Algebra Lineare e Geometria
Formulario della materia 125 definizioni e teoremi in una pagina
Argomenti
ISpazi vettoriali
- Campi
- Spazi vettoriali
- Combinazioni lineari e dipendenza lineare
- Sottospazi vettoriali
- Intersezione, somma e sottospazio generato
- Generatori e basi
- Dimensione
- Formula di Grassmann e somma diretta
- Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi
Esercizi svolti
- Esercizio 1 · dipendenza lineare di vettori in R2 e R3
- Esercizio 2 · sin x, cos x ed ex sono linearmente indipendenti
- Esercizio 3 · quali sottoinsiemi di R2 sono sottospazi
- Esercizio 4 · generatori di R2 e di R3
- Esercizio 5 · estrarre e completare una base in R3
- Esercizio 6 · base di un piano dato da un'equazione
- Esercizio 8 · base, equazioni cartesiane, intersezione e somma in R4 Esame
- Esercizio 9 · base, coordinate e somma diretta in R4 Esame
- Esercizio 10 · sottospazio con un parametro, intersezione e somma Esame
- Esercizio 11 · domande teoriche su dimensione, somma e intersezione
IIFunzioni lineari e matrici
- Funzioni lineari e isomorfismi
- Coordinate rispetto a una base
- Nucleo e immagine
- Matrice associata a una funzione lineare
- Operazioni tra matrici
- Cambiamenti di base
Esercizi svolti
- Esercizio 7 · intersezione e somma con vettori dati in una base Esame
- Esercizio 20 · riconoscere le funzioni lineari
- Esercizio 21 · nucleo e immagine di una funzione da R3 a R2
- Esercizio 22 · nucleo, immagine, antimmagine e restrizione (compitino 12/4/2025) Esame
- Esercizio 23 · nucleo, immagine e antimmagine con un parametro (compitino 10/4/2026) Esame
- Esercizio 24 · nucleo, immagine e immagine di un sottospazio (appello 17/6/2025) Esame
- Esercizio 25 · intersezione tra nucleo e immagine (appello 14/6/2022) Esame
- Esercizio 26 · nucleo, immagine e matrice di una restrizione (appello 3/2/2026) Esame
- Esercizio 27 · la stessa funzione in tre coppie di basi (lezioni 13 e 15)
- Esercizio 28 · matrice rispetto a una base non canonica (appello 8/7/2025) Esame
- Esercizio 29 · domande teoriche su nucleo, immagine e indipendenza lineare
- Esercizio 71 · la base v, f(v), f²(v) e una matrice simile (appello 7/2/2023) Esame
IIISistemi lineari
Esercizi svolti
- Esercizio 40 · sistema omogeneo, non omogeneo e soluzioni come particolare più nucleo
- Esercizio 41 · sistema 4×4 con due parametri (compitino 2025) Esame
- Esercizio 42 · rango con parametro e condizione sui termini noti (compitino 2026) Esame
- Esercizio 43 · rango con parametro e sistemi incompatibili (compitino 2023) Esame
- Esercizio 44 · rango con parametro, righe e colonne, nucleo della trasposta (settembre 2023) Esame
- Esercizio 45 · matrice R tale che RA è a scala, nucleo, immagine e cambio di base Esame
- Esercizio 46 · inversa con Gauss-Jordan e una matrice non invertibile Esame
IVDeterminante
VAutovalori e diagonalizzazione
- Autovalori e autovettori
- Diagonalizzazione
- Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineari
- Forma canonica di Jordan
Esercizi svolti
- Esercizio 60 · autovalori di tre matrici 2×2
- Esercizio 61 · diagonalizzare una matrice 3×3 con autovalori 1, 2, 3
- Esercizio 62 · matrice 3×3 non diagonalizzabile
- Esercizio 63 · autovalori, nucleo e matrice simmetrica simile (giugno 2022) Esame
- Esercizio 64 · autovalori con parametro e matrici simili (2° appello 2024-25) Esame
- Esercizio 65 · diagonalizzabilità su R e su C e base ortonormale di autovettori (giugno 2025) Esame
- Esercizio 66 · determinante con parametro e matrice simmetrica 4×4 (febbraio 2026) Esame
- Esercizio 67 · autovalori con molteplicità al variare di t
- Esercizio 68 · endomorfismo dato da polinomio caratteristico e autovettori
- Esercizio 69 · diagonalizzabilità al variare di h e matrice P
- Esercizio 70 · sistema di equazioni differenziali con l'esponenziale di una matrice
- Esercizio 72 · diagonalizzabile per un solo valore di t e A per A trasposta (appello 5/7/2022) Esame
- Esercizio 73 · nucleo non nullo, diagonalizzazione e matrici con lo stesso polinomio caratteristico (appello 18/6/2024) Esame
VIProdotto scalare e ortogonalità
- Prodotto scalare, norma e angoli
- Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali
- Metodo dei minimi quadrati
- Basi ortonormali e Gram-Schmidt
Esercizi svolti
- Esercizio 80 · U⊥ da un'equazione, Gram-Schmidt e vettore di minima distanza Esame
- Esercizio 81 · base ortogonale, U⊥, proiezione e un sottospazio impossibile Esame
- Esercizio 82 · (Im f)⊥ = Ker f per una matrice simmetrica Esame
- Esercizio 83 · U da un sistema, U⊥, proiezioni su U e U⊥ Esame
- Esercizio 84 · prodotto scalare tra matrici con la traccia Esame
- Esercizio 85 · dimensione con parametro, U⊥ e vettore con proiezione assegnata Esame
- Esercizio 86 · angoli, aree e volumi con il prodotto scalare
- Esercizio 87 · retta dei minimi quadrati per quattro punti
VIIForme bilineari e teorema spettrale
VIIIGeometria affine
- Spazi affini, rette e piani
- Distanze e angoli nello spazio affine
- Fasci di piani
- Prodotto vettoriale e prodotto misto
- Coniche e quadriche
Esercizi svolti
- Esercizio 100 · un rettangolo nello spazio e il suo piano (appello 15/6/2021) Esame
- Esercizio 101 · distanza punto-piano e retta parallela a un piano (appello 2/9/2021) Esame
- Esercizio 102 · piani paralleli con parametro e retta intersezione (appello 14/6/2022) Esame
- Esercizio 103 · rette parallele, area di un triangolo e punto simmetrico (appello 7/2/2023) Esame
- Esercizio 104 · rette sghembe e perpendicolare comune (appello 17/6/2025) Esame
- Esercizio 105 · una stella di piani per un punto (appello 2/7/2021) Esame
- Esercizio 106 · retta parallela a un piano e intersezione di piani (appello 3/2/2026) Esame
- Esercizio 107 · punto di minima distanza da una retta (appello 8/7/2025) Esame
- Esercizio 108 · un sottospazio affine di A4 (appello 1/2/2022) Esame
- Esercizio 109 · riconoscere una conica e trovarne la forma canonica