Combinazioni lineari e dipendenza lineare

Lezioni 2–3 (videolezioni n. 2 e 3). Prerequisito: Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali →. Esercizi svolti: Esercizio 1 · dipendenza lineare di vettori in R2 e R3, Esercizio 2 · sin x, cos x ed e^x sono linearmente indipendenti. Seguito: Sottospazi vettorialiUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali →, Generatori e basiDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi →.

Combinazione lineare

Definizione (combinazione lineare). Dati i vettori $v_1, \dots, v_r$ di uno spazio vettoriale $V$ su $K$ e gli scalari $a_1, \dots, a_r \in K$, il vettore $$a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_r v_r = \sum_{i=1}^r a_i v_i$$ si chiama combinazione lineare di $v_1, \dots, v_r$ con coefficienti $a_1, \dots, a_r$.

(Il simbolo $\sum$ è quello delle SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie →: qui si sommano vettori invece di numeri. Le parentesi non servono grazie all'associativa della somma di vettori.)

Esempio. In $\mathbb{R}^2$, $2(1,0) - 3(0,1) = (2,-3)$ è una combinazione lineare di $e_1$ ed $e_2$ con coefficienti $2$ e $-3$.

È la cosa più generale che si possa fare con dei vettori usando solo le due operazioni di spazio vettoriale. Esempio in $\mathbb{R}^2$: $2 (1, 0) - 3 (1, 1) = (2, 0) - (3, 3) = (-1, -3)$.

Dipendenza e indipendenza lineare

La domanda è: una combinazione lineare può dare il vettore nullo senza che i coefficienti siano tutti zero? Con i numeri succede spesso ($3 + 5 - 8 = 0$), con i vettori dipende.

Definizione (indipendenza e dipendenza lineare). I vettori $v_1, \dots, v_r$ sono linearmente indipendenti se $$a_1 v_1 + \dots + a_r v_r = \vec 0 \quad \Longrightarrow \quad a_1 = a_2 = \dots = a_r = 0,$$ cioè se l'unica combinazione lineare uguale al vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli.

Sono linearmente dipendenti se non sono indipendenti, cioè se esistono $a_1, \dots, a_r$ non tutti nulli (basta uno diverso da zero) con $a_1 v_1 + \dots + a_r v_r = \vec 0$.

La seconda definizione è la negazioneNegare un per ogni dà un esiste; negare un'implicazione p allora q dà p e non q.Logica e quantificatori → della prima: "indipendenti" dice che per ogni scelta dei coefficienti, se la combinazione è $\vec 0$ allora i coefficienti sono tutti nulli. Negandola si ottiene: esiste una scelta dei coefficienti per cui la combinazione è $\vec 0$ e i coefficienti non sono tutti nulli. "Non tutti nulli" non vuol dire "tutti non nulli": basta che uno sia $\ne 0$.

Esempio. In $\mathbb{R}^2$, $(1,2)$ e $(2,4)$ sono dipendenti ($2(1,2) - (2,4) = (2 - 2, 4 - 4) = (0,0)$, con coefficienti $2$ e $-1$), mentre $(1,0)$ e $(0,1)$ sono indipendenti: $a(1,0) + b(0,1) = (a, b)$, che è $(0,0)$ solo se $a = b = 0$.

La combinazione con tutti i coefficienti nulli dà sempre $\vec 0$ (perché $0 \cdot v = \vec 0$): la questione è se ce ne sono altre.

La ricetta per decidere

1. Si scrive $a_1 v_1 + \dots + a_r v_r = \vec 0$ con i coefficienti $a_i$ incogniti.
2. Si sostituiscono le componenti dei vettori (meglio in colonna): l'uguaglianza tra vettori diventa un sistema lineare omogeneo (termini noti nulli), una equazione per ogni componente, nelle incognite $a_1, \dots, a_r$.
3. Si risolve il sistema:
   • se l'unica soluzione è $a_1 = \dots = a_r = 0$ i vettori sono indipendenti;
   • se ci sono infinite soluzioni (qualche incognita resta libera) sono dipendenti.

Nel sistema ci sono tante equazioni quante sono le componenti e tante incognite quanti sono i vettori. Più avanti, con l'Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →, lo stesso controllo si farà molto più in fretta.

Esempio. In $\mathbb{R}^2$, $v_1 = (3, 1)$ e $v_2 = (2, 5)$:

$$a_1 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \iff \begin{cases} 3a_1 + 2a_2 = 0 \\ a_1 + 5a_2 = 0 \end{cases}$$

La prima equazione raccoglie le prime componenti ($3a_1 + 2a_2$ deve essere la prima componente di $\vec 0$, cioè $0$), la seconda le seconde. Si risolve per sostituzione: dalla seconda $a_1 = -5a_2$; nella prima $3(-5a_2) + 2a_2 = -15a_2 + 2a_2 = -13a_2 = 0$, quindi $a_2 = 0$ (si divide per $-13 \ne 0$) e $a_1 = -5 \cdot 0 = 0$. Unica soluzione quella nulla: indipendenti. Altri esempi (tre vettori nel piano, tre vettori nello spazio) nell'Esercizio 1 · dipendenza lineare di vettori in R2 e R3.

Significato geometrico

• Due vettori sono dipendenti se e solo se sono paralleli (uno è multiplo dell'altro). Se $a_1 v_1 + a_2 v_2 = \vec 0$ con, per esempio, $a_2 \ne 0$, si porta $a_1 v_1$ a destra e si moltiplica per $a_2^{-1}$: $v_2 = -\frac{a_1}{a_2} v_1$. (Se invece $a_2 = 0$, allora $a_1 \ne 0$ e $a_1 v_1 = \vec 0$ dà $v_1 = \vec 0$, che è multiplo di qualsiasi vettore: $v_1 = 0 \cdot v_2$.) Viceversa, se $v_2 = c\, v_1$, la combinazione $c\, v_1 + (-1) v_2 = \vec 0$ ha il coefficiente $-1 \ne 0$.
• Tre vettori in $\mathbb{R}^3$ sono dipendenti se e solo se stanno sullo stesso piano passante per l'origine. Possono essere a due a due non paralleli ed essere comunque dipendenti.
• Tre vettori in $\mathbb{R}^2$ sono sempre dipendenti: il sistema omogeneo ha 2 equazioni e 3 incognite, e risolvendolo per sostituzione si ricavano al più due incognite, quindi almeno una resta libera e dà soluzioni non nulle. La dimostrazione generale (più vettori che componenti dà sempre dipendenza) è il lemma dello scambio in Generatori e basiDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi →.

Attenzione: "indipendenti = non paralleli" vale solo per due vettori.

Teorema: dipendenti vuol dire che uno dipende dagli altri

Teorema (dipendenza e combinazioni lineari). I vettori $v_1, \dots, v_n$ sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti.

Esempio. $v_1 = (1,0)$, $v_2 = (0,1)$, $v_3 = (2,3)$ sono dipendenti, perché $v_3 = 2v_1 + 3v_2$, cioè $2v_1 + 3v_2 - v_3 = \vec 0$.

Dimostrazione. Un "se e solo se" sono due implicazioni, e ciascuna si dimostra in modo diretto, partendo dall'ipotesi e arrivando alla tesi (vedi Tecniche di dimostrazioneDimostrazione diretta, per contronominale e per assurdo di un teorema del tipo ipotesi implica tesi.Tecniche di dimostrazione →).

($\Rightarrow$) Per ipotesi esistono $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ non tutti nulli con $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = \vec 0$. Sia $\lambda_i$ uno dei coefficienti diversi da zero (non si sa quale, ma c'è). Si lascia $\lambda_i v_i$ a sinistra e si porta il resto a destra:

$$\lambda_i v_i = -\lambda_1 v_1 - \dots - \lambda_{i-1} v_{i-1} - \lambda_{i+1} v_{i+1} - \dots - \lambda_n v_n.$$

(si è sommato a entrambi i membri l'opposto di ogni $\lambda_j v_j$ con $j \ne i$, usando che $-(\lambda_j v_j) = (-\lambda_j) v_j$). Poiché $\lambda_i \ne 0$ si può moltiplicare per $\lambda_i^{-1}$ (esiste l'inverso in un campoUn campo è un insieme di numeri con somma e prodotto che rispettano le regole usuali (associativa, commutativa, neutri, opposti, inversi, distributiva): è ciò che serve per risolvere le equazioni di primo grado. Esempi: Q, R, C e i campi finiti.Campi →); a sinistra resta $\lambda_i^{-1}(\lambda_i v_i) = (\lambda_i^{-1}\lambda_i) v_i = 1 \cdot v_i = v_i$:

$$v_i = -\frac{\lambda_1}{\lambda_i} v_1 - \dots - \frac{\lambda_n}{\lambda_i} v_n \quad (\text{senza il termine } i\text{-esimo}),$$

cioè $v_i$ è combinazione lineare degli altri, con coefficienti $a_j = -\lambda_j / \lambda_i$.

($\Leftarrow$) Per ipotesi $v_i = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n$ (senza il termine $i$-esimo). Portando $v_i$ a destra:

$$a_1 v_1 + \dots + a_{i-1} v_{i-1} + (-1) v_i + a_{i+1} v_{i+1} + \dots + a_n v_n = \vec 0.$$

Degli $a_j$ non si sa nulla (potrebbero essere tutti zero), ma il coefficiente di $v_i$ è $-1 \ne 0$: quindi c'è una combinazione uguale a $\vec 0$ con coefficienti non tutti nulli, e i vettori sono dipendenti ∎.

Cosa ricordare. L'unico motivo per cui dei vettori sono dipendenti è che uno di loro è "di troppo", ricostruibile dagli altri. Equivalentemente: se nessuno è combinazione degli altri, sono indipendenti.

Attenzione: non si sa quale

Il teorema dice che uno dei vettori è combinazione degli altri, non che lo sia uno qualsiasi. Esempio in $\mathbb{R}^3$:

$$v_1 = (2, 1, 0), \qquad v_2 = (3, -1, 2), \qquad v_3 = 2 v_2 = (6, -2, 4).$$

Sono dipendenti ($0 \cdot v_1 + 2 v_2 - v_3 = \vec 0$). Si può scrivere $v_3 = 0 \cdot v_1 + 2 v_2$ e $v_2 = \frac12 v_3$, ma $v_1$ non è combinazione di $v_2$ e $v_3$: ogni combinazione $a v_2 + b v_3 = (a + 2b) v_2$ è un multiplo di $v_2$, e $v_1$ non è multiplo di $v_2$ (dalla prima componente servirebbe il fattore $\frac23$, dalla seconda $-1$). Negli esercizi questo conta: quando si toglie un vettore "di troppo" bisogna togliere uno di quelli che dipendono davvero dagli altri.

Due casi particolari

Un insieme che contiene il vettore nullo è sempre dipendente. Se $v_i = \vec 0$, la combinazione con coefficiente $5$ (o qualunque numero $\ne 0$) davanti a $v_i$ e $0$ davanti a tutti gli altri dà $5 \cdot \vec 0 = \vec 0$, con un coefficiente non nullo. Quindi vettori indipendenti sono tutti diversi da zero.

Un solo vettore $v$ è indipendente se e solo se $v \ne \vec 0$: se $v \ne \vec 0$ e $a v = \vec 0$, allora $a = 0$ (altrimenti moltiplicando per $a^{-1}$ si avrebbe $v = a^{-1} \vec 0 = \vec 0$, la regola di annullamento di Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali →).

Riassunto

Errori comuni

• Prendere come incognite le componenti dei vettori: le incognite del sistema sono i coefficienti $a_i$; le componenti sono numeri dati.
• Concludere "dipendenti" perché si è trovata la soluzione nulla: la soluzione nulla c'è sempre; conta se è l'unica.
• Pensare che tre vettori a due a due non paralleli siano indipendenti: in $\mathbb{R}^3$ possono stare su un piano.
• Eliminare un vettore a caso da una famiglia dipendente: va eliminato uno che sia davvero combinazione degli altri.