Esercizio 8base, equazioni cartesiane, intersezione e somma in R4

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(a) Completare $u_1$ a una base di $U$

Dimensione di $U$

Una equazione in 4 incognite: si ricava $x_1 = 2x_3 - x_4$, con $x_2, x_3, x_4$ libere. Quindi $\dim U = 3$In un sistema omogeneo la dimensione dello spazio delle soluzioni è il numero di incognite libere.Dimensione → (cioè $4 - 1$), e una base di $U$ ha 3 vettori.

Ponendo a turno una libera uguale a $1$ e le altre a $0$ si trova una base di $U$:

Scelta di $u_2, u_3$

$u_1$ sta in $U$ ($1 - 2 + 1 = 0$ ✓). Servono altri due vettori di $U$ che con $u_1$ formino 3 vettori indipendenti. Si provano i primi due della tabella: $u_2 = (0, 1, 0, 0)$, $u_3 = (2, 0, 1, 0)$, e si verifica:

$$\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec 0 \iff \begin{cases} \lambda_1 + 2\lambda_3 = 0 \\ \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ \lambda_1 + \lambda_3 = 0 \\ \lambda_1 = 0 \end{cases}$$

La quarta dà $\lambda_1 = 0$, la terza $\lambda_3 = 0$, la seconda $\lambda_2 = 0$: indipendenti.

Sono 3 vettori indipendenti in $U$, che ha dimensione 3: sono una base di $U$In uno spazio di dimensione n, n vettori indipendenti sono una base.Dimensione →.

$$u_2 = (0, 1, 0, 0), \qquad u_3 = (2, 0, 1, 0).$$

(Le scelte possibili sono infinite; va bene qualunque coppia di vettori di $U$ che superi la verifica.)

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(b) Base ed equazioni cartesiane di $W$

Base

I tre generatori sono indipendenti? Si risolve $a_1 w_1 + a_2 w_2 + a_3 w_3 = \vec 0$, oppure si riducono a scala le righe:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -2 & -2 \\ 2 & 4 & 6 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow[R_3 \to R_3 - 2R_1]{R_2 \to R_2 - R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 + \frac12 R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Conti: $R_2 - R_1 = (1 - 1,\ 2 - 2,\ -2 - 2,\ -2 - 0) = (0, 0, -4, -2)$ e $R_3 - 2R_1 = (2 - 2,\ 4 - 4,\ 6 - 4,\ 1 - 0) = (0, 0, 2, 1)$. Dopo il primo passo la seconda colonna è tutta nulla sotto il primo pivot, quindi il pivot successivo sta nella terza colonna ($-4$); la terza riga $(0, 0, 2, 1)$ è $-\frac12$ volte la seconda, e $R_3 + \frac12 R_2$ la annulla. Un'operazione del tipo "somma a una riga un multiplo di un'altra"È una delle tre operazioni elementari: non cambia il sottospazio generato dalle righe.Eliminazione di Gauss → è lecita anche con un coefficiente frazionario.

Due righe non nulle: $\dim W = 2$ (perché le righe non nulle della forma a scala danno una baseLe operazioni elementari sulle righe non cambiano il sottospazio generato dalle righe, e le righe non nulle di una matrice a scala sono indipendenti.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi →). Seguendo le operazioni, la terza riga si è annullata con $(R_3 - 2R_1) + \frac12 (R_2 - R_1) = R_3 + \frac12 R_2 - \frac52 R_1$; moltiplicando per $2$: $2w_3 + w_2 - 5w_1 = \vec 0$, cioè

$$5w_1 - w_2 - 2w_3 = \vec 0.$$

Verifica: $5(1, 2, 2, 0) - (1, 2, -2, -2) - 2(2, 4, 6, 1) = (5 - 1 - 4,\ 10 - 2 - 8,\ 10 + 2 - 12,\ 0 + 2 - 2) = (0, 0, 0, 0)$ ✓.

$w_1$ e $w_2$ non sono paralleli (terze componenti $2$ e $-2$, prime $1$ e $1$), quindi sono indipendenti: base di $W$: $w_1, w_2$.

Equazioni cartesiane

Si scrivono le equazioni parametriche con la base $w_1, w_2$:

$$(x_1, x_2, x_3, x_4) = a_1 (1, 2, 2, 0) + a_2 (1, 2, -2, -2) \iff \begin{cases} x_1 = a_1 + a_2 \\ x_2 = 2a_1 + 2a_2 \\ x_3 = 2a_1 - 2a_2 \\ x_4 = -2a_2 \end{cases}$$

Si eliminano i parametri. Le prime due danno subito $x_2 = 2x_1$, cioè la prima equazione $2x_1 - x_2 = 0$. Dalla quarta $a_2 = -\frac{x_4}{2}$; dalla prima $a_1 = x_1 - a_2 = x_1 + \frac{x_4}{2}$; nella terza:

$$x_3 = 2\left(x_1 + \frac{x_4}{2}\right) - 2\left(-\frac{x_4}{2}\right) = 2x_1 + 2x_4.$$

$$W : \begin{cases} 2x_1 - x_2 = 0 \\ 2x_1 - x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}$$

Controlli. Il numero di equazioni è $4 - \dim W = 2$ ✓. I vettori di base le soddisfano: $w_1$: $2 - 2 = 0$, $2 - 2 + 0 = 0$ ✓; $w_2$: $2 - 2 = 0$, $2 + 2 - 4 = 0$ ✓.

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(c) Intersezione e somma

$U \cap W$

Tutti e due i sottospazi sono dati con equazioni: si mettono a sistemaL'intersezione è l'insieme dei vettori che soddisfano contemporaneamente le equazioni di entrambi i sottospazi.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi →.

$$\begin{cases} x_1 - 2x_3 + x_4 = 0 \\ 2x_1 - x_2 = 0 \\ 2x_1 - x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}$$

Dalla seconda $x_2 = 2x_1$; dalla terza $x_3 = 2x_1 + 2x_4$. Nella prima:

$$x_1 - 2(2x_1 + 2x_4) + x_4 = x_1 - 4x_1 - 4x_4 + x_4 = -3x_1 - 3x_4 = 0 \iff x_1 = -x_4.$$

Le tre equazioni sono indipendenti (ognuna ha permesso di ricavare un'incognita diversa), quindi le soluzioni dipendono da $4 - 3 = 1$ parametro (n − r parametri liberiIn un sistema omogeneo con n incognite e matrice di rango r le soluzioni formano un sottospazio di dimensione n − r.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →).

Quindi $x_1 = -x_4$, $x_2 = -2x_4$, $x_3 = -2x_4 + 2x_4 = 0$, con $x_4$ libera: $\dim(U \cap W) = 1$. Con $x_4 = 1$:

$$\text{base di } U \cap W: \ (-1, -2, 0, 1).$$

Verifica nelle tre equazioni: $-1 - 0 + 1 = 0$, $-2 + 2 = 0$, $-2 - 0 + 2 = 0$ ✓.

$U + W$

Formula di Grassmanndim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W).Formula di Grassmann e somma diretta →:

$$\dim(U + W) = 3 + 2 - 1 = 4 = \dim \mathbb{R}^4 \quad \Longrightarrow \quad U + W = \mathbb{R}^4,$$

perché un sottospazio con la stessa dimensione dello spazio è lo spazio interoUna sua base è fatta di n vettori indipendenti di uno spazio di dimensione n, quindi è anche una base dello spazio.Dimensione →.

$$\text{base di } U + W: \ e_1, e_2, e_3, e_4 \ (\text{base canonica}).$$

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(d) L'insieme $S$ e il sottospazio che genera

$S$ non è un sottospazio

L'equazione $x_2 + x_3 + x_4 = 1$ non è omogenea: il vettore nullo dà $0 \ne 1$, quindi $\vec 0 \notin S$, e un sottospazio contiene sempre il vettore nulloSe il vettore nullo non appartiene a un insieme, quell'insieme non è un sottospazio.Sottospazi vettoriali →. $S$ non è un sottospazio.

Il sottospazio generato da $S$

$\langle S \rangle$ è il più piccolo sottospazio che contiene $S$, cioè l'insieme delle combinazioni lineari di vettori di $S$Il sottospazio generato da un insieme S è formato da tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato →. Basta trovare abbastanza vettori di $S$ e combinarli.

Questi vettori stanno in $S$ (la somma delle ultime tre componenti è $1$):

$$e_2 = (0, 1, 0, 0), \quad e_3 = (0, 0, 1, 0), \quad e_4 = (0, 0, 0, 1), \quad s = (1, 1, 0, 0).$$

Allora $\langle S \rangle$ contiene $e_2, e_3, e_4$ e anche $s - e_2 = (1, 0, 0, 0) = e_1$ (combinazione di vettori di $S$). Contiene quindi tutta la base canonica, cioè 4 vettori indipendenti: $\dim \langle S \rangle = 4$ e $\langle S \rangle = \mathbb{R}^4$.

$$\text{base di } \langle S \rangle: \ e_1, e_2, e_3, e_4.$$

Un altro modo di vederlo (quello della soluzione ufficiale): il vettore generico di $S$ è $$(x_1,\ 1 - x_3 - x_4,\ x_3,\ x_4) = (0, 1, 0, 0) + x_1 (1, 0, 0, 0) + x_3 (0, -1, 1, 0) + x_4 (0, -1, 0, 1),$$ quindi per descrivere $S$ servono 4 vettori indipendenti. Attenzione però: $S$ non è $\langle$questi 4 vettori$\rangle$ (che è $\mathbb{R}^4$), perché il coefficiente del primo vettore è fissato a $1$. È l'analogo in $\mathbb{R}^4$ di un piano che non passa per l'origine (un "iperpiano spostato", di dimensione 3), e il più piccolo sottospazio che lo contiene è tutto $\mathbb{R}^4$.

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Riepilogo dei risultati

Errori comuni

• In (a), prendere $u_2, u_3$ fuori da $U$: devono soddisfare l'equazione di $U$.
• In (b), usare $w_1, w_2, w_3$ per le parametriche: con generatori dipendenti si hanno parametri in più e l'eliminazione diventa più faticosa (e si rischia di sbagliare il numero di equazioni).
• In (d), confondere $S$ con il sottospazio generato da $S$.