FormularioAlgebra Lineare e Geometria: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

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I. Spazi vettoriali

Campi

Definizione (campo). Un campo è un insieme non vuoto $K$ con due operazioni, la somma $+$ e il prodotto $\cdot$ , tali che per ogni $a, b, c \in K$ :

$(a + b) + c = a + (b + c)$ (associativa della somma);

$a + b = b + a$ (commutativa della somma);

esiste un elemento $0 \in K$ con $0 + a = a$ per ogni $a$ (elemento neutro della somma);

per ogni $a$ esiste $-a \in K$ con $a + (-a) = 0$ (opposto);

$(a b) c = a (b c)$ (associativa del prodotto);

$a b = b a$ (commutativa del prodotto);

esiste un elemento $1 \in K$ , con $1 \ne 0$ , tale che $1 \cdot a = a$ per ogni $a$ (elemento neutro del prodotto);

per ogni $a \ne 0$ esiste $a^{-1} = \frac1a \in K$ con $a \cdot a^{-1} = 1$ (inverso);

$(a + b) c = a c + b c$ e $c (a + b) = c a + c b$ (distributive).

Esempio. $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$ sono campi. $\mathbb{Z}$ non lo è: $2$ non ha inverso moltiplicativo in $\mathbb{Z}$ . L'insieme $\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}$ , con somma e prodotto modulo $2$ , è un campo.

Spazi vettoriali

Definizione (spazio vettoriale). Sia $K$ un campo. Uno spazio vettoriale su $K$ è un insieme non vuoto $V$ con due operazioni:

la somma di vettori: a $v, w \in V$ associa $v + w \in V$ ;

il prodotto per uno scalare: a $\alpha \in K$ e $v \in V$ associa $\alpha v \in V$ ;

tali che per ogni $u, v, w \in V$ e $\alpha, \beta \in K$ :

$(u + v) + w = u + (v + w)$ (associativa);

$u + v = v + u$ (commutativa);

esiste un vettore $\vec 0 \in V$ , il vettore nullo, con $\vec 0 + v = v$ per ogni $v$ ;

per ogni $v$ esiste $-v \in V$ , l'opposto, con $v + (-v) = \vec 0$ ;

$(\alpha \beta) v = \alpha (\beta v)$ ;

$(\alpha + \beta) v = \alpha v + \beta v$ e $\alpha (v + w) = \alpha v + \alpha w$ (distributive);

$1 \cdot v = v$ .

Gli elementi di $V$ si chiamano vettori, quelli di $K$ scalari.

Esempio. $\mathbb{R}^2$ con somma e prodotto per scalari per componenti è uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ ; lo è anche l'insieme dei polinomi di grado al più $2$ .

Definizione (lo spazio Kⁿ). $K^n = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) : a_i \in K\}$ (il prodotto cartesiano $K \times \dots \times K$ di $n$ copie di $K$ , come $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$ in Operazioni tra insiemi) con $(a_1, \dots, a_n) + (b_1, \dots, b_n) = (a_1 + b_1, \dots, a_n + b_n), \qquad \lambda (a_1, \dots, a_n) = (\lambda a_1, \dots, \lambda a_n).$

Esempio numerico in $\mathbb{R}^3$ : prima il prodotto, $3 \cdot (2, 1, 4) = (3 \cdot 2, 3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (6, 3, 12)$ , poi la somma componente per componente: $(1, -2, 0) + (6, 3, 12) = (1 + 6, -2 + 3, 0 + 12) = (7, 1, 12)$ .

Combinazioni lineari e dipendenza lineare

Definizione (combinazione lineare). Dati i vettori $v_1, \dots, v_r$ di uno spazio vettoriale $V$ su $K$ e gli scalari $a_1, \dots, a_r \in K$ , il vettore $a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_r v_r = \sum_{i=1}^r a_i v_i$ si chiama combinazione lineare di $v_1, \dots, v_r$ con coefficienti $a_1, \dots, a_r$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , $2(1,0) - 3(0,1) = (2,-3)$ è una combinazione lineare di $e_1$ ed $e_2$ con coefficienti $2$ e $-3$ .

Grafico interattivo: La combinazione 2u − 3w con u = (1, 0) e w = (1, 1): si sommano i vettori 2u e −3w, uno in coda all'altro, e si arriva in (−1, −3)

Definizione (indipendenza e dipendenza lineare). I vettori $v_1, \dots, v_r$ sono linearmente indipendenti se $a_1 v_1 + \dots + a_r v_r = \vec 0 \quad \Longrightarrow \quad a_1 = a_2 = \dots = a_r = 0,$ cioè se l'unica combinazione lineare uguale al vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli.

Sono linearmente dipendenti se non sono indipendenti, cioè se esistono $a_1, \dots, a_r$ non tutti nulli (basta uno diverso da zero) con $a_1 v_1 + \dots + a_r v_r = \vec 0$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , $(1,2)$ e $(2,4)$ sono dipendenti ( $2(1,2) - (2,4) = (2 - 2, 4 - 4) = (0,0)$ , con coefficienti $2$ e $-1$ ), mentre $(1,0)$ e $(0,1)$ sono indipendenti: $a(1,0) + b(0,1) = (a, b)$ , che è $(0,0)$ solo se $a = b = 0$ .

Grafico interattivo: (1, 2) e (2, 4) stanno sulla stessa retta per l'origine (dipendenti: (2, 4) = 2·(1, 2)); (1, 0) e (0, 1) hanno direzioni diverse (indipendenti)

Teorema (dipendenza e combinazioni lineari). I vettori $v_1, \dots, v_n$ sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti.

Esempio. $v_1 = (1,0)$ , $v_2 = (0,1)$ , $v_3 = (2,3)$ sono dipendenti, perché $v_3 = 2v_1 + 3v_2$ , cioè $2v_1 + 3v_2 - v_3 = \vec 0$ .

Sottospazi vettoriali

Definizione (sottospazio vettoriale). Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ . Un sottoinsieme non vuoto $W \subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se è a sua volta uno spazio vettoriale con le stesse operazioni di $V$ . Questo equivale a chiedere che $W$ sia chiuso per le due operazioni:

$w_1, w_2 \in W \Longrightarrow w_1 + w_2 \in W$ (chiuso per la somma);

$\lambda \in K$ , $w \in W \Longrightarrow \lambda w \in W$ (chiuso per il prodotto per scalari).

Esempio. $W = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 3x - 2y = 0\}$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^2$ ; $\{(x,y) : y = x^2\}$ non lo è, perché $(1,1)$ e $(-1,1)$ gli appartengono ( $1 = 1^2 = (-1)^2$ ), ma la loro somma $(0,2)$ no ( $0^2 = 0 \ne 2$ ).

Proprietà (test del vettore nullo). se $\vec 0 \notin W$ , allora $W$ non è un sottospazio.

Esempio. $W = \{(x,y) : x + y = 1\}$ non contiene $(0,0)$ (perché $0 + 0 \ne 1$ ): non è un sottospazio di $\mathbb{R}^2$ .

Intersezione, somma e sottospazio generato

Definizione (intersezione di sottospazi). $U \cap W = \{v \in V : v \in U \text{ e } v \in W\}$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , $\{(a,0)\} \cap \{(0,b)\} = \{(0,0)\}$ (asse $x$ e asse $y$ ).

Teorema (l'intersezione di sottospazi è un sottospazio). Se $U$ e $W$ sono sottospazi di $V$ , anche $U \cap W$ è un sottospazio di $V$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^3$ l'intersezione dei piani $x = 0$ e $y = 0$ è l'asse $z$ , che è un sottospazio: i vettori che soddisfano entrambe le equazioni sono quelli della forma $(0, 0, z)$ .

Definizione (somma di sottospazi). La somma di $U$ e $W$ , indicata con $U + W$ , è il più piccolo sottospazio di $V$ che contiene $U \cup W$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^3$ la somma delle rette $\langle e_1 \rangle$ e $\langle e_2 \rangle$ è il piano $\langle e_1, e_2 \rangle$ .

Teorema (descrizione della somma). $U + W = \{u + w : u \in U,\ w \in W\}$ , cioè la somma contiene esattamente tutte le somme di un vettore di $U$ con un vettore di $W$ (da qui il nome e il simbolo).

Esempio. Con $U = \langle (1,0) \rangle$ e $W = \langle (0,1) \rangle$ : $U + W = \{(a,0) + (0,b)\} = \mathbb{R}^2$ .

Grafico interattivo: U + W = R² per le rette U: y = x e W: y = −x; il vettore (1, 3) è la somma di u = (2, 2) ∈ U e w = (−1, 1) ∈ W

Definizione (sottospazio generato). Il sottospazio generato da $S$ , indicato con $\langle S \rangle$ (in alcuni testi $L(S)$ , "lineare generato"), è il più piccolo sottospazio di $V$ che contiene $S$ .

Esempio. $\langle (1,2) \rangle = \{\lambda (1,2) : \lambda \in \mathbb{R}\}$ è la retta per l'origine di direzione $(1,2)$ . I suoi punti sono $(\lambda, 2\lambda)$ : la seconda coordinata è il doppio della prima, quindi è la retta $y = 2x$ , cioè $2x - y = 0$ .

Grafico interattivo: ⟨(1, 2)⟩ è la retta 2x − y = 0: contiene tutti i multipli λ·(1, 2), qui per λ = −1, 1/2, 1 e 2

Teorema (il sottospazio generato è l'insieme delle combinazioni lineari). $\langle S \rangle$ è l'insieme di tutte le combinazioni lineari (finite) di vettori di $S$ :

$\langle S \rangle = \left\{ \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r : r \ge 1,\ \lambda_i \in K,\ v_i \in S \right\}.$

Esempio. $\langle (1,0,0), (0,1,0) \rangle = \{a(1,0,0) + b(0,1,0)\}$ è il piano $z = 0$ di $\mathbb{R}^3$ .

Generatori e basi

Definizione (sistema di generatori). I vettori $v_1, \dots, v_r \in V$ formano un sistema di generatori (o insieme di generatori) di $V$ se $\langle v_1, \dots, v_r \rangle = V$ , cioè se ogni vettore $v \in V$ si può scrivere come combinazione lineare $v = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r \quad \text{per qualche } \lambda_1, \dots, \lambda_r \in K.$

Esempio. $(1,0)$ e $(0,1)$ generano $\mathbb{R}^2$ , perché $(a,b) = a(1,0) + b(0,1)$ . Invece $(1,1)$ e $(2,2)$ generano solo la retta $y = x$ : ogni combinazione $\lambda_1(1,1) + \lambda_2(2,2) = (\lambda_1 + 2\lambda_2)(1,1)$ ha le due componenti uguali, quindi per esempio $(1, 0)$ non si ottiene.

Definizione (base). Una base di $V$ è un insieme di vettori che

è un sistema di generatori di $V$ , e

è formato da vettori linearmente indipendenti (si dice anche che è un insieme libero).

Esempio. $(1,2)$ e $(2,-3)$ sono una base di $\mathbb{R}^2$ : generano (conto sopra) e sono indipendenti, perché con $a = b = 0$ la soluzione unica è $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$ . Un controllo più rapido, che si giustificherà con il determinante (Permutazioni e definizione di determinante): $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot 2 = -7 \ne 0$ . È lo stesso $7$ che compare nei denominatori di $\lambda_1$ e $\lambda_2$ .

Teorema (coordinate uniche rispetto a una base). Se $v_1, \dots, v_n$ è una base di $V$ , ogni vettore $v \in V$ si scrive in modo unico come combinazione lineare di $v_1, \dots, v_n$ .

Esempio. Nella base $\{(1,0), (1,1)\}$ di $\mathbb{R}^2$ il vettore $(3,2)$ si scrive in un solo modo: $1\cdot(1,0) + 2\cdot(1,1)$ . Infatti $\lambda_1(1,0) + \lambda_2(1,1) = (\lambda_1 + \lambda_2, \lambda_2) = (3, 2)$ obbliga $\lambda_2 = 2$ e poi $\lambda_1 = 3 - 2 = 1$ .

Definizione (base canonica di Kⁿ). In $K^n$ i vettori $e_1 = (1, 0, \dots, 0), \quad e_2 = (0, 1, 0, \dots, 0), \quad \dots, \quad e_n = (0, \dots, 0, 1)$ formano la base canonica.

Esempio. In $\mathbb{R}^3$ la base canonica è $e_1 = (1,0,0)$ , $e_2 = (0,1,0)$ , $e_3 = (0,0,1)$ e $(4,-1,7) = 4e_1 - e_2 + 7e_3$ .

Definizione (spazio finitamente generato). $V$ è finitamente generato se ha un sistema di generatori formato da un numero finito di vettori.

Esempio. $\mathbb{R}^3$ è finitamente generato (bastano $3$ vettori); lo spazio $\mathbb{R}[x]$ di tutti i polinomi no.

Teorema (lemma dello scambio). Se $v_1, \dots, v_n$ generano $V$ e $w_1, \dots, w_r \in V$ sono linearmente indipendenti, allora $r \le n$ .

Esempio d'uso. In $\mathbb{R}^3$ la base canonica dà 3 generatori: quindi 4 vettori di $\mathbb{R}^3$ sono sempre dipendenti, e 2 vettori non possono mai generare $\mathbb{R}^3$ (altrimenti i 3 vettori indipendenti $e_1, e_2, e_3$ sarebbero più dei 2 generatori).

Dimensione

Teorema (tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori). Se $v_1, \dots, v_n$ e $w_1, \dots, w_r$ sono due basi di $V$ , allora $r = n$ .

Esempio. La base canonica di $\mathbb{R}^3$ ha $3$ vettori, e anche la base $\{(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)\}$ ne ha $3$ . Che sia una base si vede risolvendo $\lambda_1(1,0,0) + \lambda_2(1,1,0) + \lambda_3(1,1,1) = (a, b, c)$ , cioè $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = a$ , $\lambda_2 + \lambda_3 = b$ , $\lambda_3 = c$ : dal basso, $\lambda_3 = c$ , $\lambda_2 = b - c$ , $\lambda_1 = a - b$ . Soluzione unica per ogni $(a, b, c)$ : generano e (con $a = b = c = 0$ ) sono indipendenti.

Definizione (dimensione). La dimensione di $V$ , indicata con $\dim V$ , è il numero di vettori di una qualsiasi base di $V$ . Per convenzione $\dim \{\vec 0\} = 0$ .

Esempio. $\dim \mathbb{R}^n = n$ , $\dim \{\vec 0\} = 0$ e il piano $\{x + y + z = 0\} \subseteq \mathbb{R}^3$ ha dimensione $2$ : da $x = -y - z$ il vettore generico è $(-y - z, y, z) = y(-1, 1, 0) + z(-1, 0, 1)$ , e i due vettori sono indipendenti (seconda e terza componente danno subito $y = z = 0$ ), quindi formano una base di $2$ vettori (metodo spiegato più avanti in questa nota).

Teorema (estrarre una base da un sistema di generatori). Da ogni sistema di generatori si può estrarre una base, togliendo opportunamente alcuni vettori.

Esempio. Da $\{(1,0), (2,0), (0,1)\}$ si estrae la base $\{(1,0), (0,1)\}$ , togliendo $(2,0) = 2(1,0)$ . Non si può togliere $(0,1)$ : i rimanenti $(1,0), (2,0)$ generano solo l'asse $x$ .

Teorema (completare a una base). Ogni insieme di vettori indipendenti si può completare a una base di $V$ , aggiungendo opportuni vettori.

Esempio. L'insieme $\{(1,1,0)\}$ si completa a una base di $\mathbb{R}^3$ aggiungendo $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$ . Verifica: $a(1,1,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = (a, a + b, c) = (0, 0, 0)$ dà $a = 0$ , poi $b = 0$ , e $c = 0$ ; tre vettori indipendenti in dimensione $3$ sono una base (teorema più sotto).

Teorema (in dimensione n basta una sola verifica). Sia $\dim V = n$ e siano $v_1, \dots, v_n$ esattamente $n$ vettori. Allora:

se generano $V$ , sono anche indipendenti, quindi sono una base;

se sono indipendenti, generano anche $V$ , quindi sono una base.

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ (dimensione $2$ ) i due vettori $(1,2)$ e $(2,-3)$ non sono paralleli ( $(2,-3)$ non è multiplo di $(1,2)$ : servirebbe il fattore $2$ dalla prima componente e $-\frac32$ dalla seconda), quindi sono indipendenti e formano una base, senza dover risolvere il sistema dei generatori come in Generatori e basi.

Formula di Grassmann e somma diretta

Teorema (formula di Grassmann). Se $U$ e $W$ sono sottospazi di uno spazio vettoriale $V$ (finitamente generato),

$\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W).$

Esempio. Due piani distinti per l'origine in $\mathbb{R}^3$ : $\dim U = \dim W = 2$ e $\dim(U + W) = 3$ , quindi $\dim(U \cap W) = 2 + 2 - 3 = 1$ : si intersecano in una retta.

Definizione (somma diretta). Se $U \cap W = \{\vec 0\}$ , la somma $U + W$ si dice diretta e si scrive $U \oplus W$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , $\langle e_1 \rangle \cap \langle e_2 \rangle = \{0\}$ : la somma è diretta e $\langle e_1 \rangle \oplus \langle e_2 \rangle = \mathbb{R}^2$ .

Teorema (scrittura unica nella somma diretta). Se la somma è diretta, ogni $v \in U \oplus W$ si scrive in modo unico come $v = u + w$ con $u \in U$ , $w \in W$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , $\mathbb{R}^2 = \langle e_1 \rangle \oplus \langle e_2 \rangle$ : ogni $(a, b)$ si scrive in modo unico come $(a, 0) + (0, b)$ . In $\mathbb{R}^3$ , un piano per l'origine e una retta per l'origine non contenuta nel piano danno $\mathbb{R}^3$ in somma diretta.

Grafico interattivo: R² = W ⊕ U′ con W = ⟨(1, 2)⟩ e due complementari diversi: con U′₁ (asse x) v = (3, 3) = (3/2, 3) + (3/2, 0), con U′₂: x + y = 0 v = (2, 4) + (1, −1)

II. Funzioni lineari e matrici

Funzioni lineari e isomorfismi

Definizione (funzione lineare). Una funzione $f : V \to W$ tra spazi vettoriali sul campo $K$ si dice lineare se

$f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2)$ per ogni $v_1, v_2 \in V$ (additività);

$f(\lambda v) = \lambda f(v)$ per ogni $\lambda \in K$ e ogni $v \in V$ (omogeneità).

Esempio. $f(x,y) = (2x + y,\ x - y)$ è lineare; $g(x) = x + 1$ non lo è, perché $g(0) = 1 \ne 0$ .

Proposizione (una funzione lineare manda 0 in 0). Se $f : V \to W$ è lineare, allora $f(\vec 0_V) = \vec 0_W$ .

Esempio. $f(x,y,z) = (x + 4,\ y)$ ha $f(0,0,0) = (4, 0) \ne (0,0)$ : non è lineare.

Teorema (una funzione lineare è determinata dalle immagini di una base). Sia $\{v_1, \dots, v_n\}$ una base di $V$ .

(Unicità) Una funzione lineare $f : V \to W$ è completamente determinata dai vettori $f(v_1), \dots, f(v_n)$ .

(Esistenza) Comunque si scelgano $n$ vettori $w_1, \dots, w_n \in W$ (anche uguali, anche nulli), esiste una e una sola funzione lineare $f : V \to W$ con $f(v_1) = w_1, \dots, f(v_n) = w_n$ .

Esempio. Esiste una funzione lineare $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ con $f(1, 0) = (1, 2, 0)$ e $f(0, 1) = (-1, 0, 3)$ ? Sì e una sola, perché $(1,0), (0,1)$ è una base. Per calcolarla in un vettore qualsiasi: $(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)$ , quindi $f(x, y) = x(1, 2, 0) + y(-1, 0, 3) = (x - y, \ 2x, \ 3y)$ (si sommano componente per componente: $x \cdot 1 + y \cdot (-1)$ , $x \cdot 2 + y \cdot 0$ , $x \cdot 0 + y \cdot 3$ ). Per esempio $f(2, 5) = (2 - 5, \ 2 \cdot 2, \ 3 \cdot 5) = (-3, 4, 15)$ . Controllo: $f(1, 0) = (1, 2, 0)$ e $f(0, 1) = (-1, 0, 3)$ , come richiesto.

Grafico interattivo: Esempio nel piano: la funzione lineare con f(1, 0) = (2, 1) e f(0, 1) = (−1, 1) è determinata da queste due immagini e manda il quadrato unitario nel parallelogramma di lati f(e₁) e f(e₂)

Coordinate rispetto a una base

Definizione (coordinate rispetto a una base). I numeri $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in K$ si chiamano coordinate (o componenti) di $v$ rispetto alla base $\mathcal B$ . Si scrivono in colonna: $[v]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} \in K^n$

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , il vettore $v = (3,1)$ nella base $\{(1,1), (1,-1)\}$ ha coordinate $[v]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ , perché $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$ .

Teorema. Ogni spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $K$ è isomorfo a $K^n$ .

Esempio. I polinomi $p_1 = 1 + x$ , $p_2 = x + x^2$ , $p_3 = 1 + 2x + x^2$ sono indipendenti? Le coordinate rispetto a $\{1, x, x^2\}$ sono $(1, 1, 0)$ , $(0, 1, 1)$ , $(1, 2, 1)$ ; la terza è la somma delle prime due ( $(1 + 0, \ 1 + 1, \ 0 + 1) = (1, 2, 1)$ ), quindi le colonne sono dipendenti e anche i polinomi lo sono: infatti $p_3 = p_1 + p_2$ . Il vantaggio è che sulle colonne si possono usare tutti gli strumenti di $K^n$ , per esempio il rango calcolato con l'Eliminazione di Gauss.

Nucleo e immagine

Definizione (nucleo e immagine). Nucleo di $f$ : l'insieme dei vettori del dominio che $f$ manda nel vettore nullo, $\operatorname{Ker} f = \{ v \in V : f(v) = \vec 0_W \} \subseteq V$ ("Ker" viene dall'inglese kernel; alcuni libri scrivono $N(f)$ .)

Immagine di $f$ : l'insieme dei vettori del codominio che sono immagine di qualche vettore del dominio, $\operatorname{Im} f = \{ w \in W : \exists\, v \in V \text{ con } f(v) = w \} = \{ f(v) : v \in V \} \subseteq W$

Esempio. $f(x,y,z) = (x, y)$ : $\operatorname{Ker} f = \{(0,0,z)\} = \langle (0,0,1) \rangle$ e $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^2$ . Infatti $f(x, y, z) = (0, 0)$ significa $x = 0$ e $y = 0$ , mentre $z$ può essere qualunque (non compare nella formula): il nucleo è l'asse $z$ . E ogni $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ è raggiunto, per esempio da $(a, b, 0)$ .

Teorema (nucleo e immagine sono sottospazi). $\operatorname{Ker} f$ è un sottospazio di $V$ e $\operatorname{Im} f$ è un sottospazio di $W$ .

Esempio. Per $f(x,y) = x + y$ da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ : $\operatorname{Ker} f = \{y = -x\}$ è una retta per l'origine (sottospazio di $\mathbb{R}^2$ , generato da $(1, -1)$ ) e $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}$ , perché ogni numero $t$ si ottiene come $f(t, 0) = t$ .

Teorema (nucleo e iniettività). $f$ è iniettiva $\iff$ $\operatorname{Ker} f = \{\vec 0\}$ .

Esempio. $f(x,y) = (x, x + y)$ ha $\operatorname{Ker} f = \{0\}$ (da $x = 0$ e $x + y = 0$ segue $y = 0$ ): è iniettiva. $g(x,y) = x + y$ ha $(1,-1) \in \operatorname{Ker} g$ : non è iniettiva, e infatti per esempio $g(1, 0) = g(0, 1) = 1$ .

Proposizione (l'immagine è generata dalle immagini di una base). Se $\{v_1, \dots, v_n\}$ è una base di $V$ , allora $\operatorname{Im} f = \langle f(v_1), \dots, f(v_n) \rangle$ .

Esempio. $f(x,y) = (x + y,\ 2x + 2y)$ : $f(e_1) = f(e_2) = (1,2)$ , quindi $\operatorname{Im} f = \langle (1,2) \rangle$ (in effetti $f(x, y) = (x + y)(1, 2)$ : ogni immagine è un multiplo di $(1, 2)$ ).

Teorema. Se $f : V \to W$ è lineare e $V$ ha dimensione finita, $\dim \operatorname{Ker} f + \dim \operatorname{Im} f = \dim V$

Esempio. $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z) = (x, y)$ : $\operatorname{Ker} f = \langle (0,0,1) \rangle$ ha dimensione $1$ , $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^2$ ha dimensione $2$ , e $1 + 2 = 3 = \dim \mathbb{R}^3$ . Per la proiezione del piano $p(x, y) = (x, 0)$ (vedi Funzioni lineari e isomorfismi): $\operatorname{Ker} p$ è l'asse $y$ e $\operatorname{Im} p$ è l'asse $x$ , entrambi di dimensione $1$ , e $1 + 1 = 2 = \dim \mathbb{R}^2$ .

Grafico interattivo: Proiezione p(x, y) = (x, 0): il nucleo è l'asse y (tutti i vettori che finiscono in 0), l'immagine è l'asse x; i punti di una stessa retta verticale x = 1.5 hanno tutti la stessa immagine (1.5, 0)

Definizione (antimmagine di un vettore). L'antimmagine (o controimmagine) di $w \in W$ è $f^{-1}(w) = \{ v \in V : f(v) = w \}$ .

Esempio. Per $f(x,y) = x + y$ si ha $f^{-1}(2) = \{(x,y) : x + y = 2\}$ , una retta che non contiene l'origine (non è un sottospazio).

Teorema (struttura dell'antimmagine). Se $v_0$ è un vettore con $f(v_0) = w$ (una "soluzione particolare"), allora $f^{-1}(w) = v_0 + \operatorname{Ker} f = \{ v_0 + u : u \in \operatorname{Ker} f \}$

Esempio. Con la $f$ di prima, $f^{-1}(1, 2)$ : si risolve $3x_1 - x_2 + x_3 = 1$ , $-2x_1 + 4x_2 - x_3 = 2$ . Scegliendo $x_2 = 0$ (una scelta qualsiasi per trovare una soluzione): $3x_1 + x_3 = 1$ e $-2x_1 - x_3 = 2$ ; sommando $x_1 = 3$ (il termine in $x_3$ si elimina e a destra $1 + 2 = 3$ ), poi dalla prima $x_3 = 1 - 3x_1 = 1 - 9 = -8$ . Quindi $v_0 = (3, 0, -8)$ ; verifica: $f(3, 0, -8) = (9 - 0 - 8, \ -6 + 0 + 8) = (1, 2)$ ✓. Per il teorema $f^{-1}(1, 2) = (3, 0, -8) + \langle (-3, 1, 10) \rangle = \{ (3 - 3t, \ t, \ -8 + 10t) : t \in \mathbb{R} \}$ (si somma a $v_0$ il generico vettore $t(-3, 1, 10)$ del nucleo). Geometricamente: una retta parallela al nucleo che non passa per l'origine (non è un sottospazio, è un sottospazio affine).

Grafico interattivo: f(x, y) = (x + 2y, 2x + 4y) da R² a R²: nucleo la retta x + 2y = 0, immagine la retta y = 2x generata da (1, 2); l'antimmagine di (1, 2) è la retta parallela al nucleo x + 2y = 1, che non passa per l'origine

Matrice associata a una funzione lineare

Definizione (matrice associata a una funzione lineare). La matrice associata a $f$ rispetto alla base $\mathcal B$ del dominio e alla base $\mathcal C$ del codominio è $M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ La colonna $j$ contiene le coordinate di $f(v_j)$ rispetto alla base $\mathcal C$ .

Esempio. $f(x,y) = (x + y,\ 2x)$ nelle basi canoniche: $f(e_1) = (1,2)$ e $f(e_2) = (1,0)$ , quindi $M(f) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

Teorema (coordinate dell'immagine). Se $A = M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$ , allora per ogni $v \in V$

$[f(v)]_{\mathcal C} = A \, [v]_{\mathcal B}$

Esempio (lezione 13): giro lungo contro prodotto. Sia $A = M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ e $v$ il vettore di coordinate $(2, -3, 4)$ , cioè $v = 2v_1 - 3v_2 + 4v_3$ .

Proprietà (matrice di una somma e di un multiplo). $M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f + g) = M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f) + M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(g), \qquad M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(\lambda f) = \lambda \, M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$

Esempio. Se $M(f) = I_2$ e $M(g) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , allora $M(f + g) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $M(3f) = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ .

Operazioni tra matrici

Definizione (somma e prodotto per uno scalare). $A + B = (a_{ij} + b_{ij}), \qquad \lambda A = (\lambda a_{ij})$

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 5 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 5 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

Definizione (prodotto righe per colonne). $c_{hj} = \sum_{i=1}^m b_{hi} \, a_{ij} = b_{h1} a_{1j} + b_{h2} a_{2j} + \dots + b_{hm} a_{mj}$ La matrice $C = BA$ si chiama prodotto di $B$ per $A$ , e vale $M^{\mathcal B}_{\mathcal D}(g \circ f) = M^{\mathcal C}_{\mathcal D}(g) \cdot M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 3 + 2\cdot 4 \\ 0\cdot 3 + 1\cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

Proprietà (dimensioni del prodotto). Il prodotto $BA$ è definito solo se il numero di colonne di $B$ è uguale al numero di righe di $A$ . Se $B$ è $r \times m$ e $A$ è $m \times n$ , allora $BA$ è $r \times n$ (righe di $B$ , colonne di $A$ ).

Esempio (lezione 12). $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 5 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$

Definizione (matrice trasposta). La trasposta di $A = (a_{ij}) \in M_{m \times n}(K)$ è la matrice $A^T \in M_{n \times m}(K)$ che ha al posto $(i, j)$ l'elemento $a_{ji}$ : le righe di $A$ diventano le colonne di $A^T$ .

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 4 \\ 3 & 5 & 1 & 0 \end{pmatrix} \ (2 \times 4), \qquad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \\ -2 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \ (4 \times 2)$

Cambiamenti di base

Definizione (matrice di cambiamento di base). La matrice di cambiamento di base da $\mathcal B$ a $\mathcal B'$ è $P = M^{\mathcal B}_{\mathcal B'}(\mathrm{id}_V)$ la matrice della funzione identica $\mathrm{id}_V(v) = v$ , usando $\mathcal B$ nel dominio e $\mathcal B'$ nel codominio. La colonna $i$ contiene le coordinate di $v_i$ rispetto a $\mathcal B'$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , con $\mathcal B = \{(1,1), (1,-1)\}$ e $\mathcal B' = \mathcal E$ (base canonica), la colonna $i$ è $v_i$ stesso: $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Teorema (le due matrici di cambiamento di base sono inverse). $QP = PQ = I_n$ , cioè $M^{\mathcal B'}_{\mathcal B}(\mathrm{id}_V) = \big(M^{\mathcal B}_{\mathcal B'}(\mathrm{id}_V)\big)^{-1}$ . In particolare ogni matrice di cambiamento di base è invertibile.

Esempio. Per $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ si ha $Q = P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ e $QP = I_2$ . Ci si arriva in due modi.

Dalla definizione di $Q$ : le sue colonne sono le coordinate di $e_1$ ed $e_2$ rispetto a $\mathcal B = \{(1,1), (1,-1)\}$ . Con la formula $\lambda_1 = \frac{x + y}{2}$ , $\lambda_2 = \frac{x - y}{2}$ trovata in Coordinate rispetto a una base: $e_1 = (1, 0)$ ha coordinate $(\frac12, \frac12)$ ed $e_2 = (0, 1)$ ha coordinate $(\frac12, -\frac12)$ . Verifica: $\frac12(1, 1) + \frac12(1, -1) = (1, 0)$ ✓.
Con la formula dell'inversa 2 × 2: $ad - bc = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -2$ , quindi $P^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac12 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Teorema (formula di cambiamento di base). $\boxed{\ M^{\mathcal B'}_{\mathcal C'}(f) = M^{\mathcal C}_{\mathcal C'}(\mathrm{id}_W) \cdot M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f) \cdot M^{\mathcal B'}_{\mathcal B}(\mathrm{id}_V)\ }$

Esempio. $f(x,y) = (x + 2y,\ 2x + y)$ ha $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ; con $\mathcal B' = \{(1,1), (1,-1)\}$ nel dominio e base canonica nel codominio, $M^{\mathcal B'}_{\mathcal E}(f) = A P = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ (colonne $f(1,1) = (1 + 2, \ 2 + 1) = (3,3)$ e $f(1,-1) = (1 - 2, \ 2 - 1) = (-1,1)$ ; qui $P = M^{\mathcal B'}_{\mathcal E}(\mathrm{id})$ ha in colonna i vettori di $\mathcal B'$ , e $M^{\mathcal E}_{\mathcal E}(\mathrm{id}) = I_2$ a sinistra non cambia nulla).

Definizione (matrici simili). Due matrici quadrate $A, A' \in M_n(K)$ si dicono simili se esiste una matrice invertibile $P$ tale che $A' = P^{-1} A P$ .

Esempio: una base in cui la matrice è diagonale. $f(x, y) = (x + 2y, \ 2x + y)$ , $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ nella base canonica. Con $\mathcal B' = \{(1, 1), (1, -1)\}$ : $f(1, 1) = (3, 3) = 3 \cdot (1, 1), \qquad f(1, -1) = (-1, 1) = -1 \cdot (1, -1)$ quindi, per la ricetta, $A' = M^{\mathcal B'}_{\mathcal B'}(f) = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ : la prima colonna sono le coordinate di $f(b_1) = 3b_1 + 0b_2$ , cioè $(3, 0)$ ; la seconda quelle di $f(b_2) = 0b_1 - 1b_2$ , cioè $(0, -1)$ . Con la formula: $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ , $P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ , $P^{-1} A P = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ (dove $AP = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ , calcolato sopra; poi riga per colonna: $\frac12(3 + 3) = 3$ , $\frac12(-1 + 1) = 0$ , $\frac12(3 - 3) = 0$ , $\frac12(-1 - 1) = -1$ ). La stessa funzione, che nella base canonica "mescola" $x$ e $y$ , nella base $\mathcal B'$ si limita a moltiplicare la prima coordinata per $3$ e la seconda per $-1$ . Trovare basi di questo tipo è il problema della Diagonalizzazione.

Grafico interattivo: f(x, y) = (x + 2y, 2x + y): la direzione b₁ = (1, 1) viene allungata di 3 volte, la direzione b₂ = (1, −1) viene ribaltata (fattore −1); nella base {b₁, b₂} la matrice è diag(3, −1)

III. Sistemi lineari

Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli

Formula (scrittura matriciale di un sistema lineare). $\boxed{AX = B}$

Esempio. Il sistema $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 4x - y = 1 \end{cases}$ si scrive $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Teorema (struttura delle soluzioni di un sistema lineare). Sia $\bar X$ una soluzione (detta soluzione particolare) del sistema $AX = B$ . Allora le soluzioni del sistema sono tutti e soli i vettori della forma

$X = \bar X + Y, \qquad Y \in \operatorname{Ker} f_A \ (\text{cioè } AY = 0).$

Esempio. $x + y = 2$ (una equazione, due incognite, $A = (1 \ \ 1)$ ): $\bar X = (2, 0)$ è una soluzione ( $2 + 0 = 2$ ) e $\operatorname{Ker} f_A = \{x + y = 0\} = \{(t, -t)\} = \langle (1,-1) \rangle$ , quindi le soluzioni sono $(2,0) + t(1,-1) = (2 + t, \ -t)$ . Controllo: $(2 + t) + (-t) = 2$ per ogni $t$ ✓. Con un'altra soluzione particolare, per esempio $(0, 2)$ , si ottiene lo stesso insieme: $(0, 2) = (2, 0) + (-2)(1, -1)$ .

Grafico interattivo: x + y = 2: il nucleo è la retta x + y = 0 per l'origine; le soluzioni sono la retta parallela ottenuta traslando il nucleo del vettore X̄ = (2, 0)

Teorema (Rouché-Capelli). Il sistema $AX = B$ , con $A \in M_{m \times n}(K)$ , ha soluzioni se e solo se $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A \,|\, B).$ In tal caso, detto $r$ questo rango comune:

se $r = n$ la soluzione è unica;

se $r < n$ le soluzioni sono infinite e dipendono da $n - r$ parametri liberi (si scrive $\infty^{n-r}$ soluzioni).

Esempio. $\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases}$ ha $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A|B) = 1 < 2$ : infinite soluzioni ( $\infty^1$ ). Infatti in $(A|B) = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{array}\right)$ la seconda riga è il doppio della prima, quindi c'è una sola riga indipendente (anche aggiungendo la colonna $B$ ). Con termine noto $(2, 5)$ invece $(A|B) = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{array}\right)$ : la colonna $(2, 5)$ non è multipla della colonna $(1, 2)$ di $A$ (servirebbe il fattore $2$ per la prima componente e $\frac52$ per la seconda), quindi il rango di $(A|B)$ è $2 \ne 1$ : nessuna soluzione. Sottraendo alla seconda equazione il doppio della prima si arriva a $0 = 1$ .

Eliminazione di Gauss

Definizione (forma a scala e pivot). Una matrice è in forma a scala (per righe) se, in ogni riga, il primo elemento non nullo sta strettamente più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente; le eventuali righe nulle stanno in fondo.

Il primo elemento non nullo di ogni riga non nulla si chiama pivot.

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ è a scala, con pivot $1$ (prima riga) e $4$ (seconda riga).

Teorema (rango di una matrice a scala). Il rango di una matrice in forma a scala è il numero di righe non nulle (cioè il numero di pivot).

Esempio. La matrice a scala $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ha due righe non nulle, quindi rango $2$ .

Matrice inversa

Definizione (matrice invertibile e inversa). Una matrice quadrata $A \in M_n(K)$ si dice invertibile se esiste una matrice $A^{-1} \in M_n(K)$ tale che $A A^{-1} = A^{-1} A = I_n.$ $A^{-1}$ si chiama inversa di $A$ .

Esempio (lezione 15). Per $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ si ha $A^{-1} = \frac15 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ . Verifica (è la cosa più facile da fare quando qualcuno ci dà un'inversa): prima riga di $A^{-1}$ per prima colonna di $A$ : $\frac15(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3) = 1$ ; prima riga per seconda colonna: $\frac15(1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1) = 0$ ; seconda riga per prima colonna: $\frac15(-3 \cdot 2 + 2 \cdot 3) = 0$ ; seconda riga per seconda colonna: $\frac15(-3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1) = 1$ . Il prodotto $A^{-1}A$ è $I_2$ (e allo stesso modo $AA^{-1} = I_2$ ).

Proposizione (inversa sinistra e destra coincidono). Se $BA = I_n$ e $AC = I_n$ , allora $B = C$ . In particolare l'inversa, se esiste, è unica.

Esempio. Per $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ le matrici $B$ e $C$ con $BA = I$ e $AC = I$ sono entrambe $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Controllo: $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$ e $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 + 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$ . Come funzione, $A$ manda $(x, y)$ in $(x + y, \ y)$ e l'inversa in $(x - y, \ y)$ : una aggiunge $y$ alla prima coordinata, l'altra lo toglie.

Teorema. Per $A \in M_n(K)$ sono equivalenti:

$A$ è invertibile;

$\operatorname{rango}(A) = n$ (rango massimo);

$\operatorname{Ker} f_A = \{0\}$ , cioè il sistema $AX = 0$ ha solo la soluzione nulla;

le colonne (equivalentemente, le righe) di $A$ sono linearmente indipendenti.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ha rango $2$ (le colonne $(1, 3)$ e $(2, 4)$ non sono proporzionali: $2 = 2 \cdot 1$ ma $4 \ne 2 \cdot 3$ ), $AX = 0$ ha solo $X = 0$ e le colonne sono indipendenti: è invertibile, con $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ (dalla formula $2 \times 2$ più sotto: $ad - bc = 4 - 6 = -2$ e $A^{-1} = -\frac12 \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ ). Controllo della prima riga di $A A^{-1}$ : $1 \cdot (-2) + 2 \cdot \frac32 = 1$ e $1 \cdot 1 + 2 \cdot (-\frac12) = 0$ ✓.

Formula (inversa di una matrice 2 × 2). $\boxed{A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}}$

Esempio. $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{2 \cdot 1 - (-1)\cdot 3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ .

{"tipo":"geometria","titolo":"A = (1 2; 2 4) ha ad − bc = 4 − 4 = 0: Ae₁ = (1, 2) e Ae₂ = (2, 4) stanno sulla stessa retta y = 2x, e il quadrato unitario viene schiacciato sul segmento da (0, 0) a A(1, 1) = (3, 6)","x":[-1,4],"y":[-0.5,6.5],"elementi":[{"poligono":[[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]],"colore":1},{"retta":[2,-1,0],"colore":4,"tratteggio":true,"etichetta":"Im A: y = 2x"},{"segmento":[[0,0],[3,6]],"colore":2},{"vettore":[1,0],"etichetta":"e₁","colore":1},{"vettore":[0,1],"etichetta":"e₂","colore":1},{"vettore":[1,2],"etichetta":"Ae₁","colore":2},{"vettore":[2,4],"etichetta":"Ae₂","colore":2}]}
``` Questo numero **determina** se  $A$  è invertibile: per questo si chiama **determinante**. Capire chi è il "denominatore comune" per matrici più grandi è il punto di partenza della <a class="wiki glossa" href="/algebra-lineare-e-geometria/appunti/permutazioni-e-definizione-di-determinante/" aria-describedby="sp-12">teoria dei determinanti<span class="spiega" role="tooltip"><span class="spiega-testo" id="sp-12">Il determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c&#39;è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.<span class="spiega-vai">Permutazioni e definizione di determinante →</span></span><span class="graffa" aria-hidden="true"><i class="g-l"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-punta"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-r"></i></span></span><!--/spiega--></a>.

## Proprietà

Se  $A, B \in M_n(K)$  sono invertibili:

| Proprietà | Perché |
|---|---|
|  $(A^{-1})^{-1} = A$  |  $A A^{-1} = A^{-1} A = I$  dice anche che  $A$  è inversa di  $A^{-1}$  |
|  $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$  (ordine invertito) |  $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I$  |
|  $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$  |  $A^T (A^{-1})^T = (A^{-1} A)^T = I^T = I$ , usando  $(BC)^T = C^T B^T$  |
|  $(\lambda A)^{-1} = \frac1\lambda A^{-1}$  per  $\lambda \ne 0$  |  $(\lambda A)(\frac1\lambda A^{-1}) = AA^{-1} = I$  |

La seconda riga ricorda il "togliersi calze e scarpe": si tolgono in ordine inverso a come si sono messe.

**Uso per i sistemi.** Se  $A \in M_n(K)$  è invertibile,  $AX = B$  ha l'unica soluzione  $X = A^{-1}B$  (si moltiplicano entrambi i membri **a sinistra** per  $A^{-1}$ ). Calcolare  $A^{-1}$  conviene però solo se si devono risolvere molti sistemi con la stessa  $A$  e termini noti diversi; per un solo sistema è più rapido Gauss direttamente su  $(A \,|\, B)$ .

## Errori comuni

- **Parlare di inversa di una matrice non quadrata.** Non esiste.
- **Usare operazioni sulle colonne** in  $(A \,|\, I)$ : le colonne di  $A$  e di  $I$  non si mescolerebbero nel modo giusto. Solo righe.
- **Moltiplicare dalla parte sbagliata**: da  $AX = B$  si ricava  $X = A^{-1}B$ , non  $BA^{-1}$  (che spesso non ha nemmeno senso).
- **Scrivere  $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ **: l'ordine va invertito.
- **Non verificare**: un prodotto  $AA^{-1}$  richiede pochi conti e scopre quasi tutti gli errori.

IV. Determinante

Permutazioni e definizione di determinante

Definizione (permutazione). Una permutazione di $\{1, 2, \dots, n\}$ è una funzione biiettiva $\sigma : \{1, \dots, n\} \to \{1, \dots, n\}$ . L'insieme di tutte le permutazioni di $n$ elementi si indica con $S_n$ .

Esempio. $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ è una permutazione di $\{1,2,3\}$ ; in $S_3$ ce ne sono $3! = 6$ .

Definizione (determinante). Sia $A = (a_{ij}) \in M_n(K)$ . Il determinante di $A$ è il numero $\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \, a_{1\sigma(1)} \, a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}.$

Esempio. $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 1\cdot 4 - 2\cdot 3 = -2$ .

Teorema (determinante di una matrice triangolare). Se $A$ è triangolare (superiore: tutti zeri sotto la diagonale; oppure inferiore: tutti zeri sopra), il determinante è il prodotto degli elementi della diagonale:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & * & \cdots & * \\ 0 & a_{22} & \cdots & * \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.$

Esempio. $\det\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ .

Teorema (determinante della trasposta). $\det A^T = \det A$ .

Esempio. $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = -2 = \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ .

Proprietà del determinante, Binet e Laplace

Teorema (Binet). Per $A, B \in M_n(K)$ : $\det(AB) = \det A \cdot \det B.$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ hanno $\det A = 3$ e $\det B = 2$ ; $AB = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ ha $\det(AB) = 6 = 3 \cdot 2$ . (Il prodotto righe per colonne: riga $1$ di $A$ per le colonne di $B$ dà $1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4$ e $1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$ ; riga $2$ dà $0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 3$ e $0 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3$ . Poi $\det(AB) = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 6$ ; $\det A = 3$ e $\det B = 2$ perché sono triangolari.)

Teorema (Laplace). Per ogni riga $i$ fissata: $\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij} \qquad \text{(sviluppo lungo la riga } i\text{)},$ e per ogni colonna $j$ fissata: $\det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij} \qquad \text{(sviluppo lungo la colonna } j\text{)}.$ Il risultato non dipende dalla riga o colonna scelta.

Esempio (lezione 21).

Matrice aggiunta e teorema di Cramer

Teorema. $A \cdot A^* = A^* \cdot A = \det A \cdot I_n$ .

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ha $A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ e $A A^* = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \det A \cdot I_2$ .

Teorema. Una matrice quadrata $A$ è invertibile se e solo se $\det A \ne 0$ .

( $\Rightarrow$ : Binet, $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ . $\Leftarrow$ : la formula qui sopra costruisce $A^{-1}$ .)

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ha $\det = -2 \ne 0$ ed è invertibile; $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ ha $\det = 0$ e non lo è.

Teorema (Cramer). Se $A \in M_n(K)$ ha $\det A \ne 0$ , il sistema $AX = B$ ha un'unica soluzione, data da $x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}, \qquad i = 1, \dots, n,$ dove $\Delta = \det A$ e $\Delta_i$ è il determinante della matrice ottenuta da $A$ sostituendo la colonna $i$ con la colonna $B$ dei termini noti.

Esempio $2 \times 2$ e significato geometrico.

Grafico interattivo: Il sistema 2x + y = 5, x − y = 1 ha Δ = −3 ≠ 0: le due rette non sono parallele e si incontrano nell'unico punto (Δ₁/Δ, Δ₂/Δ) = (2, 1)

V. Autovalori e diagonalizzazione

Autovalori e autovettori

Definizione. Due matrici $A, B \in M_n(K)$ sono simili se esiste una matrice invertibile $P \in M_n(K)$ tale che $B = P^{-1} A P.$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ sono simili con $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ : $P^{-1} A P = B$ . Il conto: per la formula dell'inversa 2×2 ( $\det P = 1$ ) $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ; poi $AP = \begin{pmatrix} 1 & 1 + 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $P^{-1}(AP) = \begin{pmatrix} 1 - 0 & 3 - 3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = B$ .

Definizione. Sia $f : V \to V$ lineare. Un vettore $v \in V$ , $v \ne \vec 0$ , si dice autovettore di $f$ se esiste uno scalare $\lambda \in K$ tale che $f(v) = \lambda v .$ Lo scalare $\lambda$ si chiama autovalore di $f$ (relativo all'autovettore $v$ ).

Per una matrice $A \in M_n(K)$ si dice lo stesso con $A v = \lambda v$ ( $v$ vettore colonna non nullo).

Esempio immediato. Con $A = \begin{pmatrix} -7 & -9 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ e $v = (-1, 1)$ :

Grafico interattivo: Con A = (−7 −9; 6 8): il vettore v = (−1, 1) viene mandato in Av = (−2, 2) = 2v, sulla sua stessa retta (autovettore); il vettore e₁ = (1, 0) va in Ae₁ = (−7, 6), che cambia direzione

Definizione. Il polinomio caratteristico di $A \in M_n(K)$ è $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I),$ cioè il determinante della matrice che si ottiene sottraendo $\lambda$ solo agli elementi della diagonale di $A$ . L'equazione $p_A(\lambda) = 0$ si chiama equazione caratteristica.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : $A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix}$ e, con la regola $ad - bc$ , $p_A(\lambda) = (2 - \lambda)^2 - 1 \cdot 1 = 4 - 4\lambda + \lambda^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3$ .

Teorema. Gli autovalori di $A$ sono esattamente le soluzioni (in $K$ ) dell'equazione caratteristica $\det(A - \lambda I) = 0$ .

Esempio. Per la stessa $A$ : con la formula delle equazioni di secondo grado $\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$ , cioè $\lambda = 1$ e $\lambda = 3$ ; quindi $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)$ e gli autovalori sono $1$ e $3$ .

Definizione. Se nella scomposizione in fattori del polinomio caratteristico compare il fattore $(\lambda - a)^r$ , con $r$ massimo (cioè $(\lambda - a)^{r+1}$ non divide $p_A$ ), si dice che l'autovalore $a$ ha molteplicità algebrica $r$ . Si scrive $m_a(a) = r$ .

Esempio: se $p_A(\lambda) = -(\lambda - 1)^2 (\lambda + 3)$ , l'autovalore $1$ ha molteplicità algebrica $2$ e l'autovalore $-3$ ha molteplicità algebrica $1$ . Si chiama "algebrica" perché nasce solo dallo scomporre un polinomio; tra poco arriva quella "geometrica".

Teorema. Se $A$ e $B$ sono simili, allora $p_A(\lambda) = p_B(\lambda)$ . In particolare hanno gli stessi autovalori, con le stesse molteplicità algebriche.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $B = \operatorname{diag}(1, 3)$ sono simili e hanno entrambe $p(\lambda) = (1 - \lambda)(3 - \lambda)$ .

Definizione. L'autospazio relativo all'autovalore $\lambda$ è $V_\lambda = \operatorname{Ker}(A - \lambda I) = \{ v \in K^n : A v = \lambda v \}.$ I suoi elementi non nulli sono esattamente gli autovettori relativi a $\lambda$ .

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ e $\lambda = 3$ : $A - 3I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ . La seconda riga è l'opposta della prima, quindi resta la sola equazione $-x_1 + x_2 = 0$ , cioè $x_2 = x_1$ con $x_1 = t$ libero: $V_3 = \operatorname{Ker}(A - 3I) = \{(t, t)\} = \langle (1, 1) \rangle$ . Allo stesso modo $A - I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dà $x_1 + x_2 = 0$ e $V_1 = \langle (-1, 1) \rangle$ . Verifica: $A(1, 1) = (3, 3)$ , $A(-1, 1) = (-1, 1)$ ✓.

Definizione. La molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$ è la dimensione del suo autospazio: $m_g(\lambda) = \dim V_\lambda = n - \operatorname{rango}(A - \lambda I).$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ e $\lambda = 2$ : $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ha rango $1$ (una sola riga non nulla), quindi $m_g(2) = 2 - 1 = 1$ : il sistema è la sola equazione $x_2 = 0$ , con $x_1$ libero, e $V_2 = \langle (1, 0) \rangle$ . Invece $m_a(2) = 2$ , perché la matrice è triangolare e $p_A(\lambda) = (2 - \lambda)^2$ .

Diagonalizzazione

Definizione. Una matrice $A \in M_n(K)$ si dice diagonalizzabile (su $K$ ) se è simile a una matrice diagonale, cioè se esistono $S$ invertibile e $D$ diagonale con $D = S^{-1} A S \qquad \text{(equivalentemente } A = S D S^{-1}\text{)}.$ Un endomorfismo $f : V \to V$ è diagonalizzabile se ha una matrice diagonale in qualche base.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ con $S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ (autovettori $(1,1)$ e $(1,-1)$ , trovati in Autovalori e autovettori) e $D = \operatorname{diag}(3, 1)$ : $S^{-1} A S = D$ . Il conto: $\det S = -1 - 1 = -2$ , quindi per la formula dell'inversa 2×2 $S^{-1} = -\frac12 \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac12 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ ; poi $AS = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 2 - 1 \\ 1 + 2 & 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ e $S^{-1}(AS) = \frac12 \begin{pmatrix} 3 + 3 & 1 - 1 \\ 3 - 3 & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Grafico interattivo: A = (2 1; 1 2): le rette y = x (autovalore 3) e y = −x (autovalore 1) sono direzioni invarianti; e₁ = (1, 0), che non è un autovettore, va in Ae₁ = (2, 1) = (3/2)(1, 1) + (1/2)(1, −1)

Teorema. $A$ è diagonalizzabile $\iff$ esiste una base di $K^n$ formata da autovettori di $A$ . In tal caso:

$D$ ha sulla diagonale gli autovalori $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ ;

$S$ ha nelle colonne gli autovettori $v_1, \dots, v_n$ corrispondenti, nello stesso ordine.

Esempio. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ha la base di autovettori $(1,1)$ , $(1,-1)$ : è diagonalizzabile. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ha solo gli autovettori $(t, 0)$ : nessuna base, non è diagonalizzabile.

Teorema. Siano $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ autovalori distinti di $A$ e $v_1, \dots, v_r$ autovettori corrispondenti ( $A v_i = \lambda_i v_i$ ). Allora $v_1, \dots, v_r$ sono linearmente indipendenti.

Esempio. Per $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ gli autovettori $(1,1)$ e $(1,-1)$ hanno autovalori distinti $3 \ne 1$ e sono indipendenti: $\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -2 \ne 0$ .

Corollario. Se $A \in M_n(K)$ ha $n$ autovalori distinti in $K$ , allora è diagonalizzabile.

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ è triangolare con autovalori distinti $1$ e $3$ (gli elementi della diagonale): è diagonalizzabile. Se si vuole anche $S$ : $A - I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ dà $x_2 = 0$ , autovettore $(1, 0)$ ; $A - 3I = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ dà $x_2 = 2x_1$ , autovettore $(1, 2)$ ; quindi $S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , $D = \operatorname{diag}(1, 3)$ .

Teorema. Per ogni autovalore $\lambda$ di $A$ : $1 \le m_g(\lambda) \le m_a(\lambda).$

Esempio. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ha $m_a(2) = 2$ e $m_g(2) = 1$ , quindi $1 \le m_g(2) \le m_a(2)$ con la seconda disuguaglianza stretta.

Teorema (criterio). $A \in M_n(K)$ è diagonalizzabile su $K$ se e solo se:

tutti gli autovalori stanno in $K$ , cioè la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori in $K$ è $n$ : $m_a(\lambda_1) + \dots + m_a(\lambda_r) = n;$

per ogni autovalore $m_g(\lambda_i) = m_a(\lambda_i)$ .

Esempio. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ha $m_a(2) = 2 \ne m_g(2) = 1$ : non è diagonalizzabile. La matrice $I_2$ ha $m_a(1) = m_g(1) = 2$ : è diagonalizzabile.

Definizione. $A \in M_n(\mathbb{R})$ è simmetrica se $A^T = A$ , cioè $a_{ij} = a_{ji}$ : ogni riga è uguale alla corrispondente colonna. È antisimmetrica se $A^T = -A$ ; in tal caso la diagonale è tutta nulla (un elemento diagonale non si sposta trasponendo, quindi deve essere uguale al suo opposto). Esempio di antisimmetrica: $\begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ è simmetrica; $\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}$ è antisimmetrica (diagonale nulla e $a_{ji} = -a_{ij}$ ).

Teorema. Una matrice simmetrica reale $A$ di ordine $n$ ha $n$ autovalori reali (contati con molteplicità).

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ha $p(\lambda) = (1 - \lambda)^2 - 4$ , con autovalori reali $3$ e $-1$ . Una matrice non simmetrica può averli complessi: $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ha $\pm i$ .

Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineari

Definizione. Per $A \in M_n(\mathbb{R})$ : $e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} .$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ha $A^2 = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$ , e quindi anche $A^3 = A^2 A = O$ e così via: la serie si ferma: $e^A = I + A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Allo stesso modo $e^{Ax} = I + Ax = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ : compare $x$ , non solo esponenziali (succede perché $A$ non è diagonalizzabile, vedi Forma canonica di Jordan).

Formula. Se $A = S D S^{-1}$ con $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ , allora $e^{A} = S \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n} \end{pmatrix} S^{-1}, \qquad e^{A x} = S \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 x} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n x} \end{pmatrix} S^{-1}.$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = S \operatorname{diag}(3, 1) S^{-1}$ con $S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ : $e^A = S \operatorname{diag}(e^3, e) S^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} e^3 + e & e^3 - e \\ e^3 - e & e^3 + e \end{pmatrix}$ . Il conto: $S^{-1} = \frac12 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ (vedi Diagonalizzazione); $S \operatorname{diag}(e^3, e) = \begin{pmatrix} e^3 & e \\ e^3 & -e \end{pmatrix}$ (la prima colonna di $S$ per $e^3$ , la seconda per $e$ ); moltiplicando per $S^{-1}$ la riga $(e^3, e)$ dà $\frac12(e^3 + e,\ e^3 - e)$ e la riga $(e^3, -e)$ dà $\frac12(e^3 - e,\ e^3 + e)$ .

Forma canonica di Jordan

Definizione. Il blocco di Jordan di ordine $k$ relativo a $\lambda$ è la matrice $k \times k$ $J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}$ con $\lambda$ sulla diagonale, $1$ subito sopra la diagonale e $0$ altrove. Una matrice di Jordan è una matrice diagonale a blocchi i cui blocchi sono blocchi di Jordan.

Esempio. $J_2(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ e $J_3(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ : $\lambda$ sulla diagonale, $1$ subito sopra, $0$ altrove.

Teorema (forma canonica di Jordan). Sia $A \in M_n(K)$ con tutti gli autovalori in $K$ (sempre vero per $K = \mathbb{C}$ ). Allora $A$ è simile a una matrice di Jordan $J$ , unica a meno dell'ordine dei blocchi: $P^{-1} A P = J .$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ non è diagonalizzabile, ma è già in forma di Jordan: un solo blocco $J_2(2)$ (uno solo perché $m_g(2) = 1$ ).

VI. Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare, norma e angoli

Definizione. Per $v = (a_1, \dots, a_n)$ e $w = (b_1, \dots, b_n)$ in $\mathbb{R}^n$ : $v \cdot w = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n, \qquad \|v\| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{a_1^2 + \dots + a_n^2} .$

Esempio. $v = (1, 2, -1, 3)$ , $w = (2, 0, 4, 1)$ : si moltiplicano le componenti nella stessa posizione e si sommano, $v \cdot w = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 2 + 0 - 4 + 3 = 1$ ; $\|v\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 1 + 9} = \sqrt{15}$ .

Teorema (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). Per ogni $v, w \in \mathbb{R}^n$ : $\lvert v \cdot w \rvert \le \|v\|\, \|w\| .$ Inoltre vale l'uguaglianza se e solo se $v$ e $w$ sono proporzionali.

Esempio. $v = (1,2)$ e $w = (3,1)$ : $|v \cdot w| = 5 \le \|v\|\,\|w\| = \sqrt{5}\sqrt{10} = \sqrt{50} \approx 7{,}07$ .

Grafico interattivo: La parabola ‖v + t w‖² della dimostrazione. Con v = (1, 2), w = (3, 1) è 10t² + 10t + 5: sempre positiva, Δ/4 = 25 − 50 < 0, quindi |v·w| = 5 < √50. Con w = (2, 4), proporzionale a v, è 5(2t + 1)²: tocca l'asse in t = −1/2, dove v − w/2 = 0

Definizione. L'angolo tra due vettori non nulli $v, w \in \mathbb{R}^n$ è l'unico $\alpha \in [0, \pi]$ tale che $\cos \alpha = \frac{v \cdot w}{\|v\|\, \|w\|}, \qquad \text{cioè} \quad \alpha = \arccos \frac{v \cdot w}{\|v\|\, \|w\|} .$

Esempio. $v = (1, 1, 1, 1)$ , $w = (1, 0, 1, 0)$ : $v \cdot w = 1 + 0 + 1 + 0 = 2$ , $\|v\| = \sqrt{4} = 2$ , $\|w\| = \sqrt{2}$ , quindi $\cos \alpha = \frac{2}{2 \cdot \sqrt2} = \frac{1}{\sqrt 2}$ e $\alpha = \arccos \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\pi}{4}$ ( $45°$ ). Dettagli nell'Esercizio 86 · angoli, aree e volumi con il prodotto scalare.

Definizione. Due vettori $v, w$ sono ortogonali (o perpendicolari), e si scrive $v \perp w$ , se $v \cdot w = 0$ .

Esempio. $(1,2) \cdot (2,-1) = 2 - 2 = 0$ : i due vettori sono ortogonali.

Definizione. Un vettore è normalizzato (un versore) se ha norma $1$ .

Esempio: $v = (3, 0, 4)$ , $\|v\| = 5$ , versore $\left(\frac35, 0, \frac45\right)$ .

Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali

Definizione. Sia $U \subseteq \mathbb{R}^n$ un sottospazio vettoriale. L'ortogonale di $U$ è $U^\perp = \{ v \in \mathbb{R}^n : v \cdot u = 0 \ \text{ per ogni } u \in U \},$ l'insieme dei vettori perpendicolari a tutti i vettori di $U$ .

Esempio. $U = \langle (1,1,0) \rangle \subseteq \mathbb{R}^3$ : $U^\perp = \{(x,y,z) : x + y = 0\} = \langle (1,-1,0), (0,0,1) \rangle$ . Passaggi: $(x, y, z) \cdot (1, 1, 0) = x + y$ , e basta imporre l'ortogonalità al generatore (lo si giustifica sotto, "basta controllare una base"). L'equazione $x + y = 0$ ha due incognite libere, $x$ e $z$ : con $y = -x$ le soluzioni sono $(x, -x, z) = x\,(1, -1, 0) + z\,(0, 0, 1)$ .

Proposizione. Se $\{u_1, \dots, u_r\}$ è una base (o anche solo un insieme di generatori) di $U$ , allora $v \in U^\perp \iff v \cdot u_1 = 0, \ \ v \cdot u_2 = 0, \ \dots, \ v \cdot u_r = 0 .$

Esempio. $U = \langle (1, 2, 0, 1),\ (0, 1, 1, -1) \rangle \subset \mathbb{R}^4$ : $U^\perp: \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \\ x_2 + x_3 - x_4 = 0 \end{cases}$

Teorema. Per ogni sottospazio $U \subseteq \mathbb{R}^n$ : $\dim U^\perp = n - \dim U .$

Esempio. $U = \langle (1,1,0) \rangle \subseteq \mathbb{R}^3$ ha $\dim U = 1$ , quindi $\dim U^\perp = 3 - 1 = 2$ (infatti $U^\perp = \langle (1,-1,0), (0,0,1) \rangle$ ).

Teorema. Per ogni sottospazio $U \subseteq \mathbb{R}^n$ :

$U \cap U^\perp = \{0\}$ ;

$\mathbb{R}^n = U \oplus U^\perp$ ;

$(U^\perp)^\perp = U$ .

Esempio. Con $U = \langle (1,1,0) \rangle$ e $U^\perp = \langle (1,-1,0), (0,0,1) \rangle$ si ha $U \cap U^\perp = \{0\}$ e $\mathbb{R}^3 = U \oplus U^\perp$ (dimensioni $1 + 2 = 3$ ).

Definizione. $v' = p_U(v)$ è la proiezione ortogonale di $v$ su $U$ ; $v'' = v - p_U(v) = p_{U^\perp}(v)$ è la proiezione su $U^\perp$ (la "componente ortogonale").

Esempio. $U = \langle (1,0) \rangle \subseteq \mathbb{R}^2$ e $v = (3,4)$ : $p_U(v) = (3,0)$ e $v - p_U(v) = (0,4) \in U^\perp$ .

Teorema (migliore approssimazione). Per ogni $u \in U$ : $\|v - p_U(v)\| \le \|v - u\|,$ con uguaglianza solo se $u = p_U(v)$ . Cioè $p_U(v)$ è il vettore di $U$ più vicino a $v$ , e la distanza di $v$ da $U$ è $\|v - p_U(v)\| = \|p_{U^\perp}(v)\|$ .

Esempio. $U = \langle (1,0) \rangle$ e $v = (3,4)$ : la distanza di $v$ da $U$ è $\|v - p_U(v)\| = \|(0,4)\| = 4$ ; per $u = (2,0)$ si ha $\|v - u\| = \sqrt{1 + 16} \approx 4{,}12 > 4$ .

Grafico interattivo: Migliore approssimazione con U = asse x e v = (3, 4): p_U(v) = (3, 0) dista 4 da v; un altro punto di U, u = (2, 0), dista √17 ≈ 4,12, ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti 4 e ‖p_U(v) − u‖ = 1

Metodo dei minimi quadrati

Definizione. Una soluzione ai minimi quadrati di $AX = b$ è un vettore $\hat X \in \mathbb{R}^n$ che rende minima la norma $\|A X - b\|^2 = \sum_{i=1}^m \big( (AX)_i - b_i \big)^2 .$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ , cioè il sistema $x = 1$ , $x = 3$ (incompatibile): $\|AX - b\|^2 = (x - 1)^2 + (x - 3)^2$ è minima per $\hat{x} = 2$ . Passaggi: sviluppando, $(x - 1)^2 + (x - 3)^2 = 2x^2 - 8x + 10$ , una parabola con il vertice in $x = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2$ ; oppure, con le derivate, $\frac{d}{dx}(2x^2 - 8x + 10) = 4x - 8 = 0$ per $x = 2$ (teorema di Fermat). Il valore minimo è $1^2 + 1^2 = 2$ : il compromesso sbaglia di $1$ in ciascuna equazione.

Grafico interattivo: Somma dei quadrati degli scarti (x − 1)² + (x − 3)² per il sistema impossibile x = 1, x = 3: è minima in x = 2, la media dei due valori, dove vale 2

Teorema. $\hat X$ è una soluzione ai minimi quadrati di $AX = b$ se e solo se risolve le equazioni normali $A^T A\, \hat X = A^T b .$ Se le colonne di $A$ sono linearmente indipendenti, $A^T A$ è invertibile e la soluzione è unica: $\hat X = (A^T A)^{-1} A^T b .$

Esempio. Per lo stesso sistema $A^T A = (2)$ e $A^T b = (4)$ , quindi $\hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T b = 2$ .

Basi ortonormali e Gram-Schmidt

Definizione. Un insieme di vettori $\{v_1, \dots, v_k\}$ è

ortogonale se $v_i \cdot v_j = 0$ per ogni $i \ne j$ ;

ortonormale se è ortogonale e inoltre $\|v_i\| = 1$ per ogni $i$ .

In formula, ortonormale significa $v_i \cdot v_j = \delta_{ij}$ , dove $\delta_{ij} = 1$ se $i = j$ e $0$ se $i \ne j$ ("delta di Kronecker").

Esempio. $\{(1,1), (1,-1)\}$ è ortogonale ( $1 - 1 = 0$ ) ma non ortonormale (ogni vettore ha norma $\sqrt{2}$ ); $\left\{\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}, \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}\right\}$ è ortonormale.

Proposizione. Se $v_1, \dots, v_k$ sono non nulli e a due a due ortogonali, allora sono linearmente indipendenti.

Esempio. $v_1 = (1,1,0)$ , $v_2 = (1,-1,0)$ , $v_3 = (0,0,2)$ sono non nulli e a due a due ortogonali, quindi sono linearmente indipendenti.

VII. Forme bilineari e teorema spettrale

Forme bilineari simmetriche

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale reale. Una forma bilineare su $V$ è una funzione $\varphi: V \times V \to \mathbb{R}$ lineare in ciascun argomento: $\varphi(\lambda u + \mu v, w) = \lambda \varphi(u, w) + \mu \varphi(v, w), \qquad \varphi(u, \lambda v + \mu w) = \lambda \varphi(u, v) + \mu \varphi(u, w)$ per ogni $u, v, w \in V$ , $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ . È simmetrica se $\varphi(v, w) = \varphi(w, v)$ per ogni $v, w$ .

Esempio. Su $\mathbb{R}^2$ , $\varphi(v, w) = v_1 w_1 + 2 v_2 w_2$ è bilineare e simmetrica; $\varphi((1,1), (2,3)) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 3 = 2 + 6 = 8$ . Bilineare perché, fissato $w$ , è una combinazione lineare delle componenti di $v$ (e viceversa); simmetrica perché scambiando $v$ e $w$ i prodotti $v_i w_i$ non cambiano.

Definizione. La matrice di $\varphi$ rispetto a $\mathcal B$ è $A = (a_{ij})$ con $a_{ij} = \varphi(v_i, v_j)$ . Indicando con $X$ e $Y$ le colonne delle coordinate di $v$ e $w$ : $\varphi(v, w) = X^T A\, Y .$

Esempio. $\varphi(v, w) = v_1 w_1 + 2 v_2 w_2$ ha nella base canonica la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , e $\varphi(v, w) = X^T A Y$ .

Teorema. Se $A$ è la matrice di $\varphi$ rispetto a $\mathcal B$ , la matrice rispetto a $\mathcal B'$ è $A' = P^T A\, P .$ Due matrici $A, A'$ legate da $A' = P^T A P$ con $P$ invertibile si dicono congruenti.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ e la nuova base $\{(1, 1), (1, -1)\}$ , cioè $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ :

Definizione. Il nucleo (o radicale) di $\varphi$ è $\operatorname{Ker} \varphi = \{ v \in V : \varphi(v, w) = 0 \ \text{ per ogni } w \in V \}.$ $\varphi$ è non degenere se $\operatorname{Ker} \varphi = \{0\}$ , degenere altrimenti.

Esempio. $\varphi(x, y) = x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2 = (x_1 + x_2)(y_1 + y_2)$ ha matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ , $\det = 1 - 1 = 0$ : degenere. Il nucleo è $AX = 0$ , cioè la sola equazione $x_1 + x_2 = 0$ (le due righe sono uguali): $\operatorname{Ker}\varphi = \langle (1, -1) \rangle$ . Controllo: $\varphi((1, -1), y) = (1 - 1)(y_1 + y_2) = 0$ per ogni $y$ ✓.

Definizione. Una forma bilineare simmetrica $\varphi$ è

definita positiva se $\varphi(v, v) > 0$ per ogni $v \ne 0$ ;

semidefinita positiva se $\varphi(v, v) \ge 0$ per ogni $v$ (ma si annulla su qualche $v \ne 0$ );

definita negativa se $\varphi(v, v) < 0$ per ogni $v \ne 0$ ;

semidefinita negativa se $\varphi(v, v) \le 0$ per ogni $v$ (ma si annulla su qualche $v \ne 0$ );

indefinita se assume sia valori positivi sia valori negativi.

Esempio. Su $\mathbb{R}^2$ : $q = x^2 + y^2$ è definita positiva; $q = x^2$ è semidefinita positiva (si annulla su $(0,1)$ ); $q = x^2 - y^2$ è indefinita.

Grafico interattivo: Insiemi q = 1: x₁² + x₂² = 1 (definita positiva) è una circonferenza, x₁² − x₂² = 1 (indefinita) è un'iperbole; le rette x₂ = ±x₁ (q = 0) sono le direzioni isotrope, come (1, 1)

Segno di una forma bilineare simmetrica

Teorema (Sylvester). Per ogni forma bilineare simmetrica reale esiste una base in cui la matrice è $\operatorname{diag}(\underbrace{1, \dots, 1}_{p}, \underbrace{-1, \dots, -1}_{r}, \underbrace{0, \dots, 0}_{n - p - r}),$ e i numeri $p$ e $r$ sono gli stessi in qualunque base che renda la matrice diagonale.

Esempio. $q(x,y) = x^2 - y^2$ ha già matrice $\operatorname{diag}(1, -1)$ : la segnatura è $(p, r) = (1, 1)$ e il rango è $p + r = 2$ .

Criterio dei minori principali. Sia $A$ simmetrica.

$\varphi$ è definita positiva $\iff D_1 > 0, D_2 > 0, \dots, D_n > 0$ .

$\varphi$ è definita negativa $\iff D_1 < 0, D_2 > 0, D_3 < 0, \dots$ , cioè $(-1)^k D_k > 0$ per ogni $k$ (segni alterni, partendo da $-$ ).

Se $\det A \ne 0$ e non si è in nessuno dei due casi precedenti, $\varphi$ è indefinita.

Se $\det A = 0$ la forma è degenere e il criterio non basta: usare un altro metodo.

Esempio 1 (stessa matrice del metodo 2): $D_1 = 2$ , $D_2 = 2 \cdot 2 - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3$ , $D_3 = \det A = 2 \cdot (4 - 1) - (-1) \cdot (-2 - 0) + 0 = 6 - 2 = 4$ (Laplace lungo la prima riga). Tutti positivi: definita positiva ✓. I valori diagonali dopo Gram-Schmidt sono $d_1 = \frac{D_1}{D_0} = 2$ , $d_2 = \frac{D_2}{D_1} = \frac32$ , $d_3 = \frac{D_3}{D_2} = \frac43$ .

Teorema spettrale e forme quadratiche

Definizione. Una funzione lineare $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ è simmetrica se $f(v) \cdot w = v \cdot f(w) \qquad \text{per ogni } v, w \in \mathbb{R}^n .$

Esempio. $f(x,y) = (2x + y,\ x + 2y)$ è simmetrica: $f(v) \cdot w = (2v_1 + v_2)\, w_1 + (v_1 + 2v_2)\, w_2 = 2v_1 w_1 + v_2 w_1 + v_1 w_2 + 2 v_2 w_2$ , e $v \cdot f(w) = v_1 (2w_1 + w_2) + v_2 (w_1 + 2w_2)$ dà gli stessi quattro termini.

Teorema spettrale. Sia $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ lineare. Sono equivalenti:

$f$ è simmetrica;

esiste una base ortonormale di $\mathbb{R}^n$ formata da autovettori di $f$ .

In termini di matrici: $A \in M_n(\mathbb{R})$ è simmetrica se e solo se esiste una matrice ortogonale $P$ ( $P^T P = I$ ) tale che $P^T A P = P^{-1} A P = D \quad \text{diagonale}.$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ è simmetrica: $P = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ è ortogonale e $P^T A P = \operatorname{diag}(3, 1)$ . Da dove viene: $\det(A - xI) = (2 - x)^2 - 1 = (x - 3)(x - 1)$ ; per $\lambda = 3$ , $A - 3I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ dà $x = y$ , autovettore $(1, 1)$ ; per $\lambda = 1$ , $A - I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dà $x = -y$ , autovettore $(1, -1)$ . I due sono ortogonali e hanno norma $\sqrt2$ : divisi per $\sqrt2$ sono le colonne di $P$ .

Definizione. Una forma quadratica su $\mathbb{R}^n$ è un polinomio omogeneo di grado $2$ nelle variabili $x_1, \dots, x_n$ : $q(x) = \sum_{i \le j} c_{ij}\, x_i x_j .$

Esempio. $q(x,y) = x^2 + 4xy + 3y^2$ si scrive $x^T A x$ con $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ : il coefficiente $4$ del termine misto si divide a metà.

VIII. Geometria affine

Spazi affini, rette e piani

Definizione. Lo spazio affine reale $n$ -dimensionale $\mathbb{A}^n = \mathbb{A}^n_{\mathbb{R}}$ è l'insieme $\mathbb{R}^n$ i cui elementi si chiamano punti, insieme allo spazio vettoriale $\mathbb{R}^n$ e alle due operazioni:

punto più vettore: $P + v$ è il punto ottenuto spostando $P$ del vettore $v$ (componente per componente);

punto meno punto: $Q - P$ è l'unico vettore $v$ tale che $P + v = Q$ , cioè il vettore che va da $P$ a $Q$ , scritto anche $\overrightarrow{PQ}$ .

Esempio. $P = (1, 2, 0)$ , $Q = (4, 0, 1)$ : $\overrightarrow{PQ} = Q - P = (4 - 1, \ 0 - 2, \ 1 - 0) = (3, -2, 1)$ e infatti $P + (3, -2, 1) = (1 + 3, \ 2 - 2, \ 0 + 1) = (4, 0, 1) = Q$ . È lo stesso vettore "spostamento" usato in fisica per la posizione relativa di due punti (Vettori - componenti, somma e modulo, Fisica Generale 1).

Definizione. Un sottospazio affine di $\mathbb{A}^n$ è un insieme della forma $L = P + W = \{ P + w : w \in W \},$ con $P$ un punto e $W$ un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^n$ , detto spazio direttore (o giacitura) di $L$ . La dimensione di $L$ è $\dim W$ (la Dimensione dello spazio vettoriale $W$ , cioè il numero di vettori di una sua base).

Esempio. In $\mathbb{A}^2$ la retta $L = (1,0) + \langle (1,1) \rangle = \{(1 + t, t)\}$ ha spazio direttore $\langle (1,1) \rangle$ e dimensione $1$ . Le sue coordinate soddisfano $x - y = 1$ , cioè $y = x - 1$ : è la retta per l'origine $W: y = x$ traslata del vettore $P = (1, 0)$ . Non passa per l'origine ( $0 - 0 \ne 1$ ), quindi non è un sottospazio vettoriale.

Grafico interattivo: Sottospazio affine L = (1, 0) + ⟨(1, 1)⟩, cioè y = x − 1, e il suo spazio direttore W = ⟨(1, 1)⟩, cioè y = x: L è W traslato del vettore P = (1, 0)

Teorema. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile $AX = B$ in $n$ incognite è un sottospazio affine di $\mathbb{A}^n$ con spazio direttore $W = \operatorname{Ker} A$ e dimensione $n - \operatorname{rango}(A)$ . Viceversa ogni sottospazio affine si può descrivere così.

Esempio. $x + y = 2$ in $\mathbb{A}^2$ : $A = (1 \ \ 1)$ , una soluzione è $(1, 1)$ , il nucleo è $\{x + y = 0\} = \langle (1, -1) \rangle$ , quindi le soluzioni sono $(1,1) + \langle (1,-1) \rangle$ , una retta affine con $W = \operatorname{Ker} A$ di dimensione $2 - 1 = 1$ .

Distanze e angoli nello spazio affine

Definizione. $d(Q, L) = \min\{ d(Q, X) : X \in L \}$ : la distanza dal punto di $L$ più vicino.

Esempio. $Q = (0,3)$ e $L$ la retta $y = 0$ di $\mathbb{A}^2$ : il punto di $L$ più vicino è $H = (0,0)$ e $d(Q, L) = 3$ .

Teorema. Sia $L = P + W$ . Esiste un unico punto $H \in L$ tale che $Q - H \in W^\perp$ (cioè $Q - H$ è ortogonale a tutte le direzioni di $L$ ). È il punto di $L$ più vicino a $Q$ , e $d(Q, L) = \|Q - H\|$ . $H$ si chiama proiezione ortogonale di $Q$ su $L$ (o piede della perpendicolare).

Esempio: punto e retta. $Q = (1, 2, 3)$ , $r: X = t(1, 1, 1)$ . Allora $Q - X = (1 - t, 2 - t, 3 - t)$ e

Teorema. Se $\pi: a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = b$ e $a = (a_1, \dots, a_n)$ , allora $d(Q, \pi) = \frac{|a \cdot Q - b|}{\|a\|}, \qquad H = Q - \frac{a \cdot Q - b}{\|a\|^2}\, a .$

Esempio. $Q = (1, 1, 1)$ , $\pi: x + 2y + 2z = 1$ :

Grafico interattivo: Q = (3, 3) e la retta x + 2y = 2: distanza 7/√5, piede della perpendicolare H = (8/5, 1/5), simmetrico Q′ = 2H − Q = (1/5, −13/5); R = (−1, 0) dà segno negativo ed è nell'altro semipiano

Fasci di piani

Teorema. I piani che contengono $r$ sono tutti e soli i piani di equazione $\lambda f_1 + \mu f_2 = 0, \qquad (\lambda, \mu) \ne (0, 0),$ cioè $(\lambda a_1 + \mu a_2) x + (\lambda b_1 + \mu b_2) y + (\lambda c_1 + \mu c_2) z + (\lambda d_1 + \mu d_2) = 0$ . L'insieme di questi piani si chiama fascio di piani di asse (o sostegno) $r$ .

Esempio. La retta $r$ di equazioni $x = 0$ , $y = 0$ (l'asse $z$ ) ha il fascio $\lambda x + \mu y = 0$ : contiene $x = 0$ ( $\mu = 0$ ), $y = 0$ ( $\lambda = 0$ ) e $x + y = 0$ ( $\lambda = \mu = 1$ ). Sono i piani "verticali" che ruotano attorno all'asse $z$ , come le pagine di un libro aperto attorno alla costola.

Grafico interattivo: L'analogo nel piano: il fascio di rette per il punto (1, 1), λ(x + y − 2) + μ(x − y) = 0. Con (λ, μ) = (1, 0) si ha x + y = 2, con (0, 1) x = y, con (1, 1) x = 1, con (1, −1) y = 1, con (1, 2) 3x − y = 2

Prodotto vettoriale e prodotto misto

Definizione. Se $v, w$ sono indipendenti, il prodotto vettoriale $v \times w$ è l'unico vettore tale che

$v \times w$ è ortogonale sia a $v$ sia a $w$ (direzione);

$\|v \times w\|$ è l'area del parallelogramma di lati $v$ e $w$ , cioè $\|v\|\,\|w\| \sin\theta$ con $\theta$ l'angolo tra $v$ e $w$ (lunghezza);

la matrice con colonne $v$ , $w$ , $v \times w$ ha determinante positivo, cioè $\{v, w, v \times w\}$ è orientata come $\{e_1, e_2, e_3\}$ (verso: regola della mano destra).

Se $v, w$ sono dipendenti si pone $v \times w = \vec 0$ (il parallelogramma è schiacciato e ha area $0$ ).

Esempio. $e_1 \times e_2 = e_3$ : $e_3$ è ortogonale a $e_1$ e $e_2$ , ha norma $1$ (l'area del quadrato unitario) e la matrice con colonne $e_1, e_2, e_3$ è $I_3$ , con determinante $1 > 0$ . Con la formula qui sotto: $(1,2,3) \times (0,1,0) = (2\cdot 0 - 3\cdot 1,\ 3\cdot 0 - 1\cdot 0,\ 1\cdot 1 - 2\cdot 0) = (-3, 0, 1)$ .

Grafico interattivo: Un caso che si disegna nel piano: v = (3, 1, 0) e w = (1, 2, 0) stanno nel piano z = 0. Il parallelogramma che formano ha area |3 · 2 − 1 · 1| = 5, e v × w = (0, 0, 5) è verticale (esce dal foglio verso chi guarda) con norma 5; l'altezza h = ‖w‖ sin θ è la distanza di w dalla retta di v

Definizione. Il prodotto misto di $u, v, w \in \mathbb{R}^3$ è il numero $u \cdot (v \times w) = \det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.$

Esempio. $u = (1,0,0)$ , $v = (0,2,0)$ , $w = (0,0,3)$ : $v \times w = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, \ 0 \cdot 0 - 0 \cdot 3, \ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = (6, 0, 0)$ e $u \cdot (v \times w) = 6 = \det\operatorname{diag}(1,2,3)$ (il determinante di una matrice diagonale è il prodotto della diagonale), il volume del parallelepipedo, che qui è una scatola di lati $1, 2, 3$ .

Coniche e quadriche

Definizione. Una conica del piano affine $\mathbb{A}^2$ è l'insieme dei punti $(x, y)$ che soddisfano un'equazione di secondo grado $a_{11} x^2 + 2a_{12} xy + a_{22} y^2 + 2a_{13} x + 2a_{23} y + a_{33} = 0,$ con $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ non tutti nulli.

Esempio. $x^2 + y^2 - 4 = 0$ è una conica (con $a_{11} = a_{22} = 1$ e $a_{33} = -4$ ): la circonferenza di centro l'origine e raggio $2$ .

Teorema. Ogni conica, con un cambio di coordinate fatto da una rotazione e una traslazione (che conservano distanze e angoli), si porta in una delle forme canoniche della tabella.

Esempio. L'equazione $xy = 1$ , con la rotazione di $45^\circ$ ( $x = \frac{x' - y'}{\sqrt{2}}$ , $y = \frac{x' + y'}{\sqrt{2}}$ ), diventa $\frac{x'^2}{2} - \frac{y'^2}{2} = 1$ : un'iperbole. Il conto: $xy = \frac{(x' - y')(x' + y')}{2} = \frac{x'^2 - y'^2}{2}$ (prodotto notevole). La sostituzione è $\binom{x}{y} = P\binom{x'}{y'}$ con $P = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{pmatrix}$ , la matrice di rotazione di $45^\circ$ : le sue colonne $\frac{1}{\sqrt2}(1, 1)$ e $\frac{1}{\sqrt2}(-1, 1)$ sono gli autovettori normalizzati di $A = \begin{pmatrix} 0 & \frac12 \\ \frac12 & 0 \end{pmatrix}$ , con autovalori $\frac12$ e $-\frac12$ . Qui $a^2 = b^2 = 2$ : iperbole equilatera, vertici in $x' = \pm\sqrt2$ , cioè nei punti $(1, 1)$ e $(-1, -1)$ , fuochi a distanza $c = \sqrt{2 + 2} = 2$ dal centro lungo la bisettrice, cioè $\pm(\sqrt2, \sqrt2)$ , e asintoti $y' = \pm x'$ , che nelle coordinate di partenza sono gli assi $x = 0$ e $y = 0$ .

Grafico interattivo: L'iperbole xy = 1: gli assi ruotati di 45° (y = x e y = −x) sono i suoi assi di simmetria, gli asintoti sono gli assi coordinati; vertici (1, 1) e (−1, −1), fuochi ±(√2, √2)