Esercizio 10sottospazio con un parametro, intersezione e somma

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(a) Dimensione di $U$ al variare di $\alpha$

Si riducono a scala le righe $u_1, u_2, u_3$ (le righe non nulle della forma a scala danno la dimensioneLe operazioni sulle righe non cambiano il sottospazio generato; le righe non nulle di una matrice a scala sono indipendenti.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi →). Il parametro $\alpha$ sta nell'ultima riga: conviene lasciarlo per ultimo e non dividere mai per espressioni che contengono $\alpha$ (potrebbero valere $0$).

$$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 2 & -1 \\ -2 & -3 & \alpha & 5 \end{pmatrix} \xrightarrow[R_3 \to R_3 + R_1]{R_2 \to R_2 - 2R_1} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & -4 & -3 \\ 0 & -4 & \alpha + 3 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 + 2R_2} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & \alpha - 5 & 0 \end{pmatrix}$$

(Conti del primo passo: $R_2 - 2R_1 = (4 - 4,\ 0 + 2,\ 2 - 6,\ -1 - 2) = (0, 2, -4, -3)$ e $R_3 + R_1 = (-2 + 2,\ -3 - 1,\ \alpha + 3,\ 5 + 1) = (0, -4, \alpha + 3, 6)$. Conti dell'ultimo passo, scelto per annullare il $-4$ sotto il pivot $2$: $-4 + 2 \cdot 2 = 0$, $\alpha + 3 + 2(-4) = \alpha - 5$ e $6 + 2(-3) = 0$.)

L'ultima riga è nulla se e solo se $\alpha - 5 = 0$:

Per $\alpha = 5$ la riga di $u_3$ si annulla con $R_3 + R_1 + 2(R_2 - 2R_1) = R_3 + 2R_2 - 3R_1$, cioè $u_3 = 3u_1 - 2u_2$. Verifica: $3(2, -1, 3, 1) - 2(4, 0, 2, -1) = (6 - 8,\ -3 - 0,\ 9 - 4,\ 3 + 2) = (-2, -3, 5, 5)$ ✓. Quindi si toglie $u_3$ e restano $u_1, u_2$, indipendenti (non paralleli: la seconda componente di $u_2$ è $0$, quella di $u_1$ no). Per $\alpha \ne 5$ invece la matrice a scala ha tre pivot, quindi $u_1, u_2, u_3$ sono indipendenti e ne sono una baseGeneratori linearmente indipendenti.Generatori e basi →.

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(b) Equazioni cartesiane di $U$ per $\alpha = 5$

Equazioni parametriche e poi eliminazione dei parametriSi scrive il vettore generico come combinazione della base con parametri, poi si eliminano i parametri.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi → con la base $u_1, u_2$:

$$(x_1, x_2, x_3, x_4) = a(2, -1, 3, 1) + b(4, 0, 2, -1) \iff \begin{cases} x_1 = 2a + 4b \\ x_2 = -a \\ x_3 = 3a + 2b \\ x_4 = a - b \end{cases}$$

La seconda dà subito $a = -x_2$. Dalla quarta $b = a - x_4 = -x_2 - x_4$. Si sostituisce nelle altre due:

• $x_1 = 2(-x_2) + 4(-x_2 - x_4) = -6x_2 - 4x_4$, cioè $x_1 + 6x_2 + 4x_4 = 0$;
• $x_3 = 3(-x_2) + 2(-x_2 - x_4) = -5x_2 - 2x_4$, cioè $5x_2 + x_3 + 2x_4 = 0$.

$$U : \begin{cases} x_1 + 6x_2 + 4x_4 = 0 \\ 5x_2 + x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}$$

Controlli. Numero di equazioni $= 4 - \dim U = 2$ ✓. $u_1$: $2 - 6 + 4 = 0$, $-5 + 3 + 2 = 0$ ✓. $u_2$: $4 + 0 - 4 = 0$, $0 + 2 - 2 = 0$ ✓.

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(c) Dimensione e base di $W$

$$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ 5x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$$

Dalla seconda $x_3 = -5x_2$; nella prima $x_1 = x_3 - x_2 = -5x_2 - x_2 = -6x_2$. Libere: $x_2$ e $x_4$ (che non compare in nessuna equazione). $\dim W = 4 - 2 = 2$ (due equazioni non proporzionali in 4 incognite, vedi dimensione delle soluzioni di un sistema omogeneoÈ il numero di incognite libere.Dimensione →).

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(d) Intersezione e somma per $\alpha = 5$

$U \cap W$

Ora entrambi i sottospazi hanno equazioni: si possono mettere tutte e quattro a sistema. È più rapido sostituire il vettore generico di $W$, $s\,w_1 + t\,w_2 = (-6s,\ s,\ -5s,\ t)$, nelle due equazioni di $U$:

• $x_1 + 6x_2 + 4x_4 = -6s + 6s + 4t = 4t = 0 \Rightarrow t = 0$;
• $5x_2 + x_3 + 2x_4 = 5s - 5s + 2t = 2t = 0$, già soddisfatta con $t = 0$.

Resta libero $s$: $\dim(U \cap W) = 1$, e con $s = 1$:

$$\text{base di } U \cap W: \ w_1 = (-6, 1, -5, 0).$$

(In effetti $w_1$ soddisfa le equazioni di $U$, quindi sta in $U$; $w_2$ no: $0 + 0 + 4 = 4 \ne 0$.)

$U + W$

Grassmanndim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W).Formula di Grassmann e somma diretta →: $\dim(U + W) = 2 + 2 - 1 = 3$. Questa volta $U + W \ne \mathbb{R}^4$, quindi una base va costruita.

$U + W$ è generato da $u_1, u_2, w_1, w_2$; servono 3 vettori indipendenti tra questi. Si parte dalla base $u_1, u_2$ di $U$ e si aggiunge un vettore di $W$ che non sta in $U$:

• $w_1$ non va bene: sta in $U \cap W$, quindi è combinazione di $u_1, u_2$ e non aggiunge nulla;
• $w_2$ va bene: non sta in $U$ (non soddisfa la prima equazione di $U$).

$u_1, u_2, w_2$ sono indipendenti: $u_1, u_2$ lo sono, e $w_2$ non è loro combinazione (altrimenti starebbe in $U$); per il teorema sulla dipendenzaDei vettori sono dipendenti se e solo se uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →, aggiungere a vettori indipendenti un vettore che non è loro combinazione dà ancora vettori indipendenti. Sono 3 vettori indipendenti nello spazio $U + W$ di dimensione 3, quindi ne sono una base.

Controllo con la riduzione a scala: righe $u_1 = (2, -1, 3, 1)$, $u_2 = (4, 0, 2, -1)$, $w_2 = (0, 0, 0, 1)$. Con $R_2 \to R_2 - 2R_1$ la seconda diventa $(0, 2, -4, -3)$, come nel punto (a); la terza ha il primo elemento non nullo in quarta colonna, dopo i pivot delle colonne 1 e 2 delle prime due. La matrice è a scala con 3 righe non nulle ✓.

$$\text{base di } U + W: \ u_1 = (2, -1, 3, 1),\ u_2 = (4, 0, 2, -1),\ w_2 = (0, 0, 0, 1).$$

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Riepilogo

Errori comuni

• Dividere per $\alpha - 5$ durante la riduzione: per $\alpha = 5$ è divisione per zero. I casi vanno separati.
• Dire $U + W = \mathbb{R}^4$ per abitudine: qui Grassmann dà $3$.
• Aggiungere $w_1$ alla base di $U$ per la somma: sta già in $U$, e i tre vettori sarebbero dipendenti.