Esercizio 9base, coordinate e somma diretta in R4

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(a) $\mathcal B$ è una base di $U$; coordinate di $u_1 + u_2 + u_3$

Base

$u_1, u_2, u_3$ generano $U$ per definizione; resta da vedere se sono indipendenti. Si riducono a scala le righe (il numero di righe non nulle è la dimensione del sottospazio generatoLe operazioni elementari sulle righe non cambiano il sottospazio generato e le righe non nulle di una matrice a scala sono indipendenti.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi →):

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \to R_2 + R_1} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 + 3R_2} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 2 \end{pmatrix}$$

(Si sceglie $R_2 + R_1$ per annullare il $-1$ sotto il primo $1$: $(-1 + 1,\ 1 - 2,\ 2 + 0,\ 0 + 1) = (0, -1, 2, 1)$; la terza riga ha già $0$ in prima colonna e resta com'è. Poi $R_3 + 3R_2$ annulla il $3$ sotto il $-1$: $(0,\ 3 - 3,\ 1 + 6,\ -1 + 3) = (0, 0, 7, 2)$.)

Tre righe non nulle: il sottospazio generato ha dimensione $3$, quindi i tre generatori sono indipendenti (se fossero dipendenti, si potrebbe toglierne uno e $U$ avrebbe dimensione $\le 2$). $\mathcal B$ è una base di $U$ e $\dim U = 3$.

Coordinate

Le coordinateRispetto a una base, ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base: i coefficienti sono le sue coordinate.Generatori e basi → di un vettore rispetto a $\mathcal B$ sono i coefficienti dell'unica combinazione dei vettori di $\mathcal B$ che lo dà. Il vettore è già scritto come combinazione:

$$u_1 + u_2 + u_3 = 1 \cdot u_1 + 1 \cdot u_2 + 1 \cdot u_3,$$

quindi le sue coordinate in $\mathcal B$ sono $(1, 1, 1)$. Non vanno confuse con le sue componenti in $\mathbb{R}^4$, che sono $u_1 + u_2 + u_3 = (1 - 1 + 0,\ -2 + 1 + 3,\ 0 + 2 + 1,\ 1 + 0 - 1) = (0, 2, 3, 0)$ (coordinate rispetto alla base canonica).

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(b) Dimensione e base di $W$

$$\begin{cases} 2x_1 - x_2 - x_3 = 0 \\ x_2 - x_3 = 0 \end{cases}$$

Dalla seconda $x_2 = x_3$; nella prima $2x_1 = x_2 + x_3 = 2x_3$, cioè $x_1 = x_3$. Le incognite libere sono $x_3$ e $x_4$: $x_4$ non compare in nessuna equazione, quindi può valere qualsiasi cosa.

$\dim W = 2$ (4 incognite, 2 equazioni indipendenti). Base, ponendo a turno una libera uguale a $1$:

Verifica: $w_1$: $2 - 1 - 1 = 0$, $1 - 1 = 0$ ✓; $w_2$: entrambe $0 = 0$ ✓.

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(c) Intersezione e somma

$U \cap W$

$U$ è dato con una base, $W$ con equazioni: si prende il vettore generico di $U$ e si impone che soddisfi le equazioni di $W$.

$$v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 = (a_1 - a_2,\ -2a_1 + a_2 + 3a_3,\ 2a_2 + a_3,\ a_1 - a_3).$$

(Componente per componente: la prima è $1 \cdot a_1 + (-1) \cdot a_2 + 0 \cdot a_3$, la seconda $-2a_1 + 1 \cdot a_2 + 3a_3$, e così via.)

Prima equazione di $W$:

$$2(a_1 - a_2) - (-2a_1 + a_2 + 3a_3) - (2a_2 + a_3) = 2a_1 - 2a_2 + 2a_1 - a_2 - 3a_3 - 2a_2 - a_3 = 4a_1 - 5a_2 - 4a_3 = 0.$$

Seconda equazione:

$$(-2a_1 + a_2 + 3a_3) - (2a_2 + a_3) = -2a_1 - a_2 + 2a_3 = 0.$$

Dalla seconda $a_2 = -2a_1 + 2a_3$; nella prima $4a_1 - 5(-2a_1 + 2a_3) - 4a_3 = 4a_1 + 10a_1 - 10a_3 - 4a_3 = 14a_1 - 14a_3 = 0$, cioè $a_1 = a_3$, e allora $a_2 = -2a_3 + 2a_3 = 0$.

Le soluzioni sono $(a_1, a_2, a_3) = (t, 0, t)$: un parametro libero. Poiché $u_1, u_2, u_3$ sono una base, a soluzioni diverse corrispondono vettori diversi, quindi $\dim(U \cap W) = 1$. Con $t = 1$:

$$v = u_1 + u_3 = (1, -2, 0, 1) + (0, 3, 1, -1) = (1, 1, 1, 0).$$

Verifica: $(1, 1, 1, 0)$ soddisfa le equazioni di $W$ (è proprio $w_1$) ✓.

$$\text{base di } U \cap W: \ (1, 1, 1, 0).$$

$U + W$

Grassmanndim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W).Formula di Grassmann e somma diretta →: $\dim(U + W) = 3 + 2 - 1 = 4$, quindi $U + W = \mathbb{R}^4$ e una base è la base canonica $e_1, e_2, e_3, e_4$.

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(d) Un $U' \subset U$ con $U' \oplus W = \mathbb{R}^4$

Cosa serve

$U' \oplus W = \mathbb{R}^4$ significa $U' + W = \mathbb{R}^4$ e $U' \cap W = \{\vec 0\}$ (somma direttaLa somma di due sottospazi è diretta quando la loro intersezione contiene solo il vettore nullo; allora dim(U ⊕ W) = dim U + dim W.Formula di Grassmann e somma diretta →). Per Grassmann allora $\dim U' + \dim W = 4$, cioè

$$\dim U' = 4 - 2 = 2.$$

Basta quindi un sottospazio $U'$ di dimensione 2, contenuto in $U$, con $U' \cap W = \{\vec 0\}$: allora $\dim(U' + W) = 2 + 2 - 0 = 4$ e $U' + W = \mathbb{R}^4$.

La scelta $U' = \langle u_1, u_2 \rangle$

$u_1, u_2$ sono indipendenti (fanno parte della base $\mathcal B$), quindi $\dim U' = 2$, e $U' \subset U$.

Perché $U' \cap W = \{\vec 0\}$. Un vettore di $U' \cap W$ sta in $U \cap W$, quindi per il punto (c) è $t(u_1 + u_3)$ per qualche $t$. Ma sta anche in $U' = \langle u_1, u_2 \rangle$, quindi è $b_1 u_1 + b_2 u_2$. Due scritture dello stesso vettore nella base $\mathcal B$:

$$t\,u_1 + 0 \cdot u_2 + t\,u_3 = b_1 u_1 + b_2 u_2 + 0 \cdot u_3.$$

Per l'unicità delle coordinate i coefficienti di $u_3$ coincidono: $t = 0$. Quindi il vettore è $\vec 0$ ✓.

$$\text{base di } U': \ u_1 = (1, -2, 0, 1),\ u_2 = (-1, 1, 2, 0).$$

Controllo alternativo: se $U' \oplus W = \mathbb{R}^4$, unendo una base di $U'$ e una di $W$ si ottiene una base di $\mathbb{R}^4$ (somma direttaIn una somma diretta l'unione delle basi dei due sottospazi è una base della somma.Formula di Grassmann e somma diretta →): $u_1, u_2, w_1, w_2$ devono essere 4 vettori indipendenti. Riduzione a scala delle quattro righe:

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow[R_3 \to R_3 - R_1]{R_2 \to R_2 + R_1} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 + 3R_2} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

($R_3 - R_1 = (1 - 1,\ 1 + 2,\ 1 - 0,\ 0 - 1) = (0, 3, 1, -1)$; poi $R_3 + 3R_2 = (0,\ 3 - 3,\ 1 + 6,\ -1 + 3) = (0, 0, 7, 2)$.) Quattro pivot, quindi 4 righe indipendenti ✓.

Altre scelte. Va bene qualunque coppia di vettori di $U$ indipendenti il cui piano non contenga $u_1 + u_3$: per esempio $\langle u_2, u_3 \rangle$ (stesso ragionamento sul coefficiente di $u_1$). Non va bene $\langle u_1, u_3 \rangle$, che contiene $u_1 + u_3 \in W$.

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Riepilogo

Errori comuni

• Dimenticare l'incognita che non compare ($x_4$ in (b)): è libera e dà un vettore di base.
• Confondere coordinate in $\mathcal B$ e componenti in $\mathbb{R}^4$ nella domanda (a).
• In (d), scegliere $U'$ di dimensione sbagliata, o un piano che contiene il vettore dell'intersezione.