Esercizio 25dominio e segno con il settore coseno iperbolico

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Passo 0: cosa serve sapere di $\mathrm{settcosh}$

Il settore coseno iperbolicoL'inversa di $\cosh$ ristretto a $[0, +\infty)$: definita solo per argomenti $\ge 1$, con valori $\ge 0$, strettamente crescente.Funzioni iperboliche → è $\mathrm{settcosh} : [1, +\infty) \to [0, +\infty)$, strettamente crescente. Quindi:

• esiste solo se il suo argomento è $\ge 1$;
• i suoi valori sono $\ge 0$.

Chiamiamo $X = e^x - x + 5$ l'argomento.

Passo 1: dominio

$$X \ge 1 \iff e^x - x + 5 \ge 1 \iff e^x \ge x - 4$$

È una disequazione con funzioni elementari diverse ($e^x$ e un polinomio): non si risolve con i passaggi algebrici, si usa il metodo graficoSi disegnano le due funzioni nello stesso piano e si confrontano: qui si guarda dove il grafico di $e^x$ sta sopra la retta $y = x - 4$.Funzioni - definizione, dominio e grafico →:

$$\begin{cases} y = e^x \\ y = x - 4 \end{cases}$$

Il grafico di $e^x$ sta sempre sopra la retta $y = x - 4$ (la retta è "molto più in basso": incontra l'asse $y$ in $-4$, mentre $e^x > 0$). Quindi la disequazione è vera per ogni $x$:

$$\mathrm{Dom}(f) = \mathbb{R}$$

(Una giustificazione senza grafico è nel Passo 3.)

Passo 2: $f^{\leftarrow}([0, +\infty))$, cioè il segno

$$f(x) \ge 0 \iff \mathrm{settcosh}(X) \ge \log 9$$

Entrambi i membri sono positivi ($\mathrm{settcosh} \ge 0$ e $\log 9 > 0$). Sui numeri positivi $\cosh$ è strettamente crescenteApplicando una funzione strettamente crescente (sull'insieme dove stanno i due membri) il verso si conserva.Disequazioni con potenze e radici →, quindi si può applicare $\cosh$ a entrambi i membri conservando il verso:

$$\cosh(\mathrm{settcosh}(X)) \ge \cosh(\log 9) \iff X \ge \cosh(\log 9)$$

(a sinistra $\cosh(\mathrm{settcosh}\, X) = X$ per la caratterizzazione dell'inversaApplicando una funzione alla sua inversa si ritrova il numero di partenza.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →).

Calcoliamo $\cosh(\log 9)$ usando $e^{\log 9} = 9$ ed $e^{-\log 9} = e^{\log(1/9)} = \frac19$:

$$\cosh(\log 9) = \frac{e^{\log 9} + e^{-\log 9}}{2} = \frac{9 + \frac19}{2} = \frac{82/9}{2} = \frac{82}{18} = \frac{41}{9}$$

Quindi

$$e^x - x + 5 \ge \frac{41}{9} \iff e^x \ge x - 5 + \frac{41}{9} = x + \frac{-45 + 41}{9} = x - \frac49$$

Di nuovo con il metodo grafico: la retta $y = x - \frac49$ sta sempre sotto il grafico di $e^x$. Quindi $f(x) \ge 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$:

$$f^{\leftarrow}([0, +\infty)) = \mathbb{R}$$

Passo 3 (facoltativo): perché $e^x > x - \frac49$ per ogni $x$, senza grafico

• Se $x < \frac49$: $x - \frac49 < 0 < e^x$ ✓.
• Se $x \ge \frac49$ (in particolare $x \ge 0$): poiché $e > 2$ e $x \ge 0$, $e^x \ge 2^x$; poiché $[x] \le x$ e la base $2 > 1$, $2^x \ge 2^{[x]}$; per la disuguaglianza di Bernoulli$(1 + t)^n \ge 1 + nt$ per $t > -1$: con $t = 1$ dà $2^n \ge 1 + n$.Esercizio 11 · disuguaglianza di Bernoulli → con $t = 1$, $2^{[x]} \ge 1 + [x] > x$ (perché $[x] > x - 1$). Quindi $e^x > x > x - \frac49$ ✓.

Lo stesso ragionamento dà $e^x > x - 4$, cioè il dominio del Passo 1. (Con le derivate si vedrà una disuguaglianza più forte: $e^x \ge 1 + x$ per ogni $x$.)

Risultato

$\mathrm{Dom}(f) = \mathbb{R}$ e $f(x) \ge 0$ per ogni $x$ (anzi $f(x) > 0$, perché la disuguaglianza $e^x > x - \frac49$ è stretta).

Errori comuni

• Dimenticare il dominio di $\mathrm{settcosh}$ (argomento $\ge 1$).
• Applicare $\cosh$ senza controllare che i due membri siano positivi: $\cosh$ è crescente solo su $[0, +\infty)$.
• Sbagliare $e^{-\log 9}$: è $\frac19$, non $-9$.