Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi

Lezione 8 (videolezione n. 8) e primo esercizio di quasi tutti i temi d'esame. Prerequisiti: DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →, Formula di Grassmann e somma direttaFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta →. Esercizi svolti: Esercizio 8 · base, equazioni cartesiane, intersezione e somma in R4, Esercizio 9 · base, coordinate e somma diretta in R4, Esercizio 10 · sottospazio con un parametro, intersezione e somma.

Un sottospazio $U \subseteq K^n$ si può conoscere in due forme, e quasi ogni domanda d'esame chiede di passare dall'una all'altra:

Lo stesso schema in piccolo, in $\mathbb{R}^2$

Prima dell'esempio in $\mathbb{R}^4$, i passi in un caso che si può disegnare. Sia $U = \langle (2, 3) \rangle$ e $W : x + y = 0$.

• Equazione cartesiana di $U$: $(x, y) = t(2, 3)$ dà $x = 2t$, $y = 3t$; dalla prima $t = \frac x2$, nella seconda $y = \frac32 x$, cioè $3x - 2y = 0$. È $2 - 1 = 1$ equazione, e $(2, 3)$ la soddisfa ($6 - 6 = 0$).
• Base di $W$: $y = -x$ con $x$ libera; con $x = 1$ si ha la base $(1, -1)$, $\dim W = 1$.
• Intersezione: a sistema $3x - 2y = 0$ e $x + y = 0$. Dalla seconda $y = -x$, nella prima $3x + 2x = 5x = 0$: $x = 0$, $y = 0$. Quindi $U \cap W = \{\vec 0\}$.
• Somma: Grassmann dà $\dim(U + W) = 1 + 1 - 0 = 2$, quindi $U + W = \mathbb{R}^2$ e la somma è diretta.

L'esempio guida

Esempio guida per tutta la nota: $U = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ con $u_1 = (1, 1, 0, 1)$, $u_2 = (2, 1, 1, 0)$, $u_3 = (3, 2, 1, 1)$, e $W : x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0$.

Passo 1. Dai generatori a una base

Si scrivono i generatori come righe di una matrice e la si riduce a scala con l'Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss → (operazioni: scambiare due righe, moltiplicare una riga per un numero $\ne 0$, sommare a una riga un multiplo di un'altra).

Perché funziona. Le operazioni sulle righe non cambiano il sottospazio generato dalle righe: se si sostituisce $R_2$ con $R_2 + c R_1$, la nuova riga è combinazione delle vecchie, e la vecchia si riottiene come $(R_2 + cR_1) - cR_1$. Quindi le righe prima e dopo generano lo stesso sottospazio. Alla fine le righe non nulle della matrice a scala sono indipendenti (ciascuna ha il primo elemento non nullo in una colonna dove le righe sotto hanno zero) e formano una base. Il loro numero è la dimensione.

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow[R_3 \to R_3 - 3R_1]{R_2 \to R_2 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Nel primo passaggio si annulla la prima colonna sotto il pivot $1$: $R_2 - 2R_1 = (2 - 2, 1 - 2, 1 - 0, 0 - 2) = (0, -1, 1, -2)$ e $R_3 - 3R_1 = (3 - 3, 2 - 3, 1 - 0, 1 - 3) = (0, -1, 1, -2)$. Nel secondo si annulla la seconda colonna sotto il pivot $-1$: $R_3 - R_2 = (0, 0, 0, 0)$.

Due righe non nulle: $\dim U = 2$. Che siano indipendenti si vede subito: $a(1, 1, 0, 1) + b(0, -1, 1, -2) = (a, a - b, b, a - 2b) = \vec 0$ dà $a = 0$ dalla prima componente e $b = 0$ dalla terza. Una base è $(1, 1, 0, 1), (0, -1, 1, -2)$; oppure, visto che lo scambio di righe non è servito e la riga nulla viene da $u_3$, anche $u_1, u_2$ (si vede che $u_3 = u_1 + u_2$).

Se servono i generatori originali o una relazione di dipendenza (per esempio "$u_3 = u_1 + u_2$"), si risolve il sistema $a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 = \vec 0$ come in Combinazioni lineari e dipendenza lineareUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →, oppure si tiene traccia delle operazioni fatte: qui la terza riga si è annullata con $R_3 - 3R_1 - (R_2 - 2R_1) = R_3 - R_2 - R_1$, cioè $u_3 - u_2 - u_1 = \vec 0$.

Passo 2. Dalle equazioni a una base

Si risolve il sistema omogeneo: si ricavano alcune incognite in funzione delle altre, che restano libere. La dimensione è il numero di incognite libereIn un sistema omogeneo ogni incognita libera dà un vettore di base: si pone quella incognita uguale a 1 e le altre libere uguali a 0.Dimensione →; una base si trova ponendo una incognita libera uguale a $1$ e le altre libere uguali a $0$.

Per $W$: $x_1 = -x_2 - x_3 - x_4$ con $x_2, x_3, x_4$ libere, quindi $\dim W = 3$ e una base è

$$(-1, 1, 0, 0), \quad (-1, 0, 1, 0), \quad (-1, 0, 0, 1).$$

(Con $x_2 = 1$, $x_3 = x_4 = 0$ si ha $x_1 = -1$, e così via per le altre due.)

Controllo: in $K^n$, un sottospazio descritto da $k$ equazioni indipendenti ha dimensione $n - k$ (è il conto delle incognite libere; il caso generale è il teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →). Qui $4 - 1 = 3$ ✓.

Passo 3. Da una base alle equazioni cartesiane

1. Si scrive il vettore generico di $U$ come combinazione della base con parametri: le equazioni parametriche.
2. Si eliminano i parametri: le relazioni che restano tra $x_1, \dots, x_n$ sono le equazioni cartesiane.
3. Il numero di equazioni (indipendenti) deve essere $n - \dim U$.

Per $U$ con base $u_1, u_2$:

$$(x_1, x_2, x_3, x_4) = a(1, 1, 0, 1) + b(2, 1, 1, 0) \iff \begin{cases} x_1 = a + 2b \\ x_2 = a + b \\ x_3 = b \\ x_4 = a \end{cases}$$

Le ultime due danno subito i parametri: $b = x_3$, $a = x_4$. Sostituendo nelle prime due: $x_1 = a + 2b = x_4 + 2x_3$ e $x_2 = a + b = x_4 + x_3$; portando tutto a sinistra,

$$U : \begin{cases} x_1 - 2x_3 - x_4 = 0 \\ x_2 - x_3 - x_4 = 0 \end{cases}$$

Sono $4 - 2 = 2$ equazioni ✓, e sono indipendenti ($x_1$ compare solo nella prima, $x_2$ solo nella seconda).

Perché descrivono proprio $U$ e non un sottospazio più grande. Ogni vettore di $U$ le soddisfa (ci si è arrivati partendo da un vettore generico di $U$). Viceversa le soluzioni del sistema hanno $x_3, x_4$ libere, quindi formano un sottospazio di dimensione $2$ che contiene $U$; avendo la stessa dimensione di $U$, coincide con $U$ (conseguenza in DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →). Verifica: i vettori della base devono soddisfarle. $u_1$: $1 - 0 - 1 = 0$, $1 - 0 - 1 = 0$ ✓; $u_2$: $2 - 2 - 0 = 0$, $1 - 1 - 0 = 0$ ✓.

Consiglio: conviene cercare equazioni parametriche in cui qualche coordinata è un parametro (come $x_3 = b$, $x_4 = a$): l'eliminazione diventa una semplice sostituzione. Se non succede, si ricava un parametro da un'equazione e lo si sostituisce nelle altre.

Passo 4. Intersezione

Dipende da come sono dati i due sottospazi.

Nell'esempio, a sistema:

$$\begin{cases} x_1 - 2x_3 - x_4 = 0 \\ x_2 - x_3 - x_4 = 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \end{cases}$$

Dalle prime due $x_1 = 2x_3 + x_4$, $x_2 = x_3 + x_4$; nella terza $(2x_3 + x_4) + (x_3 + x_4) + x_3 + x_4 = 4x_3 + 3x_4 = 0$, cioè $x_3 = -\frac34 x_4$. Resta libera solo $x_4$: $\dim(U \cap W) = 1$. Con $x_4 = 4$ (per evitare frazioni): $x_3 = -3$, $x_1 = -6 + 4 = -2$, $x_2 = -3 + 4 = 1$. Base di $U \cap W$: $(-2, 1, -3, 4)$.

Verifica: $(-2, 1, -3, 4)$ soddisfa le tre equazioni ($-2 + 6 - 4 = 0$, $1 + 3 - 4 = 0$, $-2 + 1 - 3 + 4 = 0$) ✓.

Stesso risultato con il secondo metodo della tabella (generatori di $U$, equazione di $W$). Il vettore generico di $U$ è $a u_1 + b u_2 = (a + 2b, a + b, b, a)$; sostituito nell'equazione di $W$ dà $(a + 2b) + (a + b) + b + a = 3a + 4b = 0$. Con $a = 4$, $b = -3$ (di nuovo per evitare frazioni): $4(1, 1, 0, 1) - 3(2, 1, 1, 0) = (4 - 6, 4 - 3, 0 - 3, 4 - 0) = (-2, 1, -3, 4)$ ✓. Una sola condizione su due parametri lascia un parametro libero: $\dim(U \cap W) = 1$.

Passo 5. Somma

La somma è generata dall'unione dei generatori: $U + W = \langle u_1, u_2, w_1, w_2, w_3 \rangle$; poi si estrae una base (passo 1). Ma quasi sempre conviene la formula di Grassmanndim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W).Formula di Grassmann e somma diretta →:

$$\dim(U + W) = 2 + 3 - 1 = 4 = \dim \mathbb{R}^4,$$

quindi $U + W = \mathbb{R}^4$ (un sottospazio di dimensione $4$ in uno spazio di dimensione $4$ è tutto lo spazio, per DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →) e una base è la base canonica. Controllo senza Grassmann: $u_1 = (1, 1, 0, 1)$ non sta in $W$ ($1 + 1 + 0 + 1 = 3 \ne 0$), quindi $U + W$ contiene propriamente $W$ e ha dimensione $> 3$, cioè $4$. Se invece $\dim(U + W) < n$, si prendono una base di $U$ e si aggiungono vettori di $W$ finché si arriva a $\dim(U + W)$ vettori indipendenti.

Controlli da fare sempre

• La dimensione trovata con le equazioni ($n -$ numero di equazioni indipendenti) coincide con quella trovata con i generatori.
• I vettori di base soddisfano le equazioni cartesiane.
• Il vettore trovato per l'intersezione soddisfa le equazioni di entrambi i sottospazi.
• $\dim(U \cap W) \le \min(\dim U, \dim W)$ e $\dim(U + W) \le n$.

Errori comuni

• Mettere a sistema le equazioni per trovare la somma: a sistema si ottiene l'intersezione.
• Unire le basi per trovare l'intersezione: unendo le basi si genera la somma.
• Dimenticare di estrarre una base dall'unione dei generatori: i generatori uniti sono spesso dipendenti (lo sono sicuramente se l'intersezione non è nulla).
• Prendere come base dell'intersezione il vettore nullo: se l'unica soluzione è $\vec 0$, l'intersezione ha dimensione $0$ e base vuota.