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Note per Studenti Esercizio 160 · y' + 2ty = t e-t2 e y' = ty su (t2+1)

Esercizio 160y' + 2ty = t e-t2 e y' = ty su (t2+1)

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Testo.

  1. Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale y′(t)+2t y(t)=t e−t2y'(t) + 2t\,y(t) = t\,e^{-t^2}. Determinare la soluzione tale che y(1)=5y(1) = 5.
  2. Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale y′(t)=t y(t)t2+1y'(t) = \dfrac{t\,y(t)}{t^2 + 1}.

Teoria: Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →.

1.

Riconoscere l'equazione

y′+2t y=t e−t2y' + 2t\,y = t\,e^{-t^2} è della forma y′+a(t) y=b(t)y' + a(t)\,y = b(t), quindi lineare del primo ordine, con

  • a(t)=2ta(t) = 2t, continua su R\mathbb{R};
  • b(t)=t e−t2b(t) = t\,e^{-t^2}, continua su R\mathbb{R}.

Per il teorema di esistenza e unicità le soluzioni sono definite su I=RI = \mathbb{R}.

Integrale generale

La primitiva di aa, senza costante: A(t)=∫2t dt=t2A(t) = \int 2t\,dt = t^2.

La formula y(t)=e−A(t)[c+∫eA(t)b(t) dt]y(t) = e^{-A(t)}\left[c + \int e^{A(t)}b(t)\,dt\right]: y(t)=e−t2[c+∫et2⋅t e−t2 dt]=e−t2[c+∫t dt]=e−t2[c+12t2]y(t) = e^{-t^2}\left[c + \int e^{t^2}\cdot t\,e^{-t^2}\,dt\right] = e^{-t^2}\left[c + \int t\,dt\right] = e^{-t^2}\left[c + \frac12 t^2\right] Il fattore integranteÈ la funzione e^(A(t)) per cui si moltiplica l'equazione: trasforma il primo membro y' + a y nella derivata del prodotto e^(A(t)) y. et2e^{t^2} si semplifica con e−t2e^{-t^2} dentro bb: per questo l'integrale è immediato.

y(t)=e−t2(c+t22)∀c∈R, ∀t∈Ry(t) = e^{-t^2}\left(c + \frac{t^2}{2}\right) \qquad \forall c \in \mathbb{R},\ \forall t \in \mathbb{R}

Controllo (sempre utile): y′=−2t e−t2(c+t22)+e−t2⋅ty' = -2t\,e^{-t^2}\left(c + \frac{t^2}{2}\right) + e^{-t^2}\cdot t, quindi y′+2ty=t e−t2y' + 2ty = t\,e^{-t^2} ✓.

Soluzione con y(1)=5y(1) = 5

Si impone la condizione (t0=1t_0 = 1, x0=5x_0 = 5) nell'integrale generale: y(1)=e−1(c+12)=5  ⟺  c+12=5e  ⟺  c=5e−12y(1) = e^{-1}\left(c + \frac12\right) = 5 \iff c + \frac12 = 5e \iff c = 5e - \frac12 (si è moltiplicato per ee). Quindi y(t)=e−t2(5e−12+t22)∀t∈Ry(t) = e^{-t^2}\left(5e - \frac12 + \frac{t^2}{2}\right) \qquad \forall t \in \mathbb{R}

4.

Riconoscere l'equazione

Portando tutto a sinistra: y′−tt2+1 y=0y' - \frac{t}{t^2 + 1}\,y = 0 È lineare del primo ordine omogenea (b=0b = 0), con a(t)=−tt2+1a(t) = -\frac{t}{t^2 + 1}, continua su I=RI = \mathbb{R} (il denominatore non si annulla mai).

Integrale generale

Primitiva di aa. Si fa comparire la derivata del denominatore (D(t2+1)=2tD(t^2 + 1) = 2t) moltiplicando e dividendo per 22: A(t)=−∫tt2+1 dt=−12∫2tt2+1 dt=−12log⁡(t2+1)A(t) = -\int\frac{t}{t^2 + 1}\,dt = -\frac12\int\frac{2t}{t^2 + 1}\,dt = -\frac12\log(t^2 + 1) (integrale del tipo ∫g′g=log⁡∣g∣\int\frac{g'}{g} = \log|g|, e t2+1>0t^2 + 1 > 0 quindi il modulo non serve).

Formula per l'omogenea y=c e−A(t)y = c\,e^{-A(t)}: y(t)=c e12log⁡(t2+1)=c elog⁡t2+1=ct2+1y(t) = c\,e^{\frac12\log(t^2 + 1)} = c\,e^{\log\sqrt{t^2 + 1}} = c\sqrt{t^2 + 1} (con 12log⁡u=log⁡u\frac12\log u = \log\sqrt u e elog⁡u=ue^{\log u} = u).

y(t)=ct2+1∀c∈R, ∀t∈Ry(t) = c\sqrt{t^2 + 1} \qquad \forall c \in \mathbb{R},\ \forall t \in \mathbb{R}

Controllo: y′=c tt2+1y' = c\,\frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}} e t yt2+1=c tt2+1t2+1=c tt2+1\frac{t\,y}{t^2 + 1} = \frac{c\,t\sqrt{t^2 + 1}}{t^2 + 1} = \frac{c\,t}{\sqrt{t^2 + 1}} ✓.

Verifica (con Python, dsolve): le soluzioni coincidono ✓.

Errori comuni

  • In 4, prendere a(t)=+tt2+1a(t) = +\frac{t}{t^2 + 1}: l'equazione va prima scritta nella forma y′+a(t)y=b(t)y' + a(t)y = b(t), e il segno cambia.
  • In 1, imporre la condizione iniziale su una formula senza costante (o con la costante messa fuori dalla parentesi): cc va dentro, sommata all'integrale.
  • Dimenticare e−1e^{-1} quando si impone y(1)=5y(1) = 5.

Versione ripasso

Teoria: Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →.

1.

Testo. Determinare l'integrale generale di y′+2t y=t e−t2y' + 2t\,y = t\,e^{-t^2} e la soluzione tale che y(1)=5y(1) = 5.

Metodo: Metodo della formula risolutivay' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →.

  1. Identificare a(t)=2ta(t) = 2t e b(t)=t e−t2b(t) = t\,e^{-t^2}. Primitiva A(t)=∫2t dt=t2A(t) = \int 2t\,dt = t^2.
  2. Applicare y(t)=e−A(t)[c+∫eA(t)b(t) dt]y(t) = e^{-A(t)}\left[c + \int e^{A(t)}b(t)\,dt\right]: y(t)=e−t2[c+∫et2⋅t e−t2 dt]=e−t2[c+t22]y(t) = e^{-t^2}\left[c + \int e^{t^2} \cdot t\,e^{-t^2}\,dt\right] = e^{-t^2}\left[c + \frac{t^2}{2}\right]
  3. Imporre y(1)=5y(1) = 5: e−1(c+1/2)=5⇒c=5e−1/2e^{-1}(c + 1/2) = 5 \Rightarrow c = 5e - 1/2.
  4. Soluzione finale: y(t)=e−t2(5e−12+t22)y(t) = e^{-t^2}\left(5e - \frac{1}{2} + \frac{t^2}{2}\right).

Errori tipici: non includere la costante cc dentro la parentesi prima di moltiplicare per il fattore integranteÈ la funzione eA(t)e^{A(t)} per cui si moltiplica l'equazione: trasforma il primo membro y′+ayy' + ay nella derivata del prodotto eA(t)ye^{A(t)}y..

4.

Testo. Determinare l'integrale generale di y′=t yt2+1y' = \frac{t\,y}{t^2 + 1}.

Metodo: Separazione delle variabili / Formula omogeneay' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →.

  1. Riscrivere y′−tt2+1y=0y' - \frac{t}{t^2 + 1}y = 0. Qui a(t)=−tt2+1a(t) = -\frac{t}{t^2 + 1}.
  2. Primitiva A(t)=−12∫2tt2+1dt=−12log⁡(t2+1)A(t) = -\frac{1}{2} \int \frac{2t}{t^2 + 1} dt = -\frac{1}{2} \log(t^2 + 1).
  3. Usare la formula per l'equazione omogenea y=c e−A(t)y = c\,e^{-A(t)}: y(t)=c e12log⁡(t2+1)=ct2+1y(t) = c\,e^{\frac{1}{2}\log(t^2 + 1)} = c\sqrt{t^2 + 1}

Errori tipici: dimenticare il cambio di segno portando il termine con yy al primo membro (il coefficiente a(t)a(t) deve essere −tt2+1-\frac{t}{t^2 + 1}).

Teoria collegata