Esercizio 4generatori di R2 e di R3

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Il metodo

Per la definizione di sistema di generatoriOgni vettore dello spazio deve potersi scrivere come combinazione lineare dei vettori dati.Generatori e basi → bisogna verificare che ogni vettore dello spazio sia combinazione lineare dei vettori dati. Si prende quindi un vettore generico, con componenti letterali ($v = (a, b)$ in $\mathbb{R}^2$), si impone $v = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots$ e si guarda se il sistema ha soluzione per ogni valore di $a, b, \dots$

Nel sistema:

• le incognite sono i coefficienti $\lambda_i$;
• $a, b, \dots$ sono parametri: possono valere qualsiasi cosa, e non vanno ricavati.

Non serve trovare la soluzione: basta sapere se esiste. (Nel linguaggio del capitolo sui sistemi: i vettori generano $K^m$ se e solo se il sistema con i vettori in colonna è risolubile per ogni termine noto, cioè se la matrice ha rango $m$; vedi Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →.)

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1. $(2, 1)$, $(0, 3)$, $(1, -1)$ in $\mathbb{R}^2$

$$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \lambda_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \iff \begin{cases} 2\lambda_1 + \lambda_3 = a \\ \lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = b \end{cases}$$

Due equazioni, tre incognite. Dalla prima $\lambda_3 = a - 2\lambda_1$; nella seconda

$$\lambda_1 + 3\lambda_2 - (a - 2\lambda_1) = b \iff 3\lambda_1 + 3\lambda_2 = a + b \iff \lambda_2 = \frac{a + b}{3} - \lambda_1$$

(si è tolta la parentesi cambiando i segni, si sono raccolti i termini in $\lambda_1$ e si è diviso per $3$).

Per ogni $(a, b)$ e per ogni scelta di $\lambda_1$ si trovano $\lambda_2$ e $\lambda_3$: il sistema ha sempre soluzione, anzi infinite (una per ogni $\lambda_1$).

Risposta: sì, generano $\mathbb{R}^2$, ma ogni vettore si scrive in infiniti modi. Per esempio $(a, b) = (1, 2)$: con $\lambda_1 = 0$ si ha $\lambda_2 = 1$, $\lambda_3 = 1$, cioè $(1, 2) = (0, 3) + (1, -1)$ ✓; con $\lambda_1 = 1$ si ha $\lambda_2 = 0$, $\lambda_3 = -1$, cioè $(1, 2) = (2, 1) - (1, -1)$ ✓.

Il motivo dell'infinità di scritture è che i tre vettori sono dipendenti (in $\mathbb{R}^2$ tre vettori lo sono sempre, per il lemma dello scambioI vettori indipendenti non sono mai più dei generatori: R^2 è generato da 2 vettori, quindi 3 vettori sono dipendenti.Generatori e basi →): non sono una base. La relazione di dipendenza si legge dalle due scritture di $(1, 2)$: sottraendole, $\vec 0 = (v_2 + v_3) - (v_1 - v_3) = -v_1 + v_2 + 2v_3$. Verifica: $-(2, 1) + (0, 3) + 2(1, -1) = (-2 + 0 + 2,\ -1 + 3 - 2) = (0, 0)$ ✓.

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2. $(1, 2)$, $(2, -3)$ in $\mathbb{R}^2$

$$\begin{cases} \lambda_1 + 2\lambda_2 = a \\ 2\lambda_1 - 3\lambda_2 = b \end{cases}$$

Dalla prima $\lambda_1 = a - 2\lambda_2$; nella seconda $2(a - 2\lambda_2) - 3\lambda_2 = 2a - 4\lambda_2 - 3\lambda_2 = b$, cioè $-7\lambda_2 = b - 2a$, quindi

$$\lambda_2 = \frac{2a - b}{7}, \qquad \lambda_1 = a - 2 \cdot \frac{2a - b}{7} = \frac{7a - 4a + 2b}{7} = \frac{3a + 2b}{7}.$$

C'è una soluzione per ogni $(a, b)$, ed è unica.

Risposta: sì, generano $\mathbb{R}^2$, e ogni vettore si scrive in un solo modo: i due vettori sono anche indipendenti, quindi sono una base di $\mathbb{R}^2$ (per il teorema delle coordinate unicheRispetto a una base ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base.Generatori e basi →).

Verifica su un esempio: $(a, b) = (1, 2)$ dà $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 0$: infatti $(1, 2) = 1 \cdot (1, 2) + 0 \cdot (2, -3)$ ✓. Con $(a, b) = (3, -1)$: $\lambda_1 = \frac{9 - 2}{7} = 1$, $\lambda_2 = \frac{6 + 1}{7} = 1$, cioè $(3, -1) = v_1 + v_2$ ✓ (è la diagonale del parallelogramma di lati $v_1$ e $v_2$).

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3. $(1, 2, -1)$, $(0, 3, 1)$ in $\mathbb{R}^3$

Vettore generico $(a, b, c)$:

$$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \iff \begin{cases} \lambda_1 = a \\ 2\lambda_1 + 3\lambda_2 = b \\ -\lambda_1 + \lambda_2 = c \end{cases}$$

Tre equazioni, due incognite. Dalla prima $\lambda_1 = a$; dalla terza $\lambda_2 = c + \lambda_1 = c + a$. Resta la seconda, in cui non c'è più nessuna incognita da ricavare: sostituendo

$$2\lambda_1 + 3\lambda_2 = 2a + 3(a + c) = 5a + 3c = b \iff b = 5a + 3c.$$

Questa è una condizione sui parametri: il sistema ha soluzione solo se $b = 5a + 3c$, non per ogni $(a, b, c)$. Per esempio $(1, 0, 0)$ non soddisfa la condizione ($0 \ne 5$), quindi non è combinazione di $v_1$ e $v_2$.

Risposta: no, non generano $\mathbb{R}^3$.

Interpretazione. $v_1$ e $v_2$ non sono paralleli, quindi $\langle v_1, v_2 \rangle$ è un piano per l'origine, e $b = 5a + 3c$ (cioè $5x - y + 3z = 0$) ne è l'equazione cartesianaSi ottiene eliminando i parametri dalle equazioni parametriche del sottospazio.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi →. Controllo: $v_1$ dà $5 - 2 - 3 = 0$ ✓, $v_2$ dà $0 - 3 + 3 = 0$ ✓. Un piano non è tutto lo spazio: due vettori non bastano mai a generare $\mathbb{R}^3$, che ha dimensione $3$ (vedi DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →).

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Riepilogo

Errori comuni

• Ricavare $a$ e $b$ come se fossero incognite: sono le componenti di un vettore qualsiasi.
• Provare con un vettore numerico e concludere "generano": va dimostrato per tutti i vettori.
• Credere che "generano" implichi "base": nel caso 1 generano ma sono troppi.