Esercizio 57variabili congiunte discrete dai Ripassi

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Tutte le risposte sono state controllate con Python (frazioni esatte).

3.47 I tre dadi

Densità congiunta (formula del prodotto: $P(X = x, Y = y) = P(X = x)\,P(Y = y \mid X = x)$):

• se $x$ è pari ($2, 4, 6$) si lancia il verde: $p(x, y) = \frac16\cdot\frac13 = \frac1{18}$ per $y \in \{1, 2, 3\}$;
• se $x$ è dispari ($1, 3, 5$) si lancia il bianco: $p(x, y) = \frac16\cdot\frac12 = \frac1{12}$ per $y \in \{1, 2\}$;
• $0$ altrimenti.

$P(X \le Y)$: $Y \le 3$, quindi servono $x \le 3$.

• $x = 1$ (bianco, $Y \in \{1, 2\}$): sempre $1 \le Y$: $\frac1{12} + \frac1{12} = \frac16$;
• $x = 2$ (verde): serve $Y \in \{2, 3\}$: $\frac2{18} = \frac19$;
• $x = 3$ (bianco): $Y \le 2 < 3$: $0$.

$$P(X \le Y) = \frac16 + \frac19 = \frac5{18}$$

3.48 Somme di Bernoulli con un addendo in comune

(b) Si traducono gli eventi in termini delle $X_i$:

• $(X, Y) = (0, 2)$: $X = 0$ richiede $X_2 = 0$, $Y = 2$ richiede $X_2 = 1$: impossibile, $p(0, 2) = 0$;
• $(1, 2)$: $Y = 2 \Rightarrow X_2 = X_3 = 1$, e allora $X = 1 \Rightarrow X_1 = 0$: $p(1, 2) = \frac12\cdot\frac13\cdot\frac14 = \frac1{24}$;
• $(2, 2)$: $X_1 = X_2 = X_3 = 1$: $p(2, 2) = \frac12\cdot\frac13\cdot\frac14 = \frac1{24}$.

(c) $p_Y(2) = p(0, 2) + p(1, 2) + p(2, 2) = \frac1{12}$ (controllo: $P(X_2 = 1, X_3 = 1) = \frac13\cdot\frac14 = \frac1{12}$ ✓). $X$ e $Y$ non sono indipendenti (hanno $X_2$ in comune: $p(0, 2) = 0$ ma $p_X(0)p_Y(2) > 0$).

3.49

(ii) $p(8, 4) = 0.2 \ne p_X(8)p_Y(4) = 0.25$: non indipendenti (la casella $(7, 4)$ invece soddisfa il prodotto: non basta controllarne una).

(iii) $E[X] = 1.4 + 4 + 4.8 = 10.2$, $E[Y] = 3$, $$E[XY] = 28(0.1) + 14(0.1) + 32(0.2) + 16(0.3) + 64(0.2) + 32(0.1) = 31.4, \qquad \operatorname{Cov}[X, Y] = 31.4 - 30.6 = 0.8$$

(iv) I prodotti possibili sono $28, 14, 32, 16, 64$; il valore $32$ si ottiene da $(8, 4)$ e da $(16, 2)$: $P(XY = 32) = 0.2 + 0.1 = 0.3$.

3.50

(a) Densità $\ge 0$ con somma $1$: $a, b, c > 0$ e $a + b + c = 1$. Marginali: $p_X(0) = a + c$, $p_X(1) = b$; $p_Y(0) = a$, $p_Y(1) = b$, $p_Y(2) = c$. Valori attesi: $E[X] = b$, $E[Y] = b + 2c$.

(b) $p(1, 0) = 0$, ma $p_X(1)p_Y(0) = ab > 0$: non indipendenti.

(c) $E[XY] = 1\cdot 1\cdot b = b$ (l'unica casella con $xy \ne 0$ e probabilità positiva), quindi $$\operatorname{Cov}[X, Y] = b - b(b + 2c) = b(1 - b - 2c) = b(a - c)$$ (usando $1 - b = a + c$). Siccome $b \ne 0$: non correlate $\iff a = c$. Un altro esempio di variabili non correlate ma dipendenti.

3.51 Il massimo di due dadi

(a) Dato $X = i$:

• $j < i$: impossibile ($M \ge X$), probabilità $0$;
• $j = i$: serve $Y \le i$, probabilità $\frac i6$;
• $j > i$: serve $Y = j$, probabilità $\frac16$.

(L'indipendenza permette di usare la legge di $Y$ anche sapendo $X$.)

(b) Partizione su $X$: $$p_M(j) = \sum_{i=1}^6 P(M = j \mid X = i)\frac16 = \frac16\left(\frac j6 + (j - 1)\frac16\right) = \frac{2j - 1}{36}, \qquad j = 1, \dots, 6$$ Controllo: $\sum_{j=1}^6(2j - 1) = 36$ ✓. Il massimo è più spesso alto: $P(M = 6) = \frac{11}{36}$, $P(M = 1) = \frac1{36}$.

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Errori comuni

• In 3.49 dedurre l'indipendenza dalla prima casella.
• In 3.51 dimenticare il caso $j = i$, che ha probabilità $\frac i6$ e non $\frac16$.