Esercizio 56approssimazione normale di binomiali e Poisson

---

Promemoria: $B(n, p) \approx N(np, np(1 - p))$ se $np$ e $n(1 - p)$ sono grandi; $\operatorname{Po}(\lambda) \approx N(\lambda, \lambda)$ per $\lambda \ge 50$; correzione di continuità per variabili intere. Valori esatti e approssimati calcolati con Python.

1. Il cromosoma: la normale non va bene

$np = 2$ e $np(1 - p) \approx 2$: la media è troppo piccola. La binomiale è fortemente asimmetrica (vale $0$, $1$, $2$ con probabilità $0.135$, $0.271$, $0.271$, e non può essere negativa), mentre una $N(2, 2)$ darebbe probabilità non trascurabile ai valori negativi. Non è ragionevole: qui va usata la Poisson ($n$ grande, $p$ piccolo, $np$ moderato).

2. L'exit poll

$X \sim B(1000, 0.18)$: media $180$, varianza $1000\cdot 0.18\cdot 0.82 = 147.6$, deviazione standard $12.15$. La percentuale stimata è $\frac{X}{1000}$; sbagliare di almeno un punto significa $\left|\frac{X}{1000} - 0.18\right| \ge 0.01$, cioè $|X - 180| \ge 10$, cioè $X \le 170$ oppure $X \ge 190$.

• Senza correzione: $2\left(1 - \Phi\left(\frac{10}{12.15}\right)\right) = 2(1 - \Phi(0.82)) \approx 0.41$.
• Con correzione ($X \le 170 \to Y \le 170.5$, $X \ge 190 \to Y \ge 189.5$): $2\left(1 - \Phi\left(\frac{9.5}{12.15}\right)\right) = 2(1 - \Phi(0.78)) \approx 0.434$, praticamente uguale al valore esatto ($0.434$).

Con $1000$ intervistati l'errore di un punto percentuale capita quasi una volta su due.

3. $B(1000, 0.002)$ e la normale

Media $2$, varianza $1000\cdot 0.002\cdot 0.998 = 1.996$: $$P(X \le 3) \approx \Phi\left(\frac{3.5 - 2}{\sqrt{1.996}}\right) = \Phi(1.06) \approx 0.856$$ Il valore esatto è $0.857$: qui il risultato è buono, ma con $np = 2$ la normale è in generale poco affidabile (vedi il punto 1); la Poisson $\operatorname{Po}(2)$ dà $P(Y \le 3) = e^{-2}\left(1 + 2 + 2 + \frac43\right) \approx 0.857$.

4. Le promozioni ingiuste

$X \sim B\left(37, \frac15\right)$: esatto $P(X \ge 5) \approx 0.888$.

• Poisson con $\lambda = 37\cdot 0.2 = 7.4$: $1 - \sum_{k=0}^{4}e^{-7.4}\frac{7.4^k}{k!} \approx 0.860$ (non eccellente: $p = 0.2$ non è piccolo).
• Normale con media $7.4$ e varianza $37\cdot 0.2\cdot 0.8 = 5.92$: $P(X \ge 5) \approx 1 - \Phi\left(\frac{4.5 - 7.4}{\sqrt{5.92}}\right) = \Phi(1.19) \approx 0.883$ (migliore).

5. Le macchine fotografiche

(a) $X \sim B(1000, 0.03)$: $P(X \le 20) = \sum_{k=0}^{20}\binom{1000}{k}0.03^k\,0.97^{1000-k} \approx 0.0333$.

(b) Poisson $\operatorname{Po}(30)$ ($n$ grande, $p = 0.03$ piccolo): $\sum_{k=0}^{20}e^{-30}\frac{30^k}{k!} \approx 0.0353$.

(c) Normale $N(30, 29.1)$: $\Phi\left(\frac{20.5 - 30}{\sqrt{29.1}}\right) = \Phi(-1.76) \approx 0.039$. Nelle code lontane (qui $1.8$ deviazioni standard sotto la media) l'approssimazione normale è meno precisa.

6. Il centralino

(a) $X \sim \operatorname{Po}(250)$: $P(X > 260) = 1 - \sum_{k=0}^{260}e^{-250}\frac{250^k}{k!} \approx 0.251$ (calcolo al computer).

(b) $\lambda = 250 \ge 50$, quindi $X \approx N(250, 250)$; con la correzione, $X > 260 \iff X \ge 261 \to Y \ge 260.5$: $$P(X > 260) \approx 1 - \Phi\left(\frac{10.5}{\sqrt{250}}\right) = 1 - \Phi(0.66) \approx 0.253$$

7. Pinco Pallino

(a) $X \sim B(200, 0.35)$: $P(X \ge 75) = \sum_{k=75}^{200}\binom{200}{k}0.35^k\,0.65^{200-k} \approx 0.251$.

(b) Media $70$, varianza $200\cdot 0.35\cdot 0.65 = 45.5$, deviazione standard $6.75$: $$P(X \ge 75) \approx 1 - \Phi\left(\frac{74.5 - 70}{6.75}\right) = 1 - \Phi(0.67) \approx 0.252$$

---

Riepilogo: quale approssimazione

Errori comuni

• Usare la normale con $np$ piccolo.
• Sbagliare il verso della correzione (per $X \ge 190$ si usa $189.5$, per $X \le 170$ si usa $170.5$).