Esercizio 54calcoli con la normale e tolleranze

Esame

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Testo.

(Appello 4, a.a. 2018/19.) Un pastificio produce spaghetti il cui diametro è una variabile normale di media $0.3$ mm e varianza $0.09$ mm². Uno spaghetto è accettabile se il diametro è compreso tra $0.21$ e $0.39$ mm. (1) Determinare la probabilità che uno spaghetto sia accettabile; (2) determinare il valore massimo della varianza che assicura che uno spaghetto sia accettabile con probabilità almeno $90\%$ .
(Appello 3, a.a. 2017/18.) Il passo delle eliche prodotte da un'azienda è normale con media $11$ cm e varianza $0.25$ cm². Le eliche con passo tra $10.8$ e $11.2$ cm sono accettabili. (a) Probabilità che un'elica sia accettabile; (b) quanto dovrebbe valere la varianza affinché la probabilità che un'elica sia accettabile superi il $70\%$ ? (frazione)
Il diametro interno medio delle guarnizioni prodotte da una macchina è $0.502$ cm, la deviazione standard $0.005$ cm; la tolleranza è tra $0.495$ e $0.508$ cm. Assumendo la legge normale, calcolare la percentuale di guarnizioni difettose.
Pezzi di lunghezza nominale $20$ cm, accettabili tra $19.5$ e $20.5$ cm; le lunghezze sono normali con media $20$ e deviazione standard $0.25$ cm. (a) Quale percentuale non rispetta la tolleranza? (b) A quale valore ridurre la deviazione standard perché il $99\%$ dei pezzi la rispetti?
L'errore di misura di un calibro è normale di media $0$ e varianza $0.5^2$ in ambiente secco, $0.25^2$ in ambiente umido; le misure sono fatte in ambiente secco nel $20\%$ dei casi. (a) Probabilità che $|X| < 0.6$ ? (b) Sapendo che $|X| < 0.6$ , probabilità che la misura sia stata fatta in ambiente umido?

Teoria: Variabili aleatorie normali (gaussiane).

Il metodo: standardizzare, $P(a < X < b) = \Phi\left(\frac{b - \mu}\sigma\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}\sigma\right)$ ; per intervalli simmetrici attorno alla media, $P(|X - \mu| < c) = 2\Phi\left(\frac c\sigma\right) - 1$ . Valori di $\Phi$ dalla tabella (controllati con Python).

1. Gli spaghetti

$\sigma = \sqrt{0.09} = 0.3$ mm. L'intervallo $[0.21, 0.39]$ è simmetrico attorno a $\mu = 0.3$ , di semiampiezza $0.09$ : $P(|X - 0.3| \le 0.09) = 2\Phi\left(\frac{0.09}{0.3}\right) - 1 = 2\Phi(0.3) - 1 \approx 2\cdot 0.6179 - 1 = 0.236$ Solo il $24\%$ : la variabilità è enorme rispetto alla tolleranza.

(2) Serve $2\Phi\left(\frac{0.09}{\sigma}\right) - 1 \ge 0.9$ , cioè $\Phi\left(\frac{0.09}\sigma\right) \ge 0.95$ . Dalla tabella $\Phi(z) = 0.95$ per $z \approx 1.645$ (tra $0.9495$ in $1.64$ e $0.9505$ in $1.65$ ). Quindi $\frac{0.09}{\sigma} \ge 1.645 \iff \sigma \le 0.0547 \iff \sigma^2 \le 0.0030 \text{ mm}^2$ La varianza va ridotta di circa $30$ volte.

2. Le eliche

(a) $\sigma = 0.5$ ; intervallo simmetrico di semiampiezza $0.2$ : $2\Phi(0.4) - 1 \approx 2\cdot 0.6554 - 1 = 0.311$ .

(b) $2\Phi\left(\frac{0.2}\sigma\right) - 1 > 0.7 \iff \Phi\left(\frac{0.2}\sigma\right) > 0.85$ . Dalla tabella $\Phi(1.04) \approx 0.8508$ , quindi serve $\frac{0.2}\sigma > 1.04$ : $\sigma < \frac{0.2}{1.04} = \frac{5}{26}, \qquad \sigma^2 < \frac{25}{676} \approx 0.037 \text{ cm}^2$

3. Le guarnizioni

$\mu = 0.502$ , $\sigma = 0.005$ ; l'intervallo non è simmetrico: $P(0.495 \le X \le 0.508) = \Phi\left(\frac{0.006}{0.005}\right) - \Phi\left(\frac{-0.007}{0.005}\right) = \Phi(1.2) - (1 - \Phi(1.4)) \approx 0.8849 - 0.0808 = 0.804$ Difettose: $1 - 0.804 \approx 19.6\%$ .

4. I pezzi meccanici

(a) $2\left(1 - \Phi\left(\frac{0.5}{0.25}\right)\right) = 2(1 - \Phi(2)) \approx 2\cdot 0.0228 = 4.6\%$ .

(b) $2\Phi\left(\frac{0.5}\sigma\right) - 1 = 0.99 \iff \Phi\left(\frac{0.5}\sigma\right) = 0.995 \iff \frac{0.5}\sigma \approx 2.576$ , quindi $\sigma \approx 0.194$ cm.

5. Il calibro e l'umidità

Partizione sull'ambiente: secco ( $0.2$ , $\sigma = 0.5$ ) o umido ( $0.8$ , $\sigma = 0.25$ ).

$P(|X| < 0.6 \mid \text{secco}) = 2\Phi(1.2) - 1 \approx 0.770$ ;
$P(|X| < 0.6 \mid \text{umido}) = 2\Phi(2.4) - 1 \approx 0.984$ .

(a) $P(|X| < 0.6) = 0.2\cdot 0.770 + 0.8\cdot 0.984 \approx 0.154 + 0.787 = 0.941$ .

(b) Bayes: $P(\text{umido} \mid |X| < 0.6) = \frac{0.787}{0.941} \approx 0.836$ (poco più di $0.8$ : un errore piccolo è un leggero indizio di ambiente umido).

Errori comuni

Usare la varianza come deviazione standard ( $0.09$ invece di $0.3$ negli spaghetti).
Nel punto 3 trattare l'intervallo come simmetrico.
Cercare in tabella $0.9$ invece di $0.95$ per una probabilità bilaterale del $90\%$ .

Versione ripasso

Testo.

(Appello 4, a.a. 2018/19.) Un pastificio produce spaghetti il cui diametro è una variabile normale di media $0.3$ mm e varianza $0.09$ mm². Uno spaghetto è accettabile se il diametro è compreso tra $0.21$ e $0.39$ mm. (1) Determinare la probabilità che uno spaghetto sia accettabile; (2) determinare il valore massimo della varianza che assicura che uno spaghetto sia accettabile con probabilità almeno $90\%$ .
(Appello 3, a.a. 2017/18.) Il passo delle eliche prodotte da un'azienda è normale con media $11$ cm e varianza $0.25$ cm². Le eliche con passo tra $10.8$ e $11.2$ cm sono accettabili. (a) Probabilità che un'elica sia accettabile; (b) quanto dovrebbe valere la varianza affinché la probabilità che un'elica sia accettabile superi il $70\%$ ? (frazione)
Il diametro interno medio delle guarnizioni prodotte da una macchina è $0.502$ cm, la deviazione standard $0.005$ cm; la tolleranza è tra $0.495$ e $0.508$ cm. Assumendo la legge normale, calcolare la percentuale di guarnizioni difettose.
Pezzi di lunghezza nominale $20$ cm, accettabili tra $19.5$ e $20.5$ cm; le lunghezze sono normali con media $20$ e deviazione standard $0.25$ cm. (a) Quale percentuale non rispetta la tolleranza? (b) A quale valore ridurre la deviazione standard perché il $99\%$ dei pezzi la rispetti?
L'errore di misura di un calibro è normale di media $0$ e varianza $0.5^2$ in ambiente secco, $0.25^2$ in ambiente umido; le misure sono fatte in ambiente secco nel $20\%$ dei casi. (a) Probabilità che $|X| < 0.6$ ? (b) Sapendo che $|X| < 0.6$ , probabilità che la misura sia stata fatta in ambiente umido?

Teoria: Variabili aleatorie normali (gaussiane).

Metodo: standardizzare; intervallo simmetrico $P(|X-\mu| < c) = 2\Phi\left(\frac c\sigma\right) - 1$ .

$\sigma = 0.3$ , semiampiezza $0.09$ . (1) $2\Phi(0.3) - 1\approx0.236$ . (2) $\Phi\left(\frac{0.09}\sigma\right)\ge0.95$ , $z\approx1.645$ : $\sigma\le0.0547$ , $\sigma^2\le0.0030$ mm $^2$ .
$\sigma = 0.5$ , semiampiezza $0.2$ . (a) $2\Phi(0.4) - 1\approx0.311$ . (b) $\Phi\left(\frac{0.2}\sigma\right) > 0.85$ , $\Phi(1.04)\approx0.8508$ : $\sigma < \frac{5}{26}$ , $\sigma^2 < \frac{25}{676}\approx0.037$ cm $^2$ .
Intervallo non simmetrico: $\Phi(1.2) - \left(1 - \Phi(1.4)\right)\approx0.8849 - 0.0808 = 0.804$ ; difettose $\approx19.6\%$ .
(a) $2(1 - \Phi(2))\approx4.6\%$ . (b) $\Phi\left(\frac{0.5}{\sigma}\right) = 0.995$ , $\frac{0.5}\sigma\approx2.576$ : $\sigma\approx0.194$ cm.
Partizione secco ( $0.2$ , $\sigma = 0.5$ ) / umido ( $0.8$ , $\sigma = 0.25$ ): $P(|X| < 0.6\mid\text{secco}) = 2\Phi(1.2) - 1\approx0.770$ , $\mid\text{umido}$ : $2\Phi(2.4) - 1\approx0.984$ . (a) $0.2\cdot0.770 + 0.8\cdot0.984\approx0.941$ . (b) Bayes: $\frac{0.787}{0.941}\approx0.836$ .

Errori tipici: usare la varianza al posto della deviazione standard (negli spaghetti $0.09$ invece di $0.3$ ); trattare come simmetrico l'intervallo del punto 3; cercare in tabella $0.9$ invece di $0.95$ per una probabilità bilaterale del $90\%$ .

Teoria collegata

Variabili aleatorie normali (gaussiane)