Esercizio 60studio di log(e^modulo di x) - 1) + 3 modulo di x

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(a) Dominio, simmetrie, segno

Dominio

L'argomento del logaritmo deve essere positivo:

$$e^{|x|} - 1 > 0 \iff e^{|x|} > 1 = e^0 \iff |x| > 0 \iff x \ne 0$$

(l'esponenziale è strettamente crescente, quindi $e^A > e^0 \iff A > 0$). Dominio: $X = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Simmetrie

$|-x| = |x|$, quindi $f(-x) = f(x)$: $f$ è pari, il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$. Basta studiarla per $x > 0$ e poi ribaltare.

Per $x > 0$ si ha $|x| = x$:

$$f(x) = \log(e^x - 1) + 3x \qquad (x > 0)$$

Segno (per $x > 0$)

$$f(x) > 0 \iff \log(e^x - 1) > -3x \iff e^x - 1 > e^{-3x}$$

(si applica l'esponenziale, strettamente crescente, ai due membri, e $e^{\log(e^x - 1)} = e^x - 1$).

È una disequazione mista: si confrontano i grafici di $y_1 = e^x - 1$ (crescente, vale $0$ in $0$) e $y_2 = e^{-3x}$ (decrescente, vale $1$ in $0$). Vicino a $0$ sta sopra $y_2$; poi $y_1$ cresce e $y_2$ cala, e si incontrano in un solo punto $\bar x > 0$. Precisamente: $h(x) = e^x - 1 - e^{-3x}$ è strettamente crescente (somma di crescenti), $h(0) = -1 < 0$ e $h(1) = e - 1 - e^{-3} > 0$, quindi c'è un unico zero $\bar x \in \,]0, 1[$.

(Con $t = e^x$ l'equazione $t - 1 = t^{-3}$ diventa $t^4 - t^3 - 1 = 0$; numericamente $t \approx 1{,}380$ e $\bar x = \log t \approx 0{,}322$. A lezione basta sapere che esiste.)

Quindi, per $x > 0$: $f(x) < 0$ per $0 < x < \bar x$, $f(\bar x) = 0$, $f(x) > 0$ per $x > \bar x$. Per simmetria, per $x < 0$: $f > 0$ per $x < -\bar x$, $f < 0$ per $-\bar x < x < 0$.

(b) Limiti alla frontiera, asintoti, continuità

La frontiera del dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è fatta da $-\infty$, $+\infty$, $0^-$, $0^+$. Per la simmetria si calcolano solo $0^+$ e $+\infty$.

In $0$

$$\lim_{x \to 0^+} \left[\log(e^x - 1) + 3x\right] = \log(0^+) + 0 = -\infty$$

($e^x - 1 \to 0^+$ perché $e^x > 1$ per $x > 0$). Per la parità $f(0^-) = f(0^+) = -\infty$.

• $f$ è continua in tutto il dominio (è fatta di funzioni elementari: modulo, esponenziale, logaritmo, composte e sommate).
• In $0$ non è prolungabile per continuità (il limite è infinito).
• $x = 0$ è asintoto verticale completo.

A $+\infty$

$$\lim_{x \to +\infty} \left[\log(e^x - 1) + 3x\right] = +\infty + \infty = +\infty$$

Può esserci un asintoto obliquo. Il modo migliore è riscrivere il logaritmo raccogliendo dentro il termine più grande, $e^x$:

$$\log(e^x - 1) = \log\left(e^x(1 - e^{-x})\right) = \log(e^x) + \log(1 - e^{-x}) = x + \log(1 - e^{-x})$$

Quindi, per $x > 0$,

$$f(x) = 4x + \log(1 - e^{-x})$$

e il secondo addendo tende a $\log 1 = 0$. Ora:

• $m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x + \log(1 - e^{-x})}{x} = 4$ (il logaritmo tende a $0$, quindi è $o(x)$);
• $q = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - 4x\right] = \lim_{x \to +\infty} \log(1 - e^{-x}) = \log 1 = 0$.

Asintoto obliquo a $+\infty$: $y = 4x$.

(Si può arrivare a $m = 4$ anche con l'asintoticità: $e^x - 1 \sim e^x \to +\infty$, e il logaritmo conserva l'asintoticità, quindi $\log(e^x - 1) \sim \log(e^x) = x$. Ma per $q$ serve comunque la scrittura esatta.)

A $-\infty$, per simmetria

Se $f$ è pari e $y = mx + q$ è asintoto obliquo a $+\infty$, allora $y = -mx + q$ è asintoto obliquo a $-\infty$ (si ribalta la retta rispetto all'asse $y$). Asintoto obliquo a $-\infty$: $y = -4x$.

Verifica numerica. $f(x) - 4x$ vale $\approx -0{,}0068$ per $x = 5$, $\approx -4{,}5 \cdot 10^{-5}$ per $x = 10$: tende a $0$ (da sotto, perché $\log(1 - e^{-x}) < 0$) ✓.

(c) Limitatezza

Dai limiti: $f(x) \to -\infty$ per $x \to 0$ e $f(x) \to +\infty$ per $x \to \pm\infty$. Quindi

$$\inf_X f = -\infty, \qquad \sup_X f = +\infty$$

e $f$ non è né inferiormente né superiormente limitata.

Errori comuni

• Dimenticare la parità: dimezza il lavoro, ma bisogna ricordarsi di riportare i risultati a $x < 0$ (con l'asintoto $y = -4x$, non $y = 4x$).
• Calcolare $q$ con gli asintotici: $\log(e^x - 1) \sim x$ non basta per $f(x) - 4x$ (sarebbe una differenza); serve $\log(e^x - 1) = x + \log(1 - e^{-x})$.
• Dire che $f$ ha una discontinuità in $0$: $0$ non sta nel dominio; si dice che non è prolungabile e che c'è un asintoto verticale.