Esercizio 81base ortogonale, U⊥, proiezione e un sottospazio impossibile

---

(a) Base ortogonale di $U$

$u_1$ e $u_2$ non sono proporzionali (basta guardare le prime due componenti: $(1, 0)$ e $(0, 1)$), e due vettori non proporzionali sono linearmente indipendentiDue vettori sono dipendenti se e solo se uno è multiplo dell'altro.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →: generano $U$ e sono indipendenti, quindi sono una base di $U$ e $\dim U = 2$. Sono ortogonali?

$$u_1 \cdot u_2 = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot (-4) + (-2) \cdot 5 = -8 - 10 = -18 \ne 0 .$$

No. Si applica Gram-SchmidtSi tiene u₁ e si sostituisce u₂ con u₂ + αu₁, scegliendo α in modo che il nuovo vettore sia ortogonale a u₁.Basi ortonormali e Gram-Schmidt →: $u_1' = u_1$, $u_2' = u_2 + \alpha u_1$ con

$$\alpha = -\frac{u_1 \cdot u_2}{u_1 \cdot u_1} = -\frac{-18}{1 + 0 + 4 + 4} = \frac{18}{9} = 2 .$$

$$u_2' = (0, 1, -4, 5) + 2(1, 0, 2, -2) = (0 + 2,\ 1 + 0,\ -4 + 4,\ 5 - 4) = (2, 1, 0, 1).$$

$u_2'$ è combinazione di $u_1$ e $u_2$, quindi sta in $U$; e $\{u_1, u_2'\}$ genera ancora $U$, perché da $u_2' = u_2 + 2u_1$ si riottiene $u_2 = u_2' - 2u_1$.

Controllo: $u_1 \cdot u_2' = 2 + 0 + 0 - 2 = 0$ ✓.

Risultato (a): $\{u_1', u_2'\} = \{(1, 0, 2, -2),\ (2, 1, 0, 1)\}$.

---

(b) Equazioni e base di $U^\perp$

Un vettore $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)$ sta in $U^\perp$ se e solo se è ortogonale ai vettori di una base di $U$ (basta controllare la baseSe x è ortogonale a ogni vettore di una base di U, allora è ortogonale a ogni loro combinazione lineare, cioè a tutto U.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali →). Usando la base ortogonale appena trovata (va bene qualunque base, ma questa ha numeri piccoli):

$$U^\perp: \begin{cases} x_1 + 2x_3 - 2x_4 = 0 & (x \cdot u_1' = 0) \\ 2x_1 + x_2 + x_4 = 0 & (x \cdot u_2' = 0) \end{cases}$$

Base. Le righe dei coefficienti $(1, 0, 2, -2)$ e $(2, 1, 0, 1)$ non sono proporzionali: il sistema ha rango $2$ e, per Rouché-CapelliUn sistema omogeneo in n incognite con matrice di rango r ha come soluzioni un sottospazio di dimensione n − r.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →, $\dim U^\perp = 4 - 2 = 2$ (coerente con $\dim U + \dim U^\perp = 4$). Si tengono liberi $x_1$ e $x_4$:

• dalla seconda: $x_2 = -2x_1 - x_4$;
• dalla prima: $2x_3 = -x_1 + 2x_4$, cioè $x_3 = -\frac12 x_1 + x_4$.

Ponendo $(x_1, x_4) = (2, 0)$ (il $2$ evita la frazione): $x_2 = -4$, $x_3 = -1$, cioè $(2, -4, -1, 0)$; ponendo $(x_1, x_4) = (0, 1)$: $x_2 = -1$, $x_3 = 1$, cioè $(0, -1, 1, 1)$.

Risultato (b): una base di $U^\perp$ è $\{(2, -4, -1, 0),\ (0, -1, 1, 1)\}$.

Controllo: $(2, -4, -1, 0) \cdot u_1 = 2 - 2 = 0$ ✓, $\cdot\, u_2 = -4 + 4 = 0$ ✓; $(0, -1, 1, 1) \cdot u_1 = 2 - 2 = 0$ ✓, $\cdot\, u_2 = -1 - 4 + 5 = 0$ ✓.

---

(c) Proiezione di $v$ su $U$

Avendo una base ortogonale di $U$, la proiezione si calcola direttamente con la formula

$$p_U(v) = \frac{v \cdot u_1'}{u_1' \cdot u_1'}\, u_1' + \frac{v \cdot u_2'}{u_2' \cdot u_2'}\, u_2' ,$$

che vale solo se $u_1' \perp u_2'$ (è il motivo per cui il punto (a) viene prima). Il perché: si cerca $p_U(v) = c_1 u_1' + c_2 u_2'$ con $v - p_U(v)$ ortogonale a $u_1'$; moltiplicando scalarmente per $u_1'$ si ottiene $v \cdot u_1' - c_1 (u_1' \cdot u_1') - c_2 (u_2' \cdot u_1') = 0$, e il termine con $c_2$ sparisce proprio perché $u_2' \cdot u_1' = 0$. Resta $c_1 = \frac{v \cdot u_1'}{u_1' \cdot u_1'}$, e allo stesso modo per $c_2$ (Complemento ortogonale e proiezioni ortogonaliL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali →).

• $v \cdot u_1' = (-1) \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 4 \cdot (-2) = -1 - 8 = -9$, $\ u_1' \cdot u_1' = 1 + 0 + 4 + 4 = 9$: coefficiente $-1$;
• $v \cdot u_2' = -2 + 4 + 0 + 4 = 6$, $\ u_2' \cdot u_2' = 4 + 1 + 0 + 1 = 6$: coefficiente $1$.

$$p_U(v) = -u_1' + u_2' = (-1, 0, -2, 2) + (2, 1, 0, 1) = (1, 1, -2, 3).$$

Controllo (il metodo del prof, che non richiede la base ortogonale): $v - p_U(v) = (-2, 3, 2, 1)$ deve stare in $U^\perp$. Equazioni: $-2 + 4 - 2 = 0$ ✓ e $-4 + 3 + 1 = 0$ ✓.

Risultato (c): $p_U(v) = (1, 1, -2, 3)$.

---

(d) Esiste $W$ con $p_W(v) = (1, 1, -2, 0)$?

Se $w$ fosse la proiezione di $v$ su un certo $W$, si avrebbe $v = w + w''$ con $w \in W$ e $w'' = v - w \in W^\perp$. In particolare $w''$ dovrebbe essere ortogonale a $w$ (perché $w \in W$). È una condizione necessaria che non dipende da chi sia $W$: controlliamola.

$$w'' = v - w = (-1 - 1,\ 4 - 1,\ 0 + 2,\ 4 - 0) = (-2, 3, 2, 4),$$ $$w \cdot w'' = -2 + 3 - 4 + 0 = -3 \ne 0 .$$

La condizione fallisce, quindi nessun sottospazio $W$ ha $w$ come proiezione di $v$.

Il significato geometrico: la proiezione $w$, il vettore $v$ e l'origine formano un triangolo rettangolo con l'angolo retto in $w$ (il "cateto" $w$ e il "cateto" $v - w$ sono perpendicolari). Qui l'angolo in $w$ non è retto.

I vettori $v$ e $w$ stanno in $\mathbb{R}^4$, ma il triangolo di vertici $0$, $w$, $v$ sta nel piano $\langle v, w \rangle$ e si può disegnare. Si usa come primo asse la direzione di $w$ ($\|w\| = \sqrt{1 + 1 + 4 + 0} = \sqrt6 \approx 2{,}45$); la componente di $v$ lungo $w$ è $\frac{v \cdot w}{\|w\|} = \frac{3}{\sqrt6} \approx 1{,}22$ e quella perpendicolare è $\sqrt{\|v\|^2 - \frac{9}{6}} = \sqrt{33 - 1{,}5} \approx 5{,}61$ (Pitagora, con $\|v\|^2 = 1 + 16 + 0 + 16 = 33$).

(Il disegno mostra il caso di $W = \langle w \rangle$; per un $W$ qualsiasi la condizione $w \perp (v - w)$ è la stessa, ed è quella che fallisce.)

(Il viceversa vale: se fosse $w \cdot (v - w) = 0$ con $w \ne 0$, basterebbe prendere $W = \langle w \rangle$.)

---

Errori comuni

• Usare la formula $\sum \frac{v \cdot u_i}{u_i \cdot u_i} u_i$ con una base non ortogonale: con $u_1, u_2$ originali darebbe un risultato sbagliato.
• Scrivere le equazioni di $U^\perp$ con le componenti di vettori che non generano $U$ (per esempio un solo vettore): servono tutti i vettori di una base di $U$.
• Nel punto (d) cercare $W$ per tentativi: basta la condizione necessaria $w \perp (v - w)$.