Esercizio 63formula di Green e aree dai Ripassi e dagli appelli

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Testo.

Sia $\vec F(x, y) = \left(\dfrac{e^x}{\sqrt{1 + x^2}},\ 2x\right)$ e $D = \{0 < x < 1,\ \sinh x < y < \sinh 1\}$ . Determinare l'integrale di $\vec F$ sul bordo di $D$ , orientato in senso antiorario.
Calcolare l'area della regione delimitata dalla curva $\gamma(t) = (\sin(2t), \sin t)$ , $t \in [0, \pi]$ .
Sia $\Gamma$ il bordo positivamente orientato del parallelogramma di vertici $(1, 4)$ , $(-1, 2)$ , $(-1, -1)$ , $(1, 1)$ . Calcolare $\oint_\Gamma xy^2\,dx + (1 - xy^3)\,dy$ .
Determinare l'area del quadrilatero di vertici $(3, 2)$ , $(4, 5)$ , $(-1, 4)$ , $(-2, 1)$ .
Calcolare l'area racchiusa dalla lumaca descritta in coordinate polari da $\rho(t) = 2\cos t + 2$ , $t \in [0, 2\pi]$ .
(Appello 4, 2018/19, A2.) Rifare con la formula di Green il calcolo dell'integrale di $\vec F(x, y) = (6y + x,\ y + 2x)$ sul bordo del disco $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 \le 4$ orientato in senso antiorario.

Teoria: Formula di Green e calcolo di aree.

La formula: $\oint_{\partial^+D}P\,dx + Q\,dy = \iint_D(\partial_xQ - \partial_yP)\,dx\,dy$ ; per le aree $\operatorname{Area} = \oint x\,dy = \frac12\oint(x\,dy - y\,dx)$ . Risultati verificati con Python.

1. Il campo con $\frac{e^x}{\sqrt{1 + x^2}}$

Calcolare direttamente sarebbe impossibile ( $\frac{e^x}{\sqrt{1 + x^2}}$ non ha primitiva elementare), ma con Green la prima componente sparisce: dipende solo da $x$ , quindi $\partial_yP = 0$ ; e $\partial_xQ = 2$ . Quindi l'integrale è $2\operatorname{Area}(D)$ : $2\int_0^1(\sinh 1 - \sinh x)\,dx = 2\big(\sinh 1 - (\cosh 1 - 1)\big) = 2(1 - e^{-1})$ (con $\sinh 1 - \cosh 1 = -e^{-1}$ ).

2. La regione delimitata da $(\sin 2t, \sin t)$

Per $t \in [0, \pi]$ la curva parte e torna nell'origine ( $\gamma(0) = \gamma(\pi) = (0, 0)$ ), con $y = \sin t \ge 0$ : è una curva chiusa semplice nel semipiano superiore, che sale dall'origine a $(0, 1)$ passando a destra dell'asse $y$ e ridiscende a sinistra. Con $\operatorname{Area} = \left|\int x\,dy\right|$ : $\int_0^\pi\sin 2t\cdot\cos t\,dt = \int_0^\pi 2\sin t\cos^2t\,dt = \left[-\frac{2\cos^3t}{3}\right]_0^\pi = \frac43$ (positivo: la curva è percorsa in senso antiorario). $\operatorname{Area} = \frac43$ .

Attenzione: per $t \in [0, \frac\pi2]$ la $x = \sin 2t$ è positiva, per $t \in [\frac\pi2, \pi]$ negativa: la regione è simmetrica rispetto all'asse $y$ , e ciascuna metà ha area $\frac23$ .

3. Il parallelogramma

I lati stanno sulle rette $x = \pm1$ , $y = x$ (da $(-1, -1)$ a $(1, 1)$ ) e $y = x + 3$ (da $(-1, 2)$ a $(1, 4)$ ): $D = \{-1 \le x \le 1,\ x \le y \le x + 3\}$ . Con $P = xy^2$ , $Q = 1 - xy^3$ : $\partial_xQ - \partial_yP = -y^3 - 2xy$ . $\oint_\Gamma = \int_{-1}^1\int_x^{x+3}(-y^3 - 2xy)\,dy\,dx = -\frac{107}{2}$ (integrando in $y$ : $-\frac{(x+3)^4 - x^4}{4} - x\left((x + 3)^2 - x^2\right)$ , poi in $x$ ). Calcolarlo direttamente richiederebbe quattro integrali curvilinei.

4. L'area del quadrilatero

Per un poligono di vertici $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ in senso antiorario, $\frac12\oint(x\,dy - y\,dx)$ calcolata lato per lato (su un segmento da $(x_i, y_i)$ a $(x_{i+1}, y_{i+1})$ l'integrale di $x\,dy - y\,dx$ vale $x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i$ ) dà la formula di Gauss (del laccio): $\operatorname{Area} = \frac12\left|\sum_{i=1}^n(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)\right|$ Con i vertici in ordine $(3, 2), (4, 5), (-1, 4), (-2, 1)$ : $\frac12\big|(15 - 8) + (16 + 5) + (-1 + 8) + (-4 - 3)\big| = \frac12|7 + 21 + 7 - 7| = 14$

5. La lumaca (cardioide)

$\rho = 2(1 + \cos t)$ è una cardioide. In polari $x\,dy - y\,dx = \rho^2\,dt$ , quindi $\operatorname{Area} = \frac12\int_0^{2\pi}4(1 + \cos t)^2\,dt = 2\int_0^{2\pi}(1 + 2\cos t + \cos^2t)\,dt = 2(2\pi + 0 + \pi) = 6\pi$ (in accordo con la formula $\frac{3\pi a^2}2$ per $\rho = a(1 + \cos t)$ , con $a = 2$ ).

6. Il cerchio dell'appello 2018/19 con Green

$\partial_xQ - \partial_yP = 2 - 6 = -4$ , costante: $\oint\vec F\cdot dr = -4\cdot\operatorname{Area}(\text{disco di raggio } 2) = -4\cdot 4\pi = -16\pi$ lo stesso risultato del calcolo diretto nell'esercizio 25, in una riga.

Errori comuni

Ordinare i vertici del poligono a caso: la formula del laccio richiede l'ordine lungo il bordo.
Dimenticare il valore assoluto quando il verso di percorrenza non è noto.

Versione ripasso

Testo.

Sia $\vec F(x, y) = \left(\dfrac{e^x}{\sqrt{1 + x^2}},\ 2x\right)$ e $D = \{0 < x < 1,\ \sinh x < y < \sinh 1\}$ . Determinare l'integrale di $\vec F$ sul bordo di $D$ , orientato in senso antiorario.
Calcolare l'area della regione delimitata dalla curva $\gamma(t) = (\sin(2t), \sin t)$ , $t \in [0, \pi]$ .
Sia $\Gamma$ il bordo positivamente orientato del parallelogramma di vertici $(1, 4)$ , $(-1, 2)$ , $(-1, -1)$ , $(1, 1)$ . Calcolare $\oint_\Gamma xy^2\,dx + (1 - xy^3)\,dy$ .
Determinare l'area del quadrilatero di vertici $(3, 2)$ , $(4, 5)$ , $(-1, 4)$ , $(-2, 1)$ .
Calcolare l'area racchiusa dalla lumaca descritta in coordinate polari da $\rho(t) = 2\cos t + 2$ , $t \in [0, 2\pi]$ .
(Appello 4, 2018/19, A2.) Rifare con la formula di Green il calcolo dell'integrale di $\vec F(x, y) = (6y + x,\ y + 2x)$ sul bordo del disco $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 \le 4$ orientato in senso antiorario.

Teoria: Formula di Green e calcolo di aree.

Formula: $\oint_{\partial^+D}P\,dx + Q\,dy = \iint_D(\partial_xQ - \partial_yP)$ ; aree $\oint x\,dy = \frac12\oint(x\,dy - y\,dx)$ .

$P$ dipende solo da $x$ ( $\partial_yP = 0$ ), $\partial_xQ = 2$ : l'integrale è $2\operatorname{Area}(D) = 2\int_0^1(\sinh1 - \sinh x)dx = 2(1 - e^{-1})$ .
La curva è chiusa semplice antioraria ( $\gamma(0) = \gamma(\pi) = 0$ ): $\operatorname{Area} = \int_0^\pi\sin2t\cos t\,dt = \int_0^\pi2\sin t\cos^2t\,dt = \left[-\frac{2\cos^3t}{3}\right]_0^\pi = \frac43$ (due metà simmetriche di $\frac23$ ).
Lati su $x = \pm1$ , $y = x$ , $y = x + 3$ : $D = \{-1\le x\le1,\ x\le y\le x + 3\}$ . $\partial_xQ - \partial_yP = -y^3 - 2xy$ : $\int_{-1}^1\int_x^{x+3}(-y^3 - 2xy)\,dy\,dx = -\frac{107}{2}$ .
Formula del laccio, vertici in ordine: $\frac12\left|\sum(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)\right| = \frac12|7 + 21 + 7 - 7| = 14$ (su un segmento $\int x\,dy - y\,dx = x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i$ ).
$x\,dy - y\,dx = \rho^2dt$ : $\frac12\int_0^{2\pi}4(1 + \cos t)^2dt = 2(2\pi + \pi) = 6\pi$ (cardioide $a = 2$ : $\frac{3\pi a^2}{2}$ ).
$\partial_xQ - \partial_yP = 2 - 6 = -4$ : $-4\cdot4\pi = -16\pi$ , come nell'esercizio 25, in una riga.

Errori tipici: ordinare i vertici del poligono a caso (il laccio richiede l'ordine lungo il bordo); dimenticare il valore assoluto quando il verso non è noto.

Teoria collegata

Formula di Green e calcolo di aree