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Note per Studenti Esercizio 118 · convergenza assoluta con arcotangente e seno

Esercizio 118convergenza assoluta con arcotangente e seno

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Testo. Studiare convergenza assoluta e convergenza delle seguenti serie numeriche:

10. ∑n=1+∞(−1)n1n(π2−arctan⁡n)11. ∑n=1+∞(−1)n+1n2+3nsin⁡n10. \ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt n}\left(\frac\pi2 - \arctan n\right) \qquad\qquad 11. \ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2 + 3n\sin n}

Metodo (vedi Serie a termini di segno variabilePer le serie con addendi di segno qualsiasi: convergenza assoluta (converge la serie dei moduli), che implica la convergenza semplice ma non viceversa; criterio di Leibniz per le serie alternate (addendi in modulo infinitesimi e decrescenti).Serie a termini di segno variabile →): si studia prima la serie dei moduli ∑∣an∣\sum |a_n|, che ha termini ≥0\ge 0 e si può trattare con i criteri per le serie positive. Se converge, la serie data converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

10. ∑(−1)n1n(π2−arctan⁡n)\sum (-1)^n \frac{1}{\sqrt n}\left(\frac\pi2 - \arctan n\right)

Serie dei moduli

Sia an=1n(π2−arctan⁡n)a_n = \frac{1}{\sqrt n}\left(\frac\pi2 - \arctan n\right). Siccome arctan⁡n<π2\arctan n < \frac\pi2 per ogni nn (l'arcotangente sta sempre sotto il suo asintoto), an>0a_n > 0, quindi

∑n=1+∞∣(−1)nan∣=∑n=1+∞an\sum_{n=1}^{+\infty} \left|(-1)^n a_n\right| = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n

Asintotico

Per n→+∞n \to +\infty la parentesi tende a π2−π2=0\frac\pi2 - \frac\pi2 = 0: serve sapere quanto velocemente. C'è un limite notevolelim⁡x→+∞x(π2−arctan⁡x)=1\lim_{x \to +\infty} x\left(\frac\pi2 - \arctan x\right) = 1. Si vede con de l'Hôpital, oppure perché per x>0x > 0 vale π2−arctan⁡x=arctan⁡1x∼1x\frac\pi2 - \arctan x = \arctan\frac1x \sim \frac1x.Teorema di de l'Hôpital →:

lim⁡x→+∞x(π2−arctan⁡x)=1⟹π2−arctan⁡n∼1n\lim_{x \to +\infty} x\left(\frac\pi2 - \arctan x\right) = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac\pi2 - \arctan n \sim \frac1n

Quindi

an∼1n1/2⋅1n=1n3/2a_n \sim \frac{1}{n^{1/2}} \cdot \frac1n = \frac{1}{n^{3/2}}

È una serie armonica generalizzata∑1nα\sum \frac{1}{n^\alpha} converge se e solo se α>1\alpha > 1.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → con α=32>1\alpha = \frac32 > 1: converge. Per il confronto asintotico converge ∑an\sum a_n.

Conclusione

La serie 10 converge assolutamente, e quindi anche semplicemente.

11. ∑(−1)n+1n2+3nsin⁡n\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2 + 3n\sin n}

Segno del termine e serie dei moduli

Sia an=1n2+3nsin⁡na_n = \frac{1}{n^2 + 3n\sin n}. Al denominatore 3nsin⁡n3n\sin n oscilla, ma è piccolo rispetto a n2n^2: ∣3nsin⁡nn2∣≤3nn2=3n→0\left|\frac{3n\sin n}{n^2}\right| \le \frac{3n}{n^2} = \frac3n \to 0, cioè 3nsin⁡n=o(n2)3n\sin n = o(n^2) (per la gerarchia degli infiniti e perché sin⁡n\sin n è limitato). Quindi

an=1n2+o(n2)∼1n2>0a_n = \frac{1}{n^2 + o(n^2)} \sim \frac{1}{n^2} > 0

In particolare an>0a_n > 0 definitivamente, e ∑∣(−1)n+1an∣=∑an\sum |(-1)^{n+1}a_n| = \sum a_n (da un certo punto in poi, che è quello che conta).

Carattere

an∼1n2a_n \sim \frac{1}{n^2}: armonica generalizzata con α=2>1\alpha = 2 > 1, converge.

Conclusione

La serie 11 converge assolutamente, e quindi anche semplicemente.

(Nota: per nn piccolo il denominatore è positivo comunque? n2+3nsin⁡n=n(n+3sin⁡n)n^2 + 3n\sin n = n(n + 3\sin n), e n+3sin⁡n>0n + 3\sin n > 0 per n≥4n \ge 4; per n=1,2,3n = 1, 2, 3 si controlla a mano: 1+3sin⁡1≈3,51 + 3\sin 1 \approx 3{,}5, 2+3sin⁡2≈4,72 + 3\sin 2 \approx 4{,}7, 3+3sin⁡3≈3,43 + 3\sin 3 \approx 3{,}4, tutti positivi. Quindi gli addendi sono tutti definiti.)

Errori comuni

  • Applicare il confronto asintotico alla serie con (−1)n(-1)^n: si applica alla serie dei moduli.
  • Dimenticare di giustificare an>0a_n > 0 prima di togliere il modulo.

Versione ripasso

Testo. Studiare convergenza assoluta e semplice: 10. ∑n=1+∞(−1)n1n(π2−arctan⁡n)11. ∑n=1+∞(−1)n+1n2+3nsin⁡n\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt n}\left(\frac\pi2 - \arctan n\right) \qquad\qquad 11. \ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2 + 3n\sin n}

Metodo: Serie a termini di segno variabilePer le serie con addendi di segno qualsiasi: convergenza assoluta (converge la serie dei moduli), che implica la convergenza semplice ma non viceversa; criterio di Leibniz per le serie alternate (addendi in modulo infinitesimi e decrescenti).Serie a termini di segno variabile →. Studiare la serie dei moduli ∑∣an∣\sum |a_n|. Se ∑∣an∣\sum |a_n| converge, la serie converge assolutamente (e quindi anche semplicemente).

10. ∑(−1)n1n(π2−arctan⁡n)\sum (-1)^n \frac{1}{\sqrt n}\left(\frac\pi2 - \arctan n\right)

  1. Serie dei moduli. an=1n(π2−arctan⁡n)a_n = \frac{1}{\sqrt n}(\frac\pi2 - \arctan n). Poiché arctan⁡n<π2\arctan n < \frac\pi2, allora an>0a_n > 0.
  2. Confronto asintotico. Per n→+∞n \to +\infty: π2−arctan⁡n∼1n  ⟹  an∼1n1/2⋅1n=1n3/2\frac\pi2 - \arctan n \sim \frac1n \implies a_n \sim \frac{1}{n^{1/2}} \cdot \frac1n = \frac{1}{n^{3/2}}
  3. Conclusione. ∑1n3/2\sum \frac{1}{n^{3/2}} è una serie armonica generalizzataLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → con α=3/2>1\alpha = 3/2 > 1, quindi converge. La serie converge assolutamente.

11. ∑(−1)n+1n2+3nsin⁡n\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2 + 3n\sin n}

  1. Serie dei moduli. an=1n2+3nsin⁡na_n = \frac{1}{n^2 + 3n\sin n}. Poiché ∣3nsin⁡n∣≤3n=o(n2)|3n\sin n| \le 3n = o(n^2), il termine dominante è n2n^2.
  2. Confronto asintotico. an=1n2(1+3sin⁡nn)∼1n2a_n = \frac{1}{n^2(1 + \frac{3\sin n}{n})} \sim \frac{1}{n^2}
  3. Conclusione. Serie armonica generalizzata con α=2>1\alpha = 2 > 1, converge. La serie converge assolutamente.

Errori tipici:

  • Applicare il confronto asintotico direttamente alla serie con (−1)n(-1)^n invece che alla serie dei moduli.
  • Dimenticare di verificare che an>0a_n > 0 prima di togliere il modulo.

Teoria collegata