Asintoti di una funzione

Lezioni 18 e 20. Prerequisito: Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione → (limite destro e sinistro, limiti per $x \to \pm\infty$).

Un asintoto è una retta a cui il grafico si avvicina sempre di più, senza necessariamente toccarla. Ci sono tre tipi (verticali, orizzontali, obliqui) e tutti si leggono dai limiti.

Asintoti verticali

Sia $f: X \to \mathbb{R}$ e $x_0 \in \mathbb{R}$ di accumulazione per $X$.

Definizione (asintoto verticale).

1. Se $x_0$ è di accumulazione da sinistra e $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$, la retta $x = x_0$ è asintoto verticale sinistro.
2. Se $x_0$ è di accumulazione da destra e $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty$, la retta $x = x_0$ è asintoto verticale destro.
3. Se valgono entrambe (anche con infiniti di segno diverso), $x = x_0$ è asintoto verticale completo.

Esempio. $f(x) = \frac{1}{x - 2}$: $\lim_{x \to 2^{\pm}} f(x) = \pm\infty$, quindi $x = 2$ è asintoto verticale (completo).

Graficamente: avvicinandosi a $x_0$ (da un lato o da entrambi), il grafico sale o scende senza limite, schiacciandosi contro la retta verticale $x = x_0$.

Esempi.

• $y = \frac1x$: $\lim_{x \to 0^-} \frac1x = -\infty$ e $\lim_{x \to 0^+} \frac1x = +\infty$, quindi $x = 0$ è asintoto verticale completo (anche se il limite $\lim_{x \to 0} \frac1x$ non esiste, perché destro e sinistro sono diversi).
• $y = \log x$: $0$ è di accumulazione solo da destra e $\lim_{x \to 0^+} \log x = -\infty$, quindi $x = 0$ è asintoto verticale destro.

Dove cercarli: nei punti reali che sono di accumulazione per il dominio ma in cui la funzione non è definita (per esempio dove si annulla un denominatore o l'argomento di un logaritmo), e negli estremi finiti del dominio.

Asintoti orizzontali

Definizione (asintoto orizzontale).

1. Se $-\infty$ è di accumulazione per $X$ ed esiste $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$, la retta $y = \ell$ è asintoto orizzontale a $-\infty$.
2. Se $+\infty$ è di accumulazione per $X$ ed esiste $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$, la retta $y = \ell$ è asintoto orizzontale a $+\infty$.

Esempio. $f(x) = \frac{2x + 1}{x}$: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2$, quindi $y = 2$ è asintoto orizzontale sia a $+\infty$ sia a $-\infty$.

Il limite deve essere un numero (finito): se è $\pm\infty$ non c'è asintoto orizzontale.

Esempi.

• $y = e^x$: $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$, quindi $y = 0$ è asintoto orizzontale a $-\infty$ (dimostrazione con la definizione nell'Esercizio 51 · verificare limiti di funzioni con la definizione). A $+\infty$ no, perché $e^x \to +\infty$.
• $y = \frac1x$: $y = 0$ è asintoto orizzontale sia a $-\infty$ sia a $+\infty$.
• $y = \arctan x$: due asintoti orizzontali diversi, $y = -\frac{\pi}{2}$ a $-\infty$ e $y = \frac{\pi}{2}$ a $+\infty$.

Asintoti obliqui

Lezione 20. Per $x \to +\infty$ (o $-\infty$) ci sono tre possibilità:

• $f$ non ha limite: niente asintoti a $+\infty$;
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$: asintoto orizzontale $y = \ell$;
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty$: può esserci un asintoto obliquo.

Definizione. Sia $+\infty$ (oppure $-\infty$) di accumulazione per $X$ e $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty$. Se esiste una retta $y = mx + q$, con $m \ne 0$ e $q \in \mathbb{R}$, tale che $$\lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - mx - q\right] = 0$$ la retta si dice asintoto obliquo a $+\infty$ (allo stesso modo a $-\infty$).

Esempio. $f(x) = x + \frac{1}{x}$: $f(x) - x = \frac{1}{x} \to 0$, quindi $y = x$ è asintoto obliquo a $\pm\infty$.

$f(x) - (mx + q)$ è la distanza verticale (con segno) tra il grafico e la retta: tende a $0$, cioè il grafico "si appoggia" sulla retta.

Come si trovano $m$ e $q$

Teorema (caratterizzazione dell'asintoto obliquo). Caratterizzazione. $y = mx + q$ è asintoto obliquo a $+\infty$ (o $-\infty$) se e solo se valgono tutte e tre:

1. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty$;
2. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m \in \mathbb{R}$, $m \ne 0$;
3. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - mx\right] = q \in \mathbb{R}$.

Perché (verso "$\Rightarrow$"). Se $f(x) - mx - q \to 0$, allora:

• dividendo per $x$: $\frac{f(x)}{x} - m - \frac{q}{x} \to 0$, e poiché $\frac{q}{x} \to 0$ si ha $\frac{f(x)}{x} \to m$;
• portando $q$ dall'altra parte: $f(x) - mx \to q$.

Il verso "$\Leftarrow$" è immediato: da 3, $f(x) - mx - q \to q - q = 0$.

La pendenza $m$ si trova quindi come limite di $\frac{f(x)}{x}$ (il grafico "cresce come $mx$"), e poi l'intercetta $q$ come limite di $f(x) - mx$. Bisogna controllare tutti e tre i punti: se il limite al punto 2 è $0$ o $\pm\infty$, oppure se il limite al punto 3 è infinito o non esiste, l'asintoto obliquo non c'è.

Esempio. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 3\arctan x$ ha asintoto obliquo $y = x + \frac32\pi$ a $+\infty$; invece $\sqrt{x^2 - 1} + \log x$ non ha asintoto obliquo, anche se $\frac{f(x)}{x} \to 1$ (vedi Esercizio 58 · asintoti obliqui con radici, arcotangente e logaritmo).

Crescita lineare, sublineare, superlineare

Quando $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty$ si confronta $f$ con $x$:

Se c'è un asintoto obliquo la crescita è certamente lineare; il viceversa è falso (esistono funzioni a crescita lineare senza asintoto obliquo, come $\sqrt{x^2 - 1} + \log x$).

Tabella riassuntiva

Errori comuni

• Scambiare le equazioni: un asintoto verticale ha equazione $x = x_0$ (non $y = x_0$), uno orizzontale $y = \ell$.
• Cercare l'asintoto orizzontale quando il limite è infinito: con $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ non c'è.
• Pensare che il grafico non possa toccare un asintoto orizzontale: può attraversarlo anche infinite volte (per esempio $\frac{\sin x}{x}$ attraversa $y = 0$), conta solo il comportamento per $x \to \pm\infty$.
• Concludere che c'è un asintoto obliquo solo perché $\frac{f(x)}{x} \to m \ne 0$: serve anche che $f(x) - mx$ tenda a un numero.