Esercizio 32aree di superfici parametriche

---

1. Il cilindro dentro la sfera

Il cilindro. $x^2 - 2x + y^2 = 0 \iff (x - 1)^2 + y^2 = 1$: cilindro di raggio $1$ con asse la retta $x = 1$, $y = 0$. Parametrizzazione: $$p(t, z) = (1 + \cos t,\ \sin t,\ z), \qquad p_t \times p_z = (-\sin t, \cos t, 0)\times(0, 0, 1) = (\cos t, \sin t, 0)$$ elemento d'area $|p_t \times p_z| = 1$ (il raggio).

Dentro la sfera: $z^2 \le 4 - x^2 - y^2$, e sul cilindro $x^2 + y^2 = 2x = 2 + 2\cos t$, quindi $$z^2 \le 2 - 2\cos t = 4\sin^2\frac t2 \iff |z| \le 2\left|\sin\frac t2\right| = 2\sin\frac t2 \quad (t \in [0, 2\pi])$$

Area. $$\int_0^{2\pi}\int_{-2\sin(t/2)}^{2\sin(t/2)}1\,dz\,dt = \int_0^{2\pi}4\sin\frac t2\,dt = 4\Big[-2\cos\frac t2\Big]_0^{2\pi} = 4\cdot 4 = 16$$ È la "finestra di Viviani" vista dal cilindro (vedi anche l'Esercizio 3 · curva intersezione di una sfera e di un cilindro): sorprendentemente l'area è un numero intero, senza $\pi$.

2. Il semicilindro tagliato dal piano $z = -y$

È una parete sopra una curva: la base è la semicirconferenza $r(t) = (\cos t, \sin t)$, $t \in [\pi, 2\pi]$ (dove $y \le 0$), e l'altezza è $h = -y \ge 0$. Per la formula $\operatorname{Area} = \int_r h\,ds$, con $|r'| = 1$: $$\operatorname{Area} = \int_\pi^{2\pi}(-\sin t)\,dt = \big[\cos t\big]_\pi^{2\pi} = 1 - (-1) = 2$$

3. Rotazione attorno all'asse $x$

(a) Il punto $(x, 0, h(x))$, girando attorno all'asse $x$, descrive il cerchio di raggio $h(x)$ nel piano perpendicolare all'asse: $p(x, \theta) = (x,\ h(x)\cos\theta,\ h(x)\sin\theta)$. Allora $$p_x = (1,\ h'\cos\theta,\ h'\sin\theta), \qquad p_\theta = (0,\ -h\sin\theta,\ h\cos\theta)$$ $$p_x \times p_\theta = \big(h'h(\cos^2\theta + \sin^2\theta),\ -h\cos\theta,\ -h\sin\theta\big) = (hh',\ -h\cos\theta,\ -h\sin\theta)$$ $$|p_x \times p_\theta| = \sqrt{h^2h'^2 + h^2} = h\sqrt{1 + h'^2}, \qquad \operatorname{Area} = 2\pi\int_a^b h(x)\sqrt{1 + h'(x)^2}\,dx$$ È Pappo-Guldino: $2\pi\int_r z\,ds$, perché ora la distanza dall'asse è la quota $z = h(x)$.

(b) $\int_a^b 2\pi h\sqrt{1 + h'^2} = \int_a^b 2\pi h$ richiede $\int_a^b 2\pi h\left(\sqrt{1 + h'^2} - 1\right) = 0$. L'integranda è $\ge 0$ e continua, quindi deve essere nulla ovunque: dove $h > 0$ serve $h' = 0$. Per $h > 0$ questo significa $h$ costante (la superficie è un cilindro). Se $h$ si annulla in qualche punto, l'unico caso è $h \equiv 0$ (superficie degenere). In generale le sezioni sottostimano l'area.

4. La cicloide ruotata attorno all'asse $z$

$r(t) = (t + \sin t,\ 1 + \cos t)$ nel piano $xz$, con $x = t + \sin t \ge 0$ per $t \in [0, \pi]$. Come nell'Esercizio 24 · integrali curvilinei di funzioni e baricentri, $|r'(t)| = 2\cos\frac t2$ su $[0, \pi]$. Per Pappo-Guldino: $$\operatorname{Area} = 2\pi\int_0^\pi(t + \sin t)\cdot 2\cos\frac t2\,dt$$

• $\int_0^\pi 2t\cos\frac t2\,dt$, per parti: $\left[4t\sin\frac t2\right]_0^\pi - \int_0^\pi 4\sin\frac t2\,dt = 4\pi - \left[-8\cos\frac t2\right]_0^\pi = 4\pi - 8$;
• $\int_0^\pi 2\sin t\cos\frac t2\,dt = \int_0^\pi 4\sin\frac t2\cos^2\frac t2\,dt = \left[-\frac83\cos^3\frac t2\right]_0^\pi = \frac83$ (con $\sin t = 2\sin\frac t2\cos\frac t2$).

$$\operatorname{Area} = 2\pi\left(4\pi - 8 + \frac83\right) = 8\pi^2 - \frac{32\pi}{3} \approx 45.45$$ (verificato con integrazione numerica).

5. Il cono dentro la palla (Ripassi 1.30)

La palla: $x^2 + (y - 1)^2 + z^2 \le 1$ (centro $(0, 1, 0)$, raggio $1$). Sul cono $z^2 = x^2 + y^2$, quindi la condizione diventa $2(x^2 + y^2) - 2y \le 0$, cioè $x^2 + y^2 \le y$: in polari $\rho \le \sin t$, con $t \in [0, \pi]$ (è il disco di centro $(0, \frac12)$ e raggio $\frac12$).

Elemento d'area del cono $p(\rho, t) = (\rho\cos t, \rho\sin t, \rho)$: $\sqrt2\,\rho$ (calcolato nella nota sugli integrali superficiali). Equivalentemente, come superficie cartesiana $f = \sqrt{x^2 + y^2}$: $|\nabla f| = 1$ e l'elemento è $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ (in $dx\,dy$). $$\operatorname{Area} = \sqrt2\cdot\operatorname{Area}(\text{disco di raggio } \tfrac12) = \sqrt2\cdot\frac\pi4 = \frac{\sqrt2\,\pi}{4}$$ In generale l'area di un pezzo di cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ è $\sqrt2$ volte l'area della sua proiezione sul piano $xy$.

6. Il paraboloide sotto $z = 9$

$z = x^2 + y^2 \le 9 \iff \rho \le 3$. Elemento $\sqrt{1 + 4\rho^2}$ (come nella teoria): $$\operatorname{Area} = \int_0^{2\pi}\int_0^3\sqrt{1 + 4\rho^2}\,\rho\,d\rho\,dt = 2\pi\left[\frac{(1 + 4\rho^2)^{3/2}}{12}\right]_0^3 = \frac{\pi\left(37\sqrt{37} - 1\right)}{6} \approx 117.3$$

---

Errori comuni

• Nell'esercizio 1, dimenticare il valore assoluto di $\sin\frac t2$ (qui non serve perché $t \in [0, 2\pi]$, ma va controllato).
• Nell'esercizio 5, usare l'elemento $1$ invece di $\sqrt2$: il cono è inclinato di $45°$, la sua area è maggiore di quella della proiezione.