Proprietà del determinante, Binet e Laplace

Lezioni 20 (seconda parte) e 21 (videolezioni n. 20–21). Esercizi svolti: Esercizio 47 · determinante 4×4 con Laplace e con Gauss. Seguito: Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →.

La definizioneIl determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c'è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.Permutazioni e definizione di determinante → richiede $n!$ prodotti: troppi. Le proprietà di questa nota permettono di calcolare i determinanti in modo efficiente (con Gauss o con Laplace) e di capire il legame con l'invertibilità. Ricordiamo che $\det A^T = \det A$: tutto quello che si dice per le righe vale anche per le colonne.

Notazione: $A^{(i)}$ indica la $i$-esima riga di $A$ (l'indice tra parentesi in alto serve a non confonderla con la potenza $A^i$).

1. Il determinante è lineare in ogni riga

Teorema. Se la riga $i$ di una matrice è una combinazione lineare $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2$ di due vettori riga, e le altre righe restano fisse, allora

$$\det \begin{pmatrix} A^{(1)} \\ \vdots \\ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 \\ \vdots \\ A^{(n)} \end{pmatrix} = \alpha_1 \det \begin{pmatrix} A^{(1)} \\ \vdots \\ v_1 \\ \vdots \\ A^{(n)} \end{pmatrix} + \alpha_2 \det \begin{pmatrix} A^{(1)} \\ \vdots \\ v_2 \\ \vdots \\ A^{(n)} \end{pmatrix}.$$

È la stessa regola delle funzioni lineariUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →, $f(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2) = \alpha_1 f(v_1) + \alpha_2 f(v_2)$, applicata a una riga alla volta.

Dimostrazione. In ogni prodotto della definizione compare esattamente un elemento della riga $i$, cioè $a_{i\sigma(i)} = \alpha_1 (v_1)_{\sigma(i)} + \alpha_2 (v_2)_{\sigma(i)}$. Per la proprietà distributiva ogni prodotto si spezza in due prodotti: uno con $\alpha_1 (v_1)_{\sigma(i)}$ e uno con $\alpha_2 (v_2)_{\sigma(i)}$. Raccogliendo $\alpha_1$ dai primi e $\alpha_2$ dai secondi, le due somme che restano sono esattamente i determinanti delle matrici con $v_1$ e con $v_2$ al posto della riga $i$. ∎

Attenzione: lineare in ogni riga, NON nella matrice intera. In generale

$$\det(A + B) \ne \det A + \det B.$$

Esempio: $A = B = I_2$. Allora $\det(A + B) = \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 4$, mentre $\det A + \det B = 1 + 1 = 2$.

2. Effetto delle operazioni elementari

Le operazioni sono le stesse dell'Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →; lì non cambiavano il rango, qui si guarda come cambia il determinante.

Perché.

• Scambio. Scambiare due righe aggiunge uno scambio a ogni permutazione della definizione: le permutazioni pari diventano dispari e viceversa, quindi tutti i segni cambiano. (Questa è solo l'idea; i dettagli sono tecnici.)
• Moltiplicare una riga per $\lambda$. È il caso $\alpha_1 = \lambda$, $\alpha_2 = 0$ della linearità: ogni prodotto contiene un solo elemento di quella riga, quindi $\lambda$ si raccoglie una volta.
• Due righe uguali. Scambiandole la matrice non cambia, quindi il determinante resta lo stesso; ma lo scambio deve cambiarlo di segno. L'unico numero uguale al proprio opposto è $0$: $\det A = -\det A \Rightarrow \det A = 0$.
• Riga nulla. Ogni prodotto contiene un elemento di quella riga, cioè uno zero.
• Sommare a una riga un multiplo di un'altra. Per linearità nella riga $i$: $$\det(\dots, A^{(i)} + \alpha A^{(j)}, \dots) = \det(\dots, A^{(i)}, \dots) + \alpha \det(\dots, \underbrace{A^{(j)}}_{\text{posto } i}, \dots).$$ L'ultima matrice ha la riga $A^{(j)}$ due volte (al suo posto $j$ e al posto $i$), quindi il suo determinante è $0$ e resta solo $\det A$.
• Tutta la matrice per $\lambda$. Si moltiplicano per $\lambda$ tutte le $n$ righe, una alla volta: $\lambda \cdot \lambda \cdots \lambda = \lambda^n$.

Collegamento con il rango. Il rangoUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli → è il numero massimo di righe (o colonne) linearmente indipendentiUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →. Se le righe sono linearmente dipendenti, una è combinazione delle altre, $A^{(i)} = \sum_{j \ne i} \beta_j A^{(j)}$; sottraendole quella combinazione (operazione che non cambia il determinante) si ottiene una riga nulla, quindi $\det A = 0$. Dunque $\operatorname{rango}(A) < n \Rightarrow \det A = 0$. Il viceversa si vedrà in Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →.

Esempio della linearità (lezione 20). $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 6 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$. Con $R_2 \to R_2 - 3R_1$ la nuova seconda riga è $(0, -2, 5) = A^{(2)} - 3A^{(1)}$, quindi

$$\det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \det A - 3 \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \det A - 3 \cdot 0 = \det A.$$

Controllo con i numeri. A sinistra, Laplace lungo la prima colonna (sezione 5): $2 \cdot \det\begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot (-2 - 15) = -34$. A destra, Sarrus su $A$: $(2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 6 \cdot 3) - ((-1) \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 6 \cdot 1) = (2 + 0 - 18) - (0 + 12 + 6) = -16 - 18 = -34$ ✓.

3. Calcolo del determinante con Gauss

Metodo. Si riduce $A$ a forma triangolare con operazioni elementari (qui si possono usare anche le colonne, perché non c'è un sistema da risolvere), tenendo traccia di come cambia il determinante:

• ogni scambio introduce un fattore $-1$;
• ogni riga moltiplicata per $\lambda$ introduce un fattore $\lambda$ (conviene evitarlo, o ricordarsi di dividere);
• le operazioni $R_i \to R_i + \alpha R_j$ non cambiano nulla.

Alla fine il determinante della triangolare è il prodotto della diagonale.

Esempio (lezione 21). $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$, già calcolato con Sarrus: $\det A = 4$.

• $C_1 \leftrightarrow C_3$: in alto a sinistra va il $-1$ e in prima colonna c'è già uno zero (ne serve uno in meno). Lo scambio cambia il segno: $$\det A = -\det \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$
• $R_3 \to R_3 + R_1$ (non cambia il determinante): la terza riga diventa $(0, 1, 5)$;
• $R_3 \to R_3 - R_2$ (non cambia il determinante): la terza riga diventa $(0, 0, 4)$: $$\det A = -\det \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = -\big((-1) \cdot 1 \cdot 4\big) = -(-4) = 4 \ ✓$$

Il segno meno portato dietro dallo scambio iniziale è essenziale: dimenticarlo darebbe $-4$.

Perché conviene. Per una $n \times n$ si creano al più $\frac{n(n-1)}{2}$ zeri (ordine $n^2$ operazioni sulle righe), contro gli $n!$ prodotti della definizione. Per $n = 5$: $10$ operazioni contro $120$ prodotti. Contando le singole moltiplicazioni (ogni operazione su una riga ne richiede al più $n$) Gauss ne fa circa $n^3/3$, cioè una quarantina per $n = 5$, mentre la definizione ne fa $120 \cdot 4 = 480$ ($4$ moltiplicazioni per ognuno dei $120$ prodotti di $5$ fattori); per $n = 10$ sono circa $330$ contro più di trenta milioni.

4. Il teorema di Binet

Teorema (Binet). Per $A, B \in M_n(K)$: $$\det(AB) = \det A \cdot \det B.$$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ hanno $\det A = 3$ e $\det B = 2$; $AB = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ ha $\det(AB) = 6 = 3 \cdot 2$. (Il prodotto righe per colonneLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →: riga $1$ di $A$ per le colonne di $B$ dà $1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4$ e $1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$; riga $2$ dà $0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 3$ e $0 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3$. Poi $\det(AB) = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 6$; $\det A = 3$ e $\det B = 2$ perché sono triangolari.)

È sorprendente: per la somma, che è un'operazione semplice, non c'è nessuna regola; per il prodotto righe per colonne, molto più complicato, la regola è la più semplice possibile. La dimostrazione è un calcolo lungo e la omettiamo.

Idea geometrica nel piano. Per il significato geometricoIl determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c'è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.Permutazioni e definizione di determinante → del determinante $2 \times 2$, la funzione $X \mapsto AX$ moltiplica le aree (con segno) per $\det A$: il quadrato di lati $e_1, e_2$, di area $1$, va nel parallelogramma di lati $Ae_1, Ae_2$ (le colonne di $A$), di area $\det A$. Il prodotto $AB$ corrisponde alla composizioneLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici → "prima $B$, poi $A$": prima le aree si moltiplicano per $\det B$, poi per $\det A$, in tutto per $\det A \cdot \det B$.

Conseguenze.

1. Se $A$ è invertibile, $\det A \ne 0$ e $\det A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}$. Infatti da $AA^{-1} = I_n$: $$\det A \cdot \det A^{-1} = \det(AA^{-1}) = \det I_n = 1,$$ e un prodotto di due numeri vale $1$ solo se nessuno dei due è zero.
2. $\det(AB) = \det(BA)$, anche se $AB \ne BA$ (i determinanti sono numeri, e i numeri commutano).
3. $\det(A^k) = (\det A)^k$ si vede applicando Binet $k - 1$ volte (per induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione → su $k$): $\det(A^k) = \det(A^{k-1} A) = \det(A^{k-1}) \det A$.
4. Matrici similiLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base → hanno lo stesso determinante: se $B = P^{-1}AP$ allora, per Binet applicato due volte e per la conseguenza 1, $\det B = \det P^{-1} \cdot \det A \cdot \det P = \frac{1}{\det P} \det A \det P = \det A$ (vedi Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →).

5. Lo sviluppo di Laplace

Notazioni. Per $A \in M_n(K)$:

• $A_{ij}$ (maiuscola) è la matrice $(n-1) \times (n-1)$ ottenuta da $A$ cancellando la riga $i$ e la colonna $j$ (quelle che contengono $a_{ij}$);
• il numero $(-1)^{i+j} \det A_{ij}$ si chiama complemento algebrico (o cofattore) di $a_{ij}$.

Il segno $(-1)^{i+j}$ vale $+1$ se $i + j$ è pari e $-1$ se è dispari: si alterna "a scacchiera", partendo da $+$ in alto a sinistra:

$$\begin{pmatrix} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{pmatrix}$$

Teorema (Laplace). Per ogni riga $i$ fissata: $$\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij} \qquad \text{(sviluppo lungo la riga } i\text{)},$$ e per ogni colonna $j$ fissata: $$\det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij} \qquad \text{(sviluppo lungo la colonna } j\text{)}.$$ Il risultato non dipende dalla riga o colonna scelta.

In parole: si sceglie una riga; per ogni suo elemento si cancellano riga e colonna dell'elemento, si calcola il determinante di ciò che resta, lo si moltiplica per l'elemento e per il segno della scacchiera; si sommano i risultati.

Da dove viene (caso $3 \times 3$, prima riga). Nella formula dei sei prodotti della definizioneIl determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c'è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.Permutazioni e definizione di determinante → si raccolgono i termini secondo l'elemento della prima riga che contengono:

$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}).$$

Ogni parentesi è il determinante $2 \times 2$ di ciò che resta cancellando la riga $1$ e la colonna dell'elemento raccolto: un prodotto della definizione che contiene $a_{1j}$ non può contenere altri elementi della riga $1$ né della colonna $j$. Il segno $-$ davanti ad $a_{12}$ è il $(-1)^{1+2}$ della scacchiera. In generale si fa lo stesso raggruppamento con $n!$ termini.

Quando conviene. Laplace trasforma un determinante $n \times n$ in $n$ determinanti $(n-1) \times (n-1)$: in generale non fa risparmiare. Diventa comodissimo quando una riga o colonna ha molti zeri, perché i termini con $a_{ij} = 0$ si saltano senza calcolare il determinante corrispondente. Si sceglie sempre la riga o colonna con più zeri.

Esempio (lezione 21).

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

La terza riga ha tre zeri: sviluppando lungo di essa resta solo il termine di $a_{33} = 2$, con segno $(-1)^{3+3} = +1$. Cancellando la riga $3$ e la colonna $3$:

$$\det A = (+1) \cdot 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.$$

Il determinante $3 \times 3$ lo sviluppiamo ancora con Laplace lungo la terza riga $(1, 2, 0)$, che ha uno zero:

$$\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = (-1)^{3+1} \cdot 1 \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + (-1)^{3+2} \cdot 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

$$= 1 \cdot (1 - 1) - 2 \cdot (-2 - 0) = 0 + 4 = 4.$$

(Per il primo termine si sono cancellate riga $3$ e colonna $1$, per il secondo riga $3$ e colonna $2$; il termine di $a_{33} = 0$ si salta.) Controllo con Sarrus: diagonali "$+$" $2 \cdot 1 \cdot 0 + (-1)(-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 2 = 1$, diagonali "$-$" $1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot 2 + (-1) \cdot 0 \cdot 0 = -3$, e $1 - (-3) = 4$ ✓. Quindi $\det A = 2 \cdot 4 = 8$. Lo stesso determinante con Gauss è nell'Esercizio 47 · determinante 4×4 con Laplace e con Gauss.

Caso $3 \times 3$ lungo la prima riga (formula utile da ricordare):

$$\det A = a_{11} \det \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - a_{12} \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} + a_{13} \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}.$$

Quale metodo usare

Spesso conviene mescolare: qualche operazione $R_i \to R_i + \alpha R_j$ per creare zeri in una colonna, poi Laplace lungo quella colonna.

Errori comuni

• Dimenticare il segno dopo uno scambio di righe o colonne nel metodo di Gauss.
• Moltiplicare una riga per $\lambda$ e non dividere il risultato per $\lambda$. (Nota: $R_i \to \lambda R_i + \alpha R_j$ moltiplica il determinante per $\lambda$.)
• Scrivere $\det(\lambda A) = \lambda \det A$: è $\lambda^n \det A$.
• Scrivere $\det(A + B) = \det A + \det B$: falso.
• Sbagliare i segni della scacchiera in Laplace: il segno dipende dalla posizione $(i,j)$ dell'elemento, non dal suo valore.
• Cancellare la riga e la colonna sbagliate: si cancellano quelle che passano per l'elemento che si sta usando.