Sommatorie (da zero)

Esempi svolti: Esercizio 4 · differenza di due sommatorie, Esercizio 10 · somma dei primi n numeri per induzione. Argomento della lezione 2 (sommatorie e sommatorie notevoli).

L'idea: una somma lunga scritta in breve

Supponi di dover scrivere la somma dei primi cento numeri:

$$1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 100$$

È lunga e scomoda. La matematica ha un simbolo per dire la stessa cosa in modo compatto: la sommatoria, che usa la lettera greca sigma maiuscola, $\sum$ ("sigma" = la nostra "S" di somma).

$$\sum_{k=1}^{100} k = 1 + 2 + 3 + \dots + 100$$

Una sommatoria non è un concetto nuovo: è solo una scrittura abbreviata di una somma. Tutto quello che si può fare con le somme normali si può fare con le sommatorie.

Come si legge, pezzo per pezzo

$$\sum_{k=1}^{5} (2k + 1)$$

La forma generale (come la scrive la prof)

Definizione (sommatoria). $$\sum_{k=1}^{n} x_k = x_1 + x_2 + \dots + x_n \qquad x_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}$$

Esempio. $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$.

Qui $x_k$ è il termine $k$-esimo (l'addendo che occupa il posto $k$) e $k$ è l'indice di sommatoria. Attenzione a non confondere i ruoli: $n$ è il numero di addendi (fisso), mentre $k$ è il contatore che va da $1$ a $n$.

Come si calcola: si scrive per esteso

Si fa correre l'indice da quello iniziale a quello finale, un valore alla volta, e per ogni valore si calcola la formula:

$$\sum_{k=1}^{5} (2k+1)$$

Poi si sommano i risultati: $3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35$.

Altri esempi per prenderci la mano

Esempio A. $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$.

Esempio B (non si parte per forza da 1). $\displaystyle\sum_{k=3}^{6} k = 3 + 4 + 5 + 6 = 18$.

Esempio C (frazioni). $\displaystyle\sum_{k=1}^{3} \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$.

Esempio D (la formula può essere più complicata). $\displaystyle\sum_{k=1}^{3} \frac{1}{k+1}$: si sostituisce $k$ con $1, 2, 3$ e si ottiene $\frac{1}{1+1} + \frac{1}{2+1} + \frac{1}{3+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.

Attenzione all'esempio D: $\frac{1}{k+1}$ significa "uno diviso $(k+1)$", non "$\frac{1}{k}$ più $1$". Il $+1$ sta nel denominatore.

Quanti termini ci sono

Se l'indice va da $a$ a $b$ (estremi inclusi), i termini sono

$$b - a + 1$$

Per esempio da $k = 3$ a $k = 6$: $6 - 3 + 1 = 4$ termini ($3, 4, 5, 6$). Il "$+1$" serve perché se togli $3$ da $6$ ottieni $3$, ma i numeri $3, 4, 5, 6$ sono quattro: si conta anche il primo.

L'indice è "muto"

Il nome della lettera non conta. Queste tre scritture sono la stessa somma:

$$\sum_{k=1}^{3} \frac{1}{k} \qquad \sum_{j=1}^{3} \frac{1}{j} \qquad \sum_{i=1}^{3} \frac{1}{i}$$

Tutte valgono $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$. Una volta scritta la somma per esteso, la lettera dell'indice sparisce, quindi possiamo ribattezzarla come ci fa comodo. Si dice "indice muto".

Cambio di indice (traslazione)

A che serve. A volte due sommatorie hanno lo stesso aspetto ma "partono" da punti diversi, e per confrontarle vogliamo che abbiano la stessa formula. Si cambia nome all'indice in modo che la formula diventi più semplice.

Come si fa, in tre mosse.

1. Si sceglie un nuovo indice $j$ legato al vecchio, per esempio $j = k + 1$.
2. Si ricalcolano gli estremi: si guarda quanto vale $j$ quando $k$ ha il valore iniziale e quando ha il valore finale.
3. Si riscrive la formula usando $j$.

Esempio. $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k+1}$, con $j = k + 1$:

• Quando $k = 1$, $j = 1 + 1 = 2$ (nuovo estremo iniziale).
• Quando $k = 100$, $j = 100 + 1 = 101$ (nuovo estremo finale).
• La formula $\frac{1}{k+1}$ diventa $\frac{1}{j}$.

Risultato: $\displaystyle\sum_{j=2}^{101} \frac{1}{j}$.

Controllo che sia la stessa somma. Scriviamo per esteso entrambe le forme con pochi termini (mettiamo $3$ al posto di $100$):

• $\sum_{k=1}^{3} \frac{1}{k+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$
• $\sum_{j=2}^{4} \frac{1}{j} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ ✓

È lo stesso elenco di addendi, scritto in un altro modo. Cambiare indice non cambia il valore della somma, purché si ricalcolino gli estremi.

L'esempio della prof: far partire la somma da $0$.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} = \sum_{k=1}^{4} \frac{1}{2^k}$$

Vogliamo un indice $h$ che parta da $0$. Poniamo $h = k - 1$ (cioè $k = h + 1$):

• quando $k = 1$: $h = 1 - 1 = 0$ ✓;
• quando $k = 4$: $h = 4 - 1 = 3$;
• la formula $\frac{1}{2^k}$ diventa $\frac{1}{2^{h+1}}$ (si sostituisce $k$ con $h + 1$).

$$\sum_{k=1}^{4} \frac{1}{2^k} = \sum_{h=0}^{3} \frac{1}{2^{h+1}}$$

Controllo: per $h = 0, 1, 2, 3$ si ottiene $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ ✓.

Regola generale (traslazione per partire da $0$). Se $0 \le n_0 < n$:

$$\sum_{k=n_0}^{n} x_k = \sum_{h=0}^{n - n_0} x_{h + n_0} = x_{n_0} + x_{n_0+1} + \dots + x_n$$

con il cambio $h = k - n_0$, cioè $k = h + n_0$: quando $k = n_0$ si ha $h = 0$, quando $k = n$ si ha $h = n - n_0$. Il numero di termini resta $n - n_0 + 1$, come deve.

Riflessione dell'indice (sommare al contrario)

A volte conviene percorrere gli addendi in ordine inverso, dall'ultimo al primo. Dato che l'ordine degli addendi non cambia una somma, il valore resta lo stesso.

Esempio della prof.

$$\sum_{k=1}^{4} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} = \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^1}$$

Vogliamo scrivere la somma letta da destra a sinistra, con un indice $h$ che parte da $0$. Poniamo $h = 4 - k$ (cioè $k = 4 - h$):

• quando $k = 4$ (l'ultimo termine, che ora viene per primo): $h = 0$;
• quando $k = 1$: $h = 4 - 1 = 3$;
• la formula diventa $\frac{1}{2^{4-h}}$.

$$\sum_{k=1}^{4} \frac{1}{2^k} = \sum_{h=0}^{3} \frac{1}{2^{4-h}}$$

Controllo: per $h = 0, 1, 2, 3$ si ottiene $\frac{1}{2^4}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^1}$ ✓.

Regola generale. Se $0 \le n_0 < n$:

$$\sum_{k=n_0}^{n} x_k = \sum_{h=0}^{n - n_0} x_{n - h}$$

con $h = n - k$: quando $k = n$, $h = 0$; quando $k = n_0$, $h = n - n_0$.

A cosa servono traslazione e riflessione. Ora, nelle dimostrazioni con le sommatorie (per esempio quella del Binomio di NewtonLa formula per sviluppare (a+b)^n con i coefficienti binomiali.Binomio di Newton → o della somma geometrica qui sotto), dove bisogna confrontare due somme scritte con indici diversi. Più avanti nel corso, nei limiti di successioni e nelle serie.

Spezzare una sommatoria in due

Una somma lunga si può tagliare in due pezzi consecutivi. Per esempio:

$$\sum_{k=1}^{6} k = (1 + 2 + 3) + (4 + 5 + 6) = \sum_{k=1}^{3} k + \sum_{k=4}^{6} k$$

In generale, se si taglia dopo il termine $c$, il secondo pezzo riparte da $c + 1$ (così nessun termine viene contato due volte né dimenticato).

Cancellare termini uguali

Se in una differenza compare lo stesso gruppo di addendi con il segno $+$ e con il segno $-$, quel gruppo si cancella (è un numero, e un numero meno se stesso fa zero). Per esempio:

$$(\tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14) - (\tfrac12 + \tfrac13) = \tfrac14$$

Restano solo gli addendi che compaiono in un posto solo. Questa è la tecnica dell'Esercizio 4 · differenza di due sommatorie.

Le proprietà delle sommatorie (riassunto della prof)

Proprietà (linearità delle sommatorie). 1. Linearità (due proprietà):

$$\sum_{k=1}^{n} c \cdot x_k = c \cdot \sum_{k=1}^{n} x_k \quad \forall c \in \mathbb{R} \qquad\qquad \sum_{k=1}^{n} (x_k + y_k) = \sum_{k=1}^{n} x_k + \sum_{k=1}^{n} y_k$$

Perché. La prima è il raccoglimento a fattor comune: $c x_1 + c x_2 + \dots + c x_n = c(x_1 + \dots + x_n)$. La seconda è la proprietà commutativa e associativa della somma: $(x_1 + y_1) + \dots + (x_n + y_n)$ si può riordinare in $(x_1 + \dots + x_n) + (y_1 + \dots + y_n)$.

Esempio: $\sum_{k=1}^{3} (2k + 1) = 2 \sum_{k=1}^{3} k + \sum_{k=1}^{3} 1 = 2 \cdot 6 + 3 = 15$; controllo: $3 + 5 + 7 = 15$ ✓.

Attenzione: la linearità non vale per i prodotti. In generale $\sum x_k y_k \ne \left(\sum x_k\right)\left(\sum y_k\right)$: con $x = y = (1, 1)$ si ha $1 + 1 = 2$ a sinistra e $2 \cdot 2 = 4$ a destra.

Proprietà (additività delle sommatorie). 2. Additività (spezzare in due pezzi consecutivi): se $1 \le m < n$,

$$\sum_{k=1}^{n} x_k = \sum_{k=1}^{m} x_k + \sum_{k=m+1}^{n} x_k$$

Esempio. $\displaystyle\sum_{k=1}^{6} k = 21 = \sum_{k=1}^{2} k + \sum_{k=3}^{6} k = 3 + 18$.

3. Traslazione dell'indice e 4. riflessione dell'indice: viste sopra.

Sommatorie notevoli

Sono somme di cui si conosce una formula chiusa (una formula che dà il risultato senza dover sommare tutti i termini).

Somma di una costante

Formula (somma di una costante). $$\sum_{k=n_0}^{n} c = \underbrace{c + c + \dots + c}_{n - n_0 + 1 \text{ volte}} = (n - n_0 + 1) \cdot c$$

Esempio. $\displaystyle\sum_{k=3}^{7} 5 = (7 - 3 + 1) \cdot 5 = 25$.

L'indice $k$ non compare nella formula dell'addendo, quindi ogni addendo vale $c$: si somma $c$ tante volte quanti sono i termini. Esempio: $\sum_{k=0}^{n} 1 = n + 1$ (da $0$ a $n$ ci sono $n + 1$ termini, non $n$).

Somma dei primi $n$ numeri (formula di Gauss)

Formula (somma dei primi n numeri, Gauss). $$\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Esempio. $n = 100$: $1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$.

Esempi: $n = 3$: $1 + 2 + 3 = 6$ e $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ ✓. $n = 100$: $1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$.

Idea (il trucco di Gauss). Scriviamo la somma due volte, una in ordine crescente e una al contrario (è una riflessione dell'indice!), e sommiamo in colonna:

$$\begin{array}{ccccccc} S &=& 1 &+& 2 &+ \dots +& n \\ S &=& n &+& (n-1) &+ \dots +& 1 \\ \hline 2S &=& (n+1) &+& (n+1) &+ \dots +& (n+1) \end{array}$$

Ogni colonna dà $n + 1$ e le colonne sono $n$, quindi $2S = n(n+1)$, cioè $S = \frac{n(n+1)}{2}$. La dimostrazione rigorosa fatta dalla prof è per induzione: Esercizio 10 · somma dei primi n numeri per induzione.

Somma della progressione geometrica

Per ogni $q \ne 1$:

Formula (somma della progressione geometrica). $$\sum_{k=0}^{n} q^k = 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$

Esempio. $q = \frac{1}{2}$, $n = 3$: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{15}{8} = \frac{1 - (1/2)^4}{1 - 1/2}$.

Il numero $q$ si chiama ragione (ogni termine si ottiene dal precedente moltiplicando per $q$).

Esempio. $q = \frac{1}{2}$, $n = 3$:

$$\sum_{k=0}^{3} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1 - \left(\frac12\right)^4}{1 - \frac12} = \frac{1 - \frac{1}{16}}{\frac12} = 2\left(1 - \frac{1}{2^4}\right) = 2 \cdot \frac{15}{16} = \frac{15}{8}$$

Controllo a mano: $1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac{8 + 4 + 2 + 1}{8} = \frac{15}{8}$ ✓.

Due casi particolari.

• $q = 0$. Si usa la convenzione $0^0 = 1$. Allora $\sum_{k=0}^{n} 0^k = 0^0 + 0^1 + \dots + 0^n = 1 + 0 + \dots + 0 = 1$, e la formula dà $\frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$ ✓. (Senza la convenzione la formula sarebbe sbagliata per $q = 0$.)
• $q = 1$. La formula non si può usare (si dividerebbe per $1 - 1 = 0$), ma la somma è facile: $\sum_{k=0}^{n} 1^k = \sum_{k=0}^{n} 1 = n + 1$.

Dimostrazione "intuitiva". Per $q \ne 1$ la formula equivale (moltiplicando per $1 - q \ne 0$) a

$$(1 - q) \sum_{k=0}^{n} q^k = 1 - q^{n+1}$$

e infatti, moltiplicando:

$$(1 - q)(1 + q + q^2 + \dots + q^n) = (1 + q + q^2 + \dots + q^n) - (q + q^2 + \dots + q^n + q^{n+1}) = 1 - q^{n+1}$$

perché tutti i termini da $q$ a $q^n$ compaiono una volta con il $+$ e una con il $-$, e si cancellano (somma "telescopica"). Restano solo il primo, $1$, e l'ultimo, $-q^{n+1}$.

Dimostrazione formale (stessa idea, ma con le proprietà delle sommatorie al posto dei puntini):

1. Per linearità: $(1 - q) \sum_{k=0}^{n} q^k = \sum_{k=0}^{n} q^k - q \sum_{k=0}^{n} q^k = \sum_{k=0}^{n} q^k - \sum_{k=0}^{n} q^{k+1}$ (portando $q$ dentro: $q \cdot q^k = q^{k+1}$).
2. Nella seconda somma trasliamo l'indice con $h = k + 1$: quando $k = 0$, $h = 1$; quando $k = n$, $h = n + 1$. Quindi $\sum_{k=0}^{n} q^{k+1} = \sum_{h=1}^{n+1} q^h$, e poiché l'indice è muto la riscriviamo con $k$: $\sum_{k=1}^{n+1} q^k$.
3. Per additività stacchiamo il primo termine della prima somma ($k = 0$, che vale $q^0 = 1$) e l'ultimo della seconda ($k = n+1$): $$\sum_{k=0}^{n} q^k - \sum_{k=1}^{n+1} q^k = \left(1 + \sum_{k=1}^{n} q^k\right) - \left(\sum_{k=1}^{n} q^k + q^{n+1}\right) = 1 - q^{n+1}$$ Le due somme da $1$ a $n$ sono uguali e si cancellano ∎.

Binomio di Newton

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$$

È la terza sommatoria notevole: ha una nota tutta sua, Binomio di NewtonLa formula per sviluppare (a+b)^n con i coefficienti binomiali.Binomio di Newton →, perché richiede i coefficienti binomiali (Fattoriale e coefficienti binomialiFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali →).

Metodo per differenze di sommatorie

1. Scrivere per esteso i primi e gli ultimi termini di ciascuna sommatoria, e contare quanti sono.
2. Cambiare indice in modo da avere la stessa formula in entrambe.
3. Confrontare gli estremi: la parte comune si cancella.
4. Calcolare i termini rimasti.
5. Verificare con una versione piccola dello stesso esercizio (pochi termini, calcolabili a mano).

Errori comuni

• Cambiare la formula ma non gli estremi (o viceversa) nel cambio di indice.
• Contare i termini come $b - a$ invece di $b - a + 1$.
• Leggere $\frac{1}{k+1}$ come $\frac{1}{k} + 1$.
• Spezzare una somma facendo ripartire il secondo pezzo da $c$ invece di $c + 1$.
• Usare la formula geometrica con $q = 1$ (si dividerebbe per zero) o dimenticare che parte da $k = 0$ (il primo termine è $q^0 = 1$).
• Portare fuori dalla sommatoria qualcosa che dipende dall'indice: $\sum k \cdot x_k \ne k \sum x_k$ (fuori dalla somma $k$ non ha nessun valore).

Riassunto