Funzioni iperboliche e loro inverse

Lezione 10. Prerequisiti: Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →, Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →, Funzioni iniettive, suriettive e inverseIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →. Esercizi svolti: Esercizio 24 · disequazione con il coseno iperbolico, Esercizio 25 · dominio e segno con il settore coseno iperbolico.

Definizioni

Si costruiscono combinando $e^x$ ed $e^{-x}$:

Definizione (funzioni iperboliche). $$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

Si leggono seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente iperbolica. Sono definite per ogni $x \in \mathbb{R}$ (per $\tanh$ il denominatore $e^x + e^{-x}$ è sempre $> 0$).

Esempio numerico: $\sinh 1 = \frac{e - e^{-1}}{2} \approx \frac{2{,}718 - 0{,}368}{2} \approx 1{,}175$; $\cosh 1 \approx \frac{2{,}718 + 0{,}368}{2} \approx 1{,}543$.

Seno iperbolico

• Dispari: $\sinh(-x) = \frac{e^{-x} - e^{x}}{2} = -\frac{e^x - e^{-x}}{2} = -\sinh x$.
• $\sinh 0 = \frac{1 - 1}{2} = 0$. (In generale una funzione dispari con $0$ nel dominio vale $0$ in $0$: da $f(-0) = -f(0)$ si ha $f(0) = -f(0)$, cioè $2f(0) = 0$.)
• Strettamente crescente su $\mathbb{R}$: si scrive $\sinh x = \frac{e^x}{2} - \frac{1}{2e^x}$. Il primo termine è strettamente crescente; $\frac{1}{2e^x}$ è strettamente decrescente (reciproco di una funzione positiva crescente), quindi $-\frac{1}{2e^x}$ è strettamente crescente. Somma di due funzioni strettamente crescenti: strettamente crescente.
• $\sinh : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, con immagine tutto $\mathbb{R}$.

Coseno iperbolico

• Pari: $\cosh(-x) = \frac{e^{-x} + e^{x}}{2} = \cosh x$.
• $\cosh 0 = \frac{1 + 1}{2} = 1$, e $\cosh x \ge 1$ per ogni $x$.
• Strettamente crescente per $x \ge 0$ (si dimostrerà facilmente con le derivate); per simmetria è strettamente decrescente per $x \le 0$. Il grafico ha la forma di una "U" (è la forma di una catena appesa per gli estremi: si chiama catenaria), con il minimo in $(0, 1)$.

Tangente iperbolica

• Dispari: $\tanh(-x) = \frac{\sinh(-x)}{\cosh(-x)} = \frac{-\sinh x}{\cosh x} = -\tanh x$ (seno iperbolico dispari, coseno pari). $\tanh 0 = 0$.
• Limitata: $-1 < \tanh x < 1$ per ogni $x$. Per esempio $\tanh x > -1$: moltiplicando per il denominatore positivo $e^x + e^{-x}$, equivale a $e^x - e^{-x} > -e^x - e^{-x}$, cioè $2e^x > 0$, vero. (L'altra disuguaglianza è analoga: $e^x - e^{-x} < e^x + e^{-x} \iff 0 < 2e^{-x}$.)
• Strettamente crescente su $\mathbb{R}$; il grafico si avvicina alle rette $y = -1$ (a sinistra) e $y = 1$ (a destra) senza toccarle.

La proprietà fondamentale

Formula (identità fondamentale iperbolica). $$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$$

Esempio. Per $x = \ln 2$ si ha $e^x = 2$, $\cosh x = \frac{2 + 1/2}{2} = \frac{5}{4}$, $\sinh x = \frac{2 - 1/2}{2} = \frac{3}{4}$ e $\frac{25}{16} - \frac{9}{16} = 1$.

Dimostrazione. Si sviluppano i quadrati, ricordando che $e^x \cdot e^{-x} = e^0 = 1$:

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{\left(e^{2x} + 2 + e^{-2x}\right) - \left(e^{2x} - 2 + e^{-2x}\right)}{4} = \frac{4}{4} = 1 \qquad \blacksquare$$

Conseguenze: $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x}$ (con il segno $+$ perché $\cosh x > 0$), e $\sinh x = \pm\sqrt{\cosh^2 x - 1}$ con il segno $+$ per $x \ge 0$ e $-$ per $x < 0$.

Significato geometrico (perché "iperboliche")

Posto $X = \cosh x$ e $Y = \sinh x$, la proprietà fondamentale dice $X^2 - Y^2 = 1$: il punto $P = (\cosh x, \sinh x)$ sta sull'iperbole $X^2 - Y^2 = 1$, e precisamente sul ramo con $X > 0$ (perché $\cosh x > 0$). Al variare di $x$ da $-\infty$ a $+\infty$, $P$ percorre tutto quel ramo, dal basso verso l'alto, passando per $(1, 0)$ quando $x = 0$. È l'analogo di quello che fanno $\cos$ e $\sin$ sulla circonferenza $X^2 + Y^2 = 1$ (vedi Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →).

Le inverse

1. Settore seno iperbolico. $\sinh : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è strettamente crescente (quindi iniettiva) e suriettiva: esiste l'inversa

$$\mathrm{settsinh} = \sinh^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$

strettamente crescente e dispari.

2. Settore coseno iperbolico. $\cosh : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ non è iniettiva (è pari: $\cosh(-1) = \cosh 1$). Però la sua restrizione $\cosh : [0, +\infty) \to [1, +\infty)$ è strettamente crescente e suriettiva, e si definisce

$$\mathrm{settcosh} = \cosh^{-1} : [1, +\infty) \to [0, +\infty)$$

strettamente crescente. Attenzione al dominio: $\mathrm{settcosh}$ esiste solo per argomenti $\ge 1$.

3. Settore tangente iperbolica. $\tanh : \mathbb{R} \to (-1, 1)$ è strettamente crescente, dispari, suriettiva su $(-1, 1)$:

$$\mathrm{setttanh} = \tanh^{-1} : (-1, 1) \to \mathbb{R}$$

strettamente crescente e dispari.

Formule esplicite

Formula (inverse iperboliche). $$\mathrm{settsinh}\, x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \ \ \forall x \in \mathbb{R} \qquad \mathrm{settcosh}\, x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \ \ \forall x \ge 1 \qquad \mathrm{setttanh}\, x = \frac12 \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \ \ \forall x \in (-1, 1)$$

Esempio. $\mathrm{settsinh}\,\frac{3}{4} = \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{9}{16} + 1}\right) = \ln\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{4}\right) = \ln 2$.

Dimostrazione della prima (come la fa la prof). Si deve esplicitare $x$ da $y = \sinh x$:

1. $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \iff e^x - e^{-x} = 2y \iff e^x - 2y - e^{-x} = 0$.
2. Si moltiplica per $e^x > 0$ (trucco da ricordare per equazioni e disequazioni con $e^x$ ed $e^{-x}$): $e^{2x} - 2y\,e^x - 1 = 0$.
3. Si pone $t = e^x$: $t^2 - 2yt - 1 = 0$, equazione di secondo grado in $t$, con soluzioni $t_{1,2} = y \pm \sqrt{y^2 + 1}$.
4. Si scarta la soluzione negativa: $y - \sqrt{y^2 + 1} < 0$ (perché $\sqrt{y^2 + 1} > \sqrt{y^2} = |y| \ge y$), ma $e^x > 0$: non va bene. Resta $e^x = y + \sqrt{y^2 + 1}$ (che è $> 0$).
5. Si prende il logaritmo: $x = \ln\left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right)$.
6. Scambiando i nomi delle variabili: $\mathrm{settsinh}\, x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ ∎.

Controllo: $\mathrm{settsinh}(0) = \ln(0 + 1) = 0$ ✓ (e $\sinh 0 = 0$).

Errori comuni

• Usare $\mathrm{settcosh}$ fuori dal suo dominio $[1, +\infty)$.
• Pensare che $\cosh$ sia invertibile su $\mathbb{R}$: lo è solo ristretta a $[0, +\infty)$.
• Nelle disequazioni con $\cosh$, "togliere" il $\cosh$ come se fosse crescente ovunque: è pari, quindi $\cosh A \ge \cosh B$ non equivale ad $A \ge B$ (vedi l'Esercizio 24 · disequazione con il coseno iperbolico).