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Note per Studenti Esercizio 62 · sin(e-x) su e-x a più e meno infinito

Esercizio 62sin(e-x) su e-x a più e meno infinito

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Testo. Calcolare

lim⁡x→+∞sin⁡(e−x)e−xelim⁡x→−∞sin⁡(e−x)e−x\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(e^{-x})}{e^{-x}} \qquad \text{e} \qquad \lim_{x \to -\infty} \frac{\sin(e^{-x})}{e^{-x}}

Teoria: Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →, paragrafo "Con le funzioni composte".

L'idea

L'espressione ha la forma sin⁡yy\frac{\sin y}{y} con y=e−xy = e^{-x}. Il limite notevole sin⁡yy→1\frac{\sin y}{y} \to 1 vale solo per y→0y \to 0. Quindi la prima cosa da capire è dove va y=e−xy = e^{-x} nei due casi: la stessa espressione ha comportamenti completamente diversi.

1. x→+∞x \to +\infty

−x→−∞-x \to -\infty, quindi y=e−x→0+y = e^{-x} \to 0^+. Con il cambio di variabile y=e−xy = e^{-x} (strettamente monotona, quindi lecito):

lim⁡x→+∞sin⁡(e−x)e−x=lim⁡y→0+sin⁡yy=1\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(e^{-x})}{e^{-x}} = \lim_{y \to 0^+} \frac{\sin y}{y} = 1

per il limite notevole del seno.

Detto con l'asintoticità: e−x→0e^{-x} \to 0, quindi sin⁡(e−x)∼e−x\sin(e^{-x}) \sim e^{-x} per x→+∞x \to +\infty, cioè sin⁡(e−x)=e−x+o(e−x)\sin(e^{-x}) = e^{-x} + o(e^{-x}).

2. x→−∞x \to -\infty

Ora −x→+∞-x \to +\infty, quindi y=e−x→+∞y = e^{-x} \to +\infty. Lo stesso cambio di variabile dà

lim⁡x→−∞sin⁡(e−x)e−x=lim⁡y→+∞sin⁡yy=0\lim_{x \to -\infty} \frac{\sin(e^{-x})}{e^{-x}} = \lim_{y \to +\infty} \frac{\sin y}{y} = 0

Qui il limite notevole non c'entra: sin⁡y\sin y è limitata (∣sin⁡y∣≤1|\sin y| \le 1) e 1y→0\frac1y \to 0, quindi il prodotto 1y⋅sin⁡y\frac1y \cdot \sin y tende a 00 (infinitesima per limitata).

Verifica numerica. x=5x = 5: ≈0,999992\approx 0{,}999992; x=10x = 10: ≈0,9999999997\approx 0{,}9999999997. x=−5x = -5: ≈−0,0046\approx -0{,}0046; x=−10x = -10: ≈−0,00003\approx -0{,}00003 ✓.

Il principio generale

Se f(x)≠0f(x) \ne 0 vicino a x0x_0 e lim⁡x→x0f(x)=0\lim_{x \to x_0} f(x) = 0, allora (cambio di variabile y=f(x)y = f(x))

lim⁡x→x0sin⁡f(x)f(x)=lim⁡y→0sin⁡yy=1,cioeˋ sin⁡f(x)∼f(x) per x→x0\lim_{x \to x_0} \frac{\sin f(x)}{f(x)} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1, \qquad \text{cioè } \sin f(x) \sim f(x) \text{ per } x \to x_0

e lo stesso vale per tutte le asintoticità che vengono dai limiti notevoli (log⁡(1+f)∼f\log(1 + f) \sim f, ef−1∼fe^f - 1 \sim f, ...). Il punto x0x_0 può essere qualunque, anche ±∞\pm\infty: conta solo che l'argomento tenda a 00.

Errori comuni

  • Scrivere 1 anche per x→−∞x \to -\infty "perché è il limite notevole del seno": l'argomento va a +∞+\infty, non a 00.
  • Usare il limite notevole con l'argomento sbagliato: in sin⁡(e−x)x\frac{\sin(e^{-x})}{x} il denominatore non è l'argomento del seno, e il limite notevole non si applica così com'è.

Versione ripasso

Testo. Calcolare lim⁡x→+∞sin⁡(e−x)e−x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(e^{-x})}{e^{-x}} e lim⁡x→−∞sin⁡(e−x)e−x\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{\sin(e^{-x})}{e^{-x}}.

Metodo: cambio di variabileI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni → y=e−xy = e^{-x} analizzando dove tende yy.

  1. Caso x→+∞x \to +\infty: y=e−x→0+y = e^{-x} \to 0^+. Applicando il limite notevole: lim⁡x→+∞sin⁡(e−x)e−x=lim⁡y→0+sin⁡yy=1\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(e^{-x})}{e^{-x}} = \lim_{y \to 0^+} \frac{\sin y}{y} = 1
  2. Caso x→−∞x \to -\infty: y=e−x→+∞y = e^{-x} \to +\infty. Il limite notevole non si applica. Si usa il teorema prodotto di una funzione infinitesima per una limitata: lim⁡y→+∞sin⁡y⏟limitata⋅1y⏟→0=0\lim_{y \to +\infty} \underbrace{\sin y}_{\text{limitata}} \cdot \underbrace{\frac{1}{y}}_{\to 0} = 0

Principio generale: Per sin⁡(f(x))∼f(x)\sin(f(x)) \sim f(x), è necessario che f(x)→0f(x) \to 0 per x→x0x \to x_0.

Errori tipici: Applicare il limite notevole indipendentemente dal valore verso cui tende l'argomento (es. pensare che il limite sia 1 anche per x→−∞x \to -\infty); non verificare che il denominatore coincida con l'argomento del seno.

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