Superfici parametriche e area

Lezione 8 di analisi, Unità 1-3. Prerequisiti: Curve parametriche e sostegnoUna curva è una funzione continua f : [a,b] → Rⁿ, t ↦ (f₁(t), …, fₙ(t)); il sostegno è la sua immagine, l'insieme dei punti percorsi. Curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Esempi base: cerchio (a + r cos t, b + r sin t), segmento P + t(Q − P), grafico (t, h(t)) (curva cartesiana), ellisse (a + A cos t, b + B sin t). Chiusa: f(a) = f(b); semplice: nessuna autointersezione (tranne eventualmente f(a) = f(b)). Limiti e continuità si fanno componente per componente.Curve parametriche e sostegno →, Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva →, Cambiamento di variabili negli integrali doppiSe φ : E → D, (u,v) ↦ (x,y), è biiettiva, C¹ e con det φ' ≠ 0, allora ∫_D f(x,y) dx dy = ∫_E f(φ(u,v)) |det φ'(u,v)| du dv: |det φ'| (lo jacobiano) misura di quanto φ dilata le aree. Si cambia variabile per semplificare il dominio (u = x + y, v = x − y trasformano un parallelogramma in un rettangolo) o la funzione. Se le nuove variabili sono date in funzione delle vecchie, (u,v) = ψ(x,y), si usa |det φ'| = 1/|det ψ'|. Simmetrie: f dispari in x su un dominio simmetrico rispetto all'asse y ha integrale nullo.Cambiamento di variabili negli integrali doppi →, Prodotto scalare e prodotto vettorialeIl prodotto scalare a·b = ab cosθ è un numero, massimo per vettori paralleli e nullo per vettori perpendicolari; serve per proiezioni e lavoro. Il prodotto vettoriale a×b è un vettore perpendicolare ad entrambi, di modulo ab sinθ, verso con la mano destra; serve per momenti e rotazioni.Prodotto scalare e prodotto vettoriale →.

Come una curva è un intervallo "deformato" nello spazio, una superficie è un pezzo di piano (il dominio $D$ dei parametri) deformato nello spazio.

Definizione

Definizione. Una superficie parametrica in $\mathbb{R}^3$ è una funzione continua $$p : D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, \qquad p(u, v) = \big(p_1(u, v),\ p_2(u, v),\ p_3(u, v)\big)$$ con $D$ chiuso e limitato. Il sostegno è $p(D) \subseteq \mathbb{R}^3$. $p$ è di classe $C^1$ se le componenti sono $C^1$ su un aperto che contiene $D$.

Esempio. $p(u,v) = (u, v, u^2 + v^2)$ su $D = [0,1]^2$ è una superficie parametrica $C^1$: una parte del paraboloide $z = x^2 + y^2$.

Come per le curve, superficie (la funzione) e sostegno (l'insieme) sono cose diverse, anche se spesso si confondono.

Esempi.

• Il nastro di Möbius: $p(u, v) = \big((R + v\cos\frac u2)\cos u,\ (R + v\cos\frac u2)\sin u,\ v\sin\frac u2\big)$, $u \in [0, 2\pi]$, $v \in [-\frac12, \frac12]$: un segmento di lunghezza $1$ che gira attorno a un cerchio di raggio $R$ ruotando di mezzo giro su sé stesso. Ha una sola faccia.
• Superficie cartesiana: il grafico di $f : D \to \mathbb{R}$ di classe $C^1$ è il sostegno di $p(u, v) = (u, v, f(u, v))$, $(u, v) \in D$ (spesso si scrive direttamente $(x, y, f(x, y))$).
• Sfera di raggio $R$ con le coordinate sferiche ($\varphi$ = angolo dal polo nord, $\theta$ = longitudine): $$p(\varphi, \theta) = (R\sin\varphi\cos\theta,\ R\sin\varphi\sin\theta,\ R\cos\varphi), \qquad \varphi \in [0, \pi],\ \theta \in [0, 2\pi]$$ Per $\varphi = 0$ si è al polo nord $(0, 0, R)$, per $\varphi = \frac\pi2$ sull'equatore, per $\varphi = \pi$ al polo sud.
• Cilindro laterale: $p(t, z) = (R\cos t,\ R\sin t,\ z)$, $(t, z) \in [0, 2\pi]\times[0, h]$.

I vettori tangenti $p_u$ e $p_v$

Fissato $(\bar u, \bar v) \in D$:

• $p_u(\bar u, \bar v) = (\partial_u p_1, \partial_u p_2, \partial_u p_3)$ è il vettore tangente alla curva coordinata $u \mapsto p(u, \bar v)$ (si muove solo $u$);
• $p_v(\bar u, \bar v)$ è tangente alla curva $v \mapsto p(\bar u, v)$.

Per la sfera, le curve coordinate sono i meridiani ($\theta$ fisso) e i paralleli ($\varphi$ fisso).

Richiamo: il prodotto vettore e l'area di un parallelogramma

Per $a = (a_1, a_2, a_3)$ e $b = (b_1, b_2, b_3)$: $$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$ è perpendicolare ad $a$ e $b$, e $|a \times b|$ è l'area del parallelogramma generato da $a$ e $b$ ($= |a|\,|b|\sin\alpha$).

Esempio del prof. $(1, -1, 2)\times(0, 3, -1) = \big((-1)(-1) - 2\cdot 3,\ 2\cdot 0 - 1\cdot(-1),\ 1\cdot 3 - (-1)\cdot 0\big) = (-5, 1, 3)$, e l'area è $\sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$.

L'area di una superficie

Motivazione. Un rettangolino $[u, u + \Delta u]\times[v, v + \Delta v]$ di $D$ viene mandato da $p$ in un pezzetto di superficie che, per l'approssimazione al prim'ordine, è quasi il parallelogramma generato da $p_u\,\Delta u$ e $p_v\,\Delta v$, di area $|p_u \times p_v|\,\Delta u\,\Delta v$. Sommando:

Definizione. Se $p : D \to \mathbb{R}^3$ è $C^1$, $$\operatorname{Area}(p) := \int_D|p_u(u, v) \times p_v(u, v)|\,du\,dv$$ $|p_u \times p_v|$ è l'elemento d'area della superficie (si scrive anche $d\sigma = |p_u \times p_v|\,du\,dv$).

È l'analogo esatto della lunghezza di una curva: lì l'elemento di lunghezza era $|r'(t)|$, qui l'elemento d'area è $|p_u \times p_v|$.

Esempio del prof (un parallelogramma). $p(u, v) = u\,\vec a + v\,\vec b$, $(u, v) \in [0, 3]\times[0, 2]$: il sostegno è il parallelogramma generato da $3\vec a$ e $2\vec b$, di area $|3\vec a \times 2\vec b| = 6|\vec a \times \vec b|$. Con la formula: $p_u = \vec a$, $p_v = \vec b$, e $\int_D|\vec a \times \vec b|\,du\,dv = |\vec a \times \vec b|\cdot\operatorname{Area}(D) = 6|\vec a \times \vec b|$ ✓.

Il cilindro

$p(t, z) = (R\cos t, R\sin t, z)$: $p_t = (-R\sin t, R\cos t, 0)$, $p_z = (0, 0, 1)$, $$p_t \times p_z = (R\cos t,\ R\sin t,\ 0), \qquad |p_t \times p_z| = R$$ $\operatorname{Area} = \int_0^{2\pi}\int_0^h R\,dz\,dt = 2\pi Rh$: circonferenza per altezza, come aprendo il cilindro su un piano.

La sfera (e le sue calotte)

$p(\varphi, \theta) = R(\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$: $$p_\varphi = R(\cos\varphi\cos\theta,\ \cos\varphi\sin\theta,\ -\sin\varphi), \qquad p_\theta = R(-\sin\varphi\sin\theta,\ \sin\varphi\cos\theta,\ 0)$$ $$p_\varphi \times p_\theta = R^2\big(\sin^2\varphi\cos\theta,\ \sin^2\varphi\sin\theta,\ \sin\varphi\cos\varphi\big), \qquad |p_\varphi \times p_\theta| = R^2\sin\varphi$$ (la norma: $R^2\sqrt{\sin^4\varphi + \sin^2\varphi\cos^2\varphi} = R^2\sin\varphi$, con $\sin\varphi \ge 0$ per $\varphi \in [0, \pi]$).

Area della zona $\varphi \in [\varphi_1, \varphi_2]$: $$\int_0^{2\pi}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}R^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 2\pi R^2(\cos\varphi_1 - \cos\varphi_2)$$ Per tutta la sfera ($\varphi_1 = 0$, $\varphi_2 = \pi$): $4\pi R^2$. Curiosità (Archimede): $R(\cos\varphi_1 - \cos\varphi_2)$ è l'altezza della fascia, quindi una fascia sferica ha la stessa area della fascia di cilindro circoscritto con la stessa altezza.

Superfici cartesiane

$p(x, y) = (x, y, f(x, y))$: $p_x = (1, 0, f_x)$, $p_y = (0, 1, f_y)$, $$p_x \times p_y = (-f_x,\ -f_y,\ 1), \qquad |p_x \times p_y| = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}$$ $$\operatorname{Area} = \int_D\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dx\,dy$$ (per una curva cartesiana l'elemento era $\sqrt{1 + h'^2}$: stessa struttura).

Esempio del prof: il paraboloide $z = x^2 + y^2$ sopra il disco $x^2 + y^2 \le 1$. $f_x = 2x$, $f_y = 2y$, elemento $\sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)}$, e in coordinate polari $$\operatorname{Area} = \int_0^{2\pi}\int_0^1\sqrt{1 + 4\rho^2}\,\rho\,d\rho\,dt = 2\pi\left[\frac{(1 + 4\rho^2)^{3/2}}{12}\right]_0^1 = \frac{\pi\,(5\sqrt5 - 1)}{6} \approx 5.33$$

Esempio [2023]: area di $z = xy$ dentro il cilindro $x^2 + y^2 \le 1$. Elemento $\sqrt{1 + y^2 + x^2}$, quindi $$\operatorname{Area} = \int_0^{2\pi}\int_0^1\sqrt{1 + \rho^2}\,\rho\,d\rho\,dt = 2\pi\cdot\frac{2\sqrt2 - 1}{3} = \frac{2\pi(2\sqrt2 - 1)}{3}$$

L'area non dipende dalla parametrizzazione scelta (per parametrizzazioni equivalenti), come la lunghezza delle curve: vedi Integrali superficialiL'integrale di μ continua su una superficie C¹ p : D → R³ è ∫_p μ dσ = ∫_D μ(p(u,v)) |p_u × p_v| du dv: con μ densità superficiale dà la massa, con μ = 1 l'area. Per una superficie cartesiana z = f(x,y): ∫_D μ(x, y, f(x,y)) √(1 + f_x² + f_y²) dx dy. Non dipende dalla parametrizzazione (superfici equivalenti danno lo stesso integrale). Si sfruttano coordinate sferiche per le sfere, polari per coni e paraboloidi, e le simmetrie.Integrali superficiali →.

Esercizi: Esercizio 32 · aree di superfici parametriche.

Errori comuni

• Dimenticare la norma: l'elemento d'area è $|p_u \times p_v|$, un numero, non il vettore $p_u \times p_v$.
• Sbagliare il prodotto vettore: conviene ricordare lo schema del determinante con $\vec i, \vec j, \vec k$ nella prima riga.
• Per la sfera, dimenticare il $\sin\varphi$ (l'area di un "rettangolino" sferico vicino ai poli è piccola).