le z \le 1 - x - y$ sul triangolo $D = \{x, y \ge 0,\ x + y \le 1\}$: $\iint_D (1 - x - y)\,dx\,dy = \frac{1}{6}$.

Si integra prima lungo il "filo" verticale sopra il punto $(x, y)$, poi sul dominio piano.

Per strati (integrazione "per fette"). Se per ogni $z \in [a, b]$ la sezione orizzontale è $E(z) = \{(x, y) : (x, y, z) \in E\}$:

Formula (riduzione per strati). $$\iiint_E f\,dx\,dy\,dz = \int_a^b\left(\iint_{E(z)}f(x, y, z)\,dx\,dy\right)dz$$

Esempio. Cono di altezza $1$ con sezione a quota $z$ di raggio $1 - z$: $V = \int_0^1 \pi (1 - z)^2\,dz = \frac{\pi}{3}$.

Conviene quando la sezione è una figura semplice (un disco, un'ellisse) e la funzione dipende solo da $z$: allora l'integrale interno è $f(z)\operatorname{Area}(E(z))$.

Esempi (dai Ripassi, verificati con Python).

• Il tetraedro $\{x, y, z \ge 0,\ x + y + z \le 1\}$ (Ripassi 2.39): per fili, $z$ da $0$ a $1 - x - y$ sopra il triangolo $\{x, y \ge 0, x + y \le 1\}$: $$\operatorname{Vol} = \int_0^1\int_0^{1-x}(1 - x - y)\,dy\,dx = \int_0^1\frac{(1 - x)^2}{2}\,dx = \frac16$$ e allo stesso modo $\iiint x = \frac1{24}$ (Ripassi 2.25), quindi il baricentro ha $\bar x = \frac{1/24}{1/6} = \frac14$.
• Un parallelepipedo (Ripassi 2.38): su $[0, 1]\times[1, 3]\times[2, 3]$ una funzione prodotto si fattorizza: $\iiint xy^2z^3 = \int_0^1x\,dx\int_1^3y^2\,dy\int_2^3z^3\,dz = \frac12\cdot\frac{26}{3}\cdot\frac{65}{4} = \frac{845}{12}$.
• Il cono $\{0 \le z \le 1,\ x^2 + y^2 \le (1 - z)^2\}$ (Ripassi 2.28), per strati: la sezione a quota $z$ è un disco di raggio $1 - z$: $$\operatorname{Vol} = \int_0^1\pi(1 - z)^2\,dz = \frac\pi3, \qquad \bar z = \frac{1}{\pi/3}\int_0^1 z\,\pi(1 - z)^2\,dz = \frac14$$ (il baricentro di un cono sta a un quarto dell'altezza dalla base).

Coordinate cilindriche

Formula (coordinate cilindriche). $$x = \rho\cos\theta, \qquad y = \rho\sin\theta, \qquad z = z, \qquad dx\,dy\,dz = \rho\,d\rho\,d\theta\,dz$$ Sono le polari nel piano $xy$ con la $z$ invariata; lo jacobiano è ancora $\rho$. Si usano per solidi con simmetria attorno all'asse $z$ (cilindri, coni, paraboloidi).

Esempio (Ripassi 2.46). Volume di $\{x^2 + y^2 \le 1,\ 0 \le z \le 1 - x^2 - y^2\}$ (sotto il paraboloide): $\int_0^{2\pi}\int_0^1(1 - \rho^2)\rho\,d\rho\,d\theta = 2\pi\cdot\frac14 = \frac\pi2$. Il suo baricentro (Ripassi 2.37) ha $\bar z = \frac{1}{\pi/2}\int_0^{2\pi}\int_0^1\frac{(1 - \rho^2)^2}{2}\rho\,d\rho\,d\theta = \frac13$.

Esempio (appello 3, 2017/18). $\iiint_E(x^2 + y^2)$ su $E = \{x^2 + y^2 \le 4,\ \sqrt{x^2 + y^2} \le z \le 2\}$ (tra il cono e il piano $z = 2$): per fili, sopra il punto a distanza $\rho$ la $z$ va da $\rho$ a $2$: $$\int_0^{2\pi}\int_0^2\rho^2(2 - \rho)\,\rho\,d\rho\,d\theta = 2\pi\left(\frac{2\cdot 16}{4} - \frac{32}{5}\right) = 2\pi\cdot\frac85 = \frac{16\pi}{5}$$

Coordinate sferiche

Formula (coordinate sferiche). $$x = \rho\sin\varphi\cos\theta, \quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta, \quad z = \rho\cos\varphi, \qquad dx\,dy\,dz = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$$ con $\rho \ge 0$ (distanza dall'origine), $\varphi \in [0, \pi]$ (angolo dal semiasse positivo delle $z$), $\theta \in [0, 2\pi]$. Lo jacobiano $\rho^2\sin\varphi$ si ricava come nelle superficiUna superficie parametrica è p : D ⊂ R² → R³ continua, con D chiuso e limitato; il sostegno è p(D). I vettori p_u, p_v sono tangenti alle curve coordinate, e |p_u × p_v| è l'elemento d'area: Area(p) = ∫_D |p_u × p_v| du dv (analogo di L = ∫|r'|). Casi da sapere: cilindro (R cos t, R sin t, z), elemento R; sfera in coordinate sferiche, elemento R² sin φ, area 4πR²; superficie cartesiana (x, y, f(x,y)), elemento √(1 + f_x² + f_y²).Superfici parametriche e area →: il "cubetto sferico" ha lati $d\rho$, $\rho\,d\varphi$, $\rho\sin\varphi\,d\theta$.

Volume della palla: $\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 2\pi\cdot 2\cdot\frac{R^3}{3} = \frac43\pi R^3$.

Esempio (Ripassi 2.40). $\iiint z$ su $\{x^2 + y^2 + z^2 \le 2,\ z \ge \sqrt{x^2 + y^2}\}$ (il "cono gelato": palla di raggio $\sqrt2$ sopra il cono di apertura $45°$, cioè $\varphi \le \frac\pi4$): $$\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_0^{\sqrt2}\rho\cos\varphi\cdot\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{(\sqrt2)^4}{4}\cdot\frac{\sin^2(\pi/4)}{2} = 2\pi\cdot 1\cdot\frac14 = \frac\pi2$$

Solidi di rotazione

Se il solido si ottiene ruotando attorno all'asse $z$ una regione piana del semipiano $\{x \ge 0\}$:

• per strati: se la sezione a quota $z$ è un disco di raggio $r(z)$, $\operatorname{Vol} = \int\pi\,r(z)^2\,dz$;
• secondo teorema di Pappo-Guldino: $\operatorname{Vol} = 2\pi\,\bar x\cdot\operatorname{Area}$, dove $\bar x$ è la distanza dall'asse del baricentro della regione ruotata (analogo del teorema per le aree delle superfici di rotazioneLa "parete" verticale sopra una curva piana r fino all'altezza h ≥ 0 ha area ∫_r h ds: è il significato geometrico dell'integrale curvilineo. Ruotando una curva r(t) = (r₁(t), r₂(t)) del semipiano x ≥ 0 attorno all'asse z si ottiene p(t,θ) = (r₁ cos θ, r₁ sin θ, r₂), con elemento d'area r₁|r'|: Area = 2π ∫_r x ds = 2π x̄ L (Pappo-Guldino: distanza del baricentro dall'asse per lunghezza della curva). Toro: 4π²Ra; cono: π r ℓ.Superfici di rotazione e teorema di Pappo-Guldino →); equivalentemente $\operatorname{Vol} = 2\pi\iint x\,dx\,dz$.

Esempio (Ripassi 2.6). $\{x^2 + z^2 \le (1 + \cos y)^2,\ 0 \le y \le \pi\}$ è il solido ottenuto ruotando attorno all'asse $y$ il grafico di $1 + \cos y$: le sezioni perpendicolari all'asse sono dischi di raggio $1 + \cos y$, e $\operatorname{Vol} = \int_0^\pi\pi(1 + \cos y)^2\,dy = \pi\left(\pi + \frac\pi2\right) = \frac{3\pi^2}{2}$.

Altri esercizi dei Ripassi nell'Esercizio 62 · integrali tripli dai Ripassi.

Errori comuni

• Dimenticare lo jacobiano ($\rho$ nelle cilindriche, $\rho^2\sin\varphi$ nelle sferiche).
• Scambiare $\varphi$ e $\theta$: $\varphi$ va da $0$ a $\pi$ (dal polo nord al polo sud), $\theta$ da $0$ a $2\pi$.
• Sbagliare l'ordine delle superfici in un integrale per fili: la $z$ va dalla superficie inferiore a quella superiore (se si invertono gli estremi l'integrale cambia segno).