Serie a termini non negativi e criteri del confronto

Lezioni 33–34. Prerequisiti: Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche →, Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → (le serie con cui si fa il paragone). Esercizi: Esercizio 110 · serie con il modulo del coseno al numeratore, Esercizio 111 · serie con π meno sin n al numeratore, Esercizio 112 · serie con sinh e sin al variare di a, Esercizio 114 · n^-log n) e (n!)^-1/n) con il confronto, Esercizio 115 · serie con sviluppi di Taylor al numeratore.

La condizione necessaria ($a_k \to 0$) dice solo quando una serie non converge. Per dimostrare che una serie converge servono condizioni sufficienti: i criteri di convergenza. Si comincia dalle serie con addendi tutti $\ge 0$, che sono le più facili.

Definizione

Una serie $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ è a termini non negativi se $a_k \ge 0$ per ogni $k \in \mathbb{N}$.

Proprietà fondamentale

Proprietà (serie a termini non negativi). Se $a_k \ge 0$ per ogni $k$, la serie $\sum a_k$ è regolare: o converge, o diverge a $+\infty$. Non è mai irregolare.

Esempio. $\sum \frac{1}{k^2}$ ha termini $\ge 0$ e converge; $\sum k$ ha termini $\ge 0$ e diverge a $+\infty$. Non si presenta mai il caso irregolare.

Dimostrazione. Per ogni $n$:

$$s_{n+1} = \underbrace{a_0 + a_1 + \dots + a_n}_{s_n} + a_{n+1} = s_n + \underbrace{a_{n+1}}_{\ge 0} \ge s_n$$

Quindi $(s_n)$ è una successione monotona crescente: aggiungendo numeri $\ge 0$ la somma non può diminuire. Per il teorema sul limite delle successioni monotoneUna successione crescente ha sempre limite: il suo sup, finito se è limitata superiormente, $+\infty$ altrimenti.Successioni limitate e monotone → (vedi Successioni limitate e monotoneOgni successione convergente è limitata (non viceversa); ogni successione monotona ha limite, uguale al sup se crescente e all'inf se decrescente.Successioni limitate e monotone →) esiste $\lim_n s_n$, che è un numero reale (serie convergente) oppure $+\infty$ (serie divergente) ∎.

In pratica: per una serie a termini $\ge 0$ basta capire se le somme parziali restano limitate (allora converge) o no (allora diverge).

Criterio del confronto

Criterio (del confronto). Siano $\sum a_k$ e $\sum b_k$ con $0 \le a_k \le b_k$ per ogni $k \in \mathbb{N}$. Allora:

1. se $\sum b_k$ converge, anche $\sum a_k$ converge;
2. se $\sum a_k$ diverge (a $+\infty$), anche $\sum b_k$ diverge.

Esempio. $\frac{1}{k^2 + 1} \le \frac{1}{k^2}$ e $\sum \frac{1}{k^2}$ converge, quindi converge anche $\sum \frac{1}{k^2 + 1}$.

L'idea. $\sum b_k$ è la serie "più grande". Se la più grande è finita, lo è anche la più piccola; se la più piccola è infinita, lo è anche la più grande. (Le altre due combinazioni non dicono niente: una serie più piccola di una divergente può fare qualunque cosa.)

Dimostrazione. Siano $s_n^1 = \sum_{k=0}^n a_k$ e $s_n^2 = \sum_{k=0}^n b_k$. Sommando le disuguaglianze $0 \le a_k \le b_k$ per $k = 0, \dots, n$:

$$0 \le s_n^1 \le s_n^2 \qquad \forall n$$

Entrambe le serie sono a termini $\ge 0$, quindi (proprietà fondamentale) entrambi i limiti esistono.

1. Se $s_n^2 \to S^2 \in \mathbb{R}$: siccome $s_n^2$ è crescente, $s_n^2 \le S^2$ per ogni $n$, e quindi $s_n^1 \le s_n^2 \le S^2$. La successione crescente $s_n^1$ è limitata superiormente, quindi ha limite finito $S^1 \in \mathbb{R}$; e per il confronto dei limiti $S^1 \le S^2$.
2. Se $s_n^1 \to +\infty$, da $s_n^2 \ge s_n^1$ e dal teorema del confronto per le successioni anche $s_n^2 \to +\infty$ ∎.

Basta che le ipotesi valgano "definitivamente"

Per la proprietà 1 delle serie (i primi termini non cambiano il carattere, vedi Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche →), si possono ignorare i primi $N$ termini. Quindi:

• la proprietà fondamentale vale anche se $a_k \ge 0$ solo definitivamente (cioè da un certo $N$ in poi);
• il criterio del confronto vale anche se $0 \le a_k \le b_k$ solo definitivamente.

Conseguenza: un fattore limitato tra due costanti positive (lezione 37)

Proprietà (fattore limitato tra due costanti positive). Se esistono due costanti $C_1, C_2 > 0$ tali che, definitivamente, $$0 \le C_1\, b_k \le a_k \le C_2\, b_k,$$ allora $\sum a_k$ e $\sum b_k$ hanno lo stesso carattere.

Esempio. $a_k = \frac{2 + \sin k}{k^2}$ soddisfa $\frac{1}{k^2} \le a_k \le \frac{3}{k^2}$: ha lo stesso carattere di $\sum \frac{1}{k^2}$, quindi converge.

Infatti: se $\sum b_k = +\infty$, anche $\sum C_1 b_k = +\infty$ e, per la disuguaglianza di sinistra e il confronto, $\sum a_k = +\infty$; se $\sum b_k$ converge, converge $\sum C_2 b_k$ e, per la disuguaglianza di destra, converge $\sum a_k$.

Quando serve: quando $a_k$ contiene un fattore che non ha limite ma resta tra due numeri positivi, come $3 + \sin k$ (che sta tra $2$ e $4$). Non si può usare l'asintoticità (il rapporto $\frac{a_k}{b_k}$ non ha limite), ma il fattore si "toglie" lo stesso. Esempio: Esercizio 126 · serie con 3 + sin n e il criterio della radice.

Criterio del confronto asintotico

Spesso non è facile trovare una disuguaglianza $a_k \le b_k$, ma è facile trovare una serie notevole a cui $a_k$ è asintotica$a_k \sim b_k$ se $a_k/b_k \to 1$ per $k \to +\infty$; $a_k = o(b_k)$ se $a_k/b_k \to 0$.Asintoticità e o-piccolo →.

Criterio (del confronto asintotico). Siano $\sum a_k$ e $\sum b_k$ con $a_k > 0$ e $b_k > 0$ definitivamente.

1. Se $a_k \sim L \cdot b_k$ con $L \in \mathbb{R}$, $L \neq 0$ (cioè $\frac{a_k}{b_k} \to L$), allora $\sum a_k$ ha lo stesso carattere di $\sum b_k$.
2. Se $a_k = o(b_k)$ (cioè $\frac{a_k}{b_k} \to 0$): se $\sum b_k$ converge, anche $\sum a_k$ converge; se $\sum a_k$ diverge, anche $\sum b_k$ diverge.

Esempio. $\frac{k + 1}{k^3 + 5} \sim \frac{1}{k^2}$ e $\sum \frac{1}{k^2}$ converge, quindi converge anche $\sum \frac{k+1}{k^3 + 5}$.

(Nel caso 1, siccome $a_k, b_k > 0$, il limite $L$ è per forza positivo.)

Dimostrazione di 1. $\frac{a_k}{b_k} \to L > 0$. Per la definizione di limitePer ogni $\varepsilon > 0$, da un certo indice in poi $a_k/b_k$ dista da $L$ meno di $\varepsilon$.Limiti di successioni → con la scelta $\varepsilon = \frac L2$ esiste $N$ tale che, per ogni $k > N$,

$$\frac L2 = L - \frac L2 < \frac{a_k}{b_k} < L + \frac L2 = \frac32 L$$

Perché proprio $\varepsilon = \frac L2$: serve un $\varepsilon$ che lasci l'estremo sinistro positivo, cioè $L - \varepsilon > 0$; metà di $L$ va bene. Moltiplicando per $b_k > 0$ (il verso non cambia):

$$\underbrace{\frac L2\, b_k < a_k}_{(1)} \quad \text{e} \quad \underbrace{a_k < \frac32 L\, b_k}_{(2)} \qquad \forall k > N$$

• Se $\sum b_k$ diverge, anche $\sum \frac L2 b_k$ diverge (costante positiva davanti), e per la (1) e il criterio del confronto diverge $\sum a_k$.
• Se $\sum b_k$ converge, converge anche $\sum \frac32 L\, b_k$, e per la (2) e il criterio del confronto converge $\sum a_k$ ∎.

(La parte 2 non è stata dimostrata a lezione.)

Come si usa. Si cerca, di solito tra le serie armoniche generalizzate $\frac{1}{n^\alpha}$ o le geometriche $q^n$, una $b_n$ semplice con $a_n \sim L\,b_n$, e si legge il carattere. Per esempio:

• $\sum \frac{n + 1}{n^3 + 2}$: $a_n \sim \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$ (si tengono i termini dominanti), e $\sum \frac1{n^2}$ converge: converge.
• $\sum \frac{1}{2n - 1}$: $a_n \sim \frac{1}{2n} = \frac12 \cdot \frac1n$, e $\sum \frac1n$ diverge: diverge.
• $\sum \sin\frac{1}{n^2}$: siccome $\sin y \sim y$ per $y \to 0$, $a_n \sim \frac{1}{n^2}$: converge.

Corollario: confronto asintotico con le serie notevoli (lezione 34)

In pratica il confronto asintotico si usa quasi sempre con le serie notevoli. Mettendo insieme il criterio con il carattere delle serie notevoliLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →:

Criterio (confronto asintotico con le serie notevoli). Sia $\sum a_n$ con $a_n \ge 0$ definitivamente. Valgono:

1. se $a_n \sim L \cdot \frac{1}{n^\alpha}$ ($L \in \mathbb{R}$, $L \neq 0$): la serie converge se $\alpha > 1$, diverge se $\alpha \le 1$;
2. se $a_n \sim L \cdot \frac{1}{n^\alpha \log^\beta n}$: converge se $\alpha > 1$ (con $\beta$ qualsiasi) oppure $\alpha = 1$ e $\beta > 1$; diverge a $+\infty$ altrimenti;
3. se $a_n \sim L \cdot q^n$ con $q > 0$: converge se $q < 1$, diverge a $+\infty$ se $q \ge 1$;
4. se $\lim_n n^\alpha a_n = 0$ con $\alpha > 1$: la serie converge;
5. se $\lim_n n^\alpha a_n = +\infty$ con $\alpha \le 1$: la serie diverge.

Esempio. $\frac{n + 1}{n^3 + 5} \sim \frac{1}{n^2}$ ($\alpha = 2 > 1$): converge. $\frac{\sqrt{n}}{n + 1} \sim \frac{1}{\sqrt{n}}$ ($\alpha = \frac{1}{2} \le 1$): diverge.

Da dove vengono la 4 e la 5. Sono il caso $o(\cdot)$ del confronto asintotico (punto 2 del criterio):

• $\lim_n n^\alpha a_n = \lim_n \frac{a_n}{1/n^\alpha} = 0$ significa $a_n = o\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)$: $a_n$ è più piccola di una serie convergente ($\alpha > 1$), quindi converge;
• $\lim_n n^\alpha a_n = +\infty$ significa $\frac{1}{n^\alpha} = o(a_n)$: $a_n$ è più grande di una serie divergente ($\alpha \le 1$), quindi diverge.

Servono quando $a_n$ non è asintotica a nessuna potenza, per esempio $a_n = \frac{\log n}{n^2}$: preso $\alpha = \frac32$, $n^{3/2} \cdot \frac{\log n}{n^2} = \frac{\log n}{n^{1/2}} \to 0$, quindi converge.

Serie a termini negativi e serie escluse

Serie con $a_n \le 0$ definitivamente. Si riconducono al caso precedente cambiando segno: $\sum a_n = -\sum (-a_n)$ con $-a_n \ge 0$ definitivamente. Basta studiare $\sum (-a_n)$ con i criteri visti (e cambiare segno alla somma: se $\sum(-a_n) = +\infty$, allora $\sum a_n = -\infty$).

Restano escluse le serie con addendi che oscillano tra valori positivi e negativi anche per $n$ grande (per esempio $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$). Per queste servono altri strumenti (serie a termini di segno variabile, lezione 35).

Significato geometrico

Per una serie a termini $\ge 0$ non basta che $a_n \to 0$: serve che $a_n$ vada a zero abbastanza velocemente, per esempio come $\frac{1}{n^\alpha}$ con $\alpha > 1$.

Graficamente, $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}$ è l'area della regione fatta di rettangoli di base $1$ e altezze $1, \frac{1}{2^\alpha}, \frac{1}{3^\alpha}, \dots$, appoggiati sotto il grafico di $y = \frac{1}{x^\alpha}$ (o sopra, a seconda di come si allineano). Le tre curve $y = \frac{1}{x^\alpha}$ passano tutte per $(1, 1)$:

• con $\alpha > 1$ la curva scende rapidamente e la regione sotto di essa ha area finita;
• con $\alpha = 1$ ($y = \frac1x$) e con $\alpha < 1$ la curva scende troppo lentamente e l'area è infinita.

L'idea verrà resa precisa con gli integrali (criterio integrale).

Errori comuni

• Usare i criteri di confronto con serie che hanno termini di segno qualsiasi: valgono solo per termini $\ge 0$ (almeno definitivamente).
• Concludere dal confronto nella direzione sbagliata: $a_k \le b_k$ con $\sum b_k$ divergente non dice niente su $\sum a_k$.
• Nel confronto asintotico, $L = 0$ o $L = +\infty$: non si conclude lo "stesso carattere"; con $L = 0$ vale solo la parte 2.
• Prendere un asintotico sbagliato: in $\frac{n+1}{n^3 + 2}$ conta il termine di grado più alto sopra e sotto, non le costanti.