Intersezione, somma e sottospazio generato

Lezioni 4–5 (videolezioni n. 4 e 5). Prerequisito: Sottospazi vettorialiUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali →. Seguito: Generatori e basiDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi →, Formula di Grassmann e somma direttaFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta →.

Dati due sottospazi $U$ e $W$ di uno spazio vettoriale $V$, ci si chiede se le operazioni tra insiemiUnione, intersezione, differenza, complementare e prodotto cartesiano, con le leggi di De Morgan e il legame con la logica.Operazioni tra insiemi →, intersezione e unione, producono ancora sottospazi.

Intersezione

Definizione (intersezione di sottospazi). $U \cap W = \{v \in V : v \in U \text{ e } v \in W\}$.

Esempio. In $\mathbb{R}^2$, $\{(a,0)\} \cap \{(0,b)\} = \{(0,0)\}$ (asse $x$ e asse $y$).

Teorema (l'intersezione di sottospazi è un sottospazio). Se $U$ e $W$ sono sottospazi di $V$, anche $U \cap W$ è un sottospazio di $V$.

Esempio. In $\mathbb{R}^3$ l'intersezione dei piani $x = 0$ e $y = 0$ è l'asse $z$, che è un sottospazio: i vettori che soddisfano entrambe le equazioni sono quelli della forma $(0, 0, z)$.

Dimostrazione. Somma. Siano $v_1, v_2 \in U \cap W$. Allora $v_1, v_2 \in U$, e siccome $U$ è un sottospazio $v_1 + v_2 \in U$; allo stesso modo $v_1, v_2 \in W$ dà $v_1 + v_2 \in W$. Quindi $v_1 + v_2$ sta in entrambi, cioè in $U \cap W$.

Prodotto. Se $v \in U \cap W$ e $\lambda \in K$: $\lambda v \in U$ perché $U$ è sottospazio, $\lambda v \in W$ perché $W$ è sottospazio, quindi $\lambda v \in U \cap W$ ∎.

L'intersezione non è mai vuota. Tra insiemi qualsiasi l'intersezione può essere $\emptyset$, tra sottospazi no: $\vec 0$ sta in ogni sottospazio, quindi $\vec 0 \in U \cap W$. Il caso "più piccolo" possibile è $U \cap W = \{\vec 0\}$ (si scrive anche $U \cap W = 0$), che non è l'insieme vuoto: contiene un elemento, il vettore nullo.

Unione: in generale non è un sottospazio

$U \cup W = \{v \in V : v \in U \text{ oppure } v \in W\}$ ("oppure" inclusivo: il connettivo "o" di Logica e quantificatoriProposizioni, connettivi, predicati e quantificatori (per ogni, esiste), con le regole per negarli.Logica e quantificatori →, vero anche quando valgono entrambe le condizioni).

Provando a ripetere la dimostrazione ci si blocca: se $v_1 \in U$ e $v_2 \in W$, la somma $v_1 + v_2$ non ha motivo di stare né in $U$ né in $W$. Un controesempio chiude la questione: in $\mathbb{R}^2$ siano

$$U = \{(a, 0)\} \ (\text{asse } x), \qquad W = \{(0, b)\} \ (\text{asse } y).$$

Sono sottospazi, e $(3, 0) \in U$, $(0, 2) \in W$ stanno nell'unione. Ma $(3, 0) + (0, 2) = (3, 2)$ non ha nessuna componente nulla, quindi non sta né in $U$ (servirebbe la seconda componente $0$) né in $W$ (servirebbe la prima $0$): l'unione dei due assi non è chiusa per la somma.

(In casi particolari l'unione è un sottospazio: se $U \subseteq W$ allora $U \cup W = W$.)

Somma di sottospazi

Visto che l'unione non va bene, la si sostituisce con il più piccolo sottospazio che la contiene.

Definizione (somma di sottospazi). La somma di $U$ e $W$, indicata con $U + W$, è il più piccolo sottospazio di $V$ che contiene $U \cup W$.

Esempio. In $\mathbb{R}^3$ la somma delle rette $\langle e_1 \rangle$ e $\langle e_2 \rangle$ è il piano $\langle e_1, e_2 \rangle$.

Esempio geometrico. In $\mathbb{R}^3$ siano $U$ e $W$ due rette distinte per l'origine. L'unione (le due rette) non è un sottospazio. Il più piccolo sottospazio che le contiene è il piano che contiene entrambe: $U + W$ è quel piano. In effetti la somma di un vettore di $U$ e uno di $W$, fatta con la regola del parallelogramma, sta in quel piano.

Teorema (descrizione della somma). $U + W = \{u + w : u \in U,\ w \in W\}$, cioè la somma contiene esattamente tutte le somme di un vettore di $U$ con un vettore di $W$ (da qui il nome e il simbolo).

Esempio. Con $U = \langle (1,0) \rangle$ e $W = \langle (0,1) \rangle$: $U + W = \{(a,0) + (0,b)\} = \mathbb{R}^2$.

In $\mathbb{R}^2$ due rette distinte per l'origine hanno per somma tutto il piano. Con $U = \langle (1, 1) \rangle$ (la retta $y = x$) e $W = \langle (-1, 1) \rangle$ (la retta $y = -x$), un vettore qualsiasi $(a, b)$ si scrive $s(1, 1) + t(-1, 1)$ se $$\begin{cases} s - t = a \\ s + t = b \end{cases}$$ Sommando le due equazioni $2s = a + b$, sottraendo la prima dalla seconda $2t = b - a$: $s = \frac{a + b}2$, $t = \frac{b - a}2$. C'è una soluzione per ogni $(a, b)$, quindi $U + W = \mathbb{R}^2$. Per esempio $(1, 3)$: $s = 2$, $t = 1$, cioè $(1, 3) = (2, 2) + (-1, 1)$.

Dimostrazione. Sia $S = \{u + w : u \in U, w \in W\}$. Bisogna dimostrare tre cose.

(a) $S$ contiene $U$ e $W$. Ogni $u \in U$ si scrive $u = u + \vec 0$ con $\vec 0 \in W$ (ogni sottospazio contiene il vettore nullo), quindi $u \in S$. Allo stesso modo $w = \vec 0 + w \in S$.

(b) $S$ è contenuto in ogni sottospazio $L$ che contiene $U$ e $W$. Per dimostrare che $S$ è il più piccolo, si prende un qualunque sottospazio $L \supseteq U \cup W$ e si fa vedere che $S \subseteq L$. Se $u \in U$ e $w \in W$, allora $u, w \in L$, e siccome $L$ è chiuso per la somma $u + w \in L$. Quindi ogni elemento di $S$ sta in $L$.

(c) $S$ è un sottospazio. Siano $v_1 = u_1 + w_1$ e $v_2 = u_2 + w_2$ in $S$. Riordinando (associativa e commutativa)

$$v_1 + v_2 = \underbrace{(u_1 + u_2)}_{\in U} + \underbrace{(w_1 + w_2)}_{\in W} \in S,$$

perché $U$ e $W$ sono chiusi per la somma. E per $\lambda \in K$: $\lambda v_1 = \lambda u_1 + \lambda w_1$ con $\lambda u_1 \in U$, $\lambda w_1 \in W$, quindi $\lambda v_1 \in S$ ∎.

Sottospazio generato da un insieme di vettori

La stessa idea vale partendo da un insieme qualsiasi di vettori $S \subseteq V$ (che di solito non è un sottospazio).

Definizione (sottospazio generato). Il sottospazio generato da $S$, indicato con $\langle S \rangle$ (in alcuni testi $L(S)$, "lineare generato"), è il più piccolo sottospazio di $V$ che contiene $S$.

Esempio. $\langle (1,2) \rangle = \{\lambda (1,2) : \lambda \in \mathbb{R}\}$ è la retta per l'origine di direzione $(1,2)$. I suoi punti sono $(\lambda, 2\lambda)$: la seconda coordinata è il doppio della prima, quindi è la retta $y = 2x$, cioè $2x - y = 0$.

Teorema (il sottospazio generato è l'insieme delle combinazioni lineari). $\langle S \rangle$ è l'insieme di tutte le combinazioni lineari (finite) di vettori di $S$:

$$\langle S \rangle = \left\{ \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r : r \ge 1,\ \lambda_i \in K,\ v_i \in S \right\}.$$

Esempio. $\langle (1,0,0), (0,1,0) \rangle = \{a(1,0,0) + b(0,1,0)\}$ è il piano $z = 0$ di $\mathbb{R}^3$.

La dimostrazione ha gli stessi tre passi di quella della somma. Sia $C$ l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di $S$.

(a) $C$ contiene $S$: ogni $v \in S$ è la combinazione $1 \cdot v$ (proprietà 7 di Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali →).

(b) $C$ sta in ogni sottospazio $L \supseteq S$: $L$ è chiuso per prodotto per scalari e per somma, quindi contiene $\lambda_1 v_1, \dots, \lambda_r v_r$ e poi la loro somma (aggiungendo un addendo alla volta).

(c) $C$ è un sottospazio: la somma di due combinazioni $(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r) + (\mu_1 v'_1 + \dots + \mu_s v'_s)$ è una combinazione dei vettori $v_1, \dots, v_r, v'_1, \dots, v'_s$, che stanno tutti in $S$; il multiplo $\alpha(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r) = (\alpha\lambda_1) v_1 + \dots + (\alpha\lambda_r) v_r$ (distributiva e proprietà 5) è ancora una combinazione ∎.

Se $S = \{v_1, \dots, v_k\}$ si scrive $\langle v_1, \dots, v_k \rangle$.

Legame con la somma: se $U = \langle u_1, \dots, u_p \rangle$ e $W = \langle w_1, \dots, w_q \rangle$, allora $U + W = \langle u_1, \dots, u_p, w_1, \dots, w_q \rangle$: per generare la somma basta mettere insieme i generatori. Infatti un elemento di $U + W$ è $u + w$ con $u = \sum_i \alpha_i u_i$ e $w = \sum_j \beta_j w_j$, quindi $u + w = \sum_i \alpha_i u_i + \sum_j \beta_j w_j$ è combinazione di tutti i generatori; viceversa una combinazione di tutti i generatori si spezza nella parte con gli $u_i$ (che sta in $U$) più la parte con i $w_j$ (che sta in $W$). È il modo pratico di calcolare una somma (vedi Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospaziProcedura da esame per i sottospazi di K^n: base da generatori (riduzione a scala delle righe), base da equazioni (incognite libere), equazioni cartesiane da una base (eliminare i parametri), intersezione (mettere a sistema), somma (unire i generatori) e Grassmann come controllo.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi →).

Com'è fatto $\langle v \rangle$ e $\langle v_1, v_2 \rangle$

• Un vettore $v \ne \vec 0$: le combinazioni lineari di un solo vettore sono i suoi multipli $\lambda v$. Si ottiene la retta per l'origine nella direzione di $v$. Se $v = \vec 0$, $\langle \vec 0 \rangle = \{\vec 0\}$.
• Due vettori non nulli: se sono paralleli ($v_2$ multiplo di $v_1$) ogni combinazione è ancora parallela a loro e $\langle v_1, v_2 \rangle$ è una retta; se non sono paralleli $\langle v_1, v_2 \rangle$ è il piano per l'origine che li contiene.

Esempio. In $\mathbb{R}^3$, $\langle (1, 2, -1), (0, 3, 1) \rangle$ è un piano, quindi non è tutto $\mathbb{R}^3$: due vettori non bastano a generare lo spazio. Il conto è nell'Esercizio 4 · generatori di R2 e di R3, dove si trova che $(a, b, c)$ è combinazione dei due vettori solo se $b = 5a + 3c$. In breve: da $(a, b, c) = \lambda_1(1, 2, -1) + \lambda_2(0, 3, 1)$ la prima componente dà $\lambda_1 = a$, la terza $-\lambda_1 + \lambda_2 = c$, cioè $\lambda_2 = a + c$; la seconda deve allora valere $b = 2\lambda_1 + 3\lambda_2 = 2a + 3(a + c) = 5a + 3c$. Per esempio $(0, 1, 0)$ non sta nel piano ($1 \ne 0$).

Errori comuni

• Scrivere $U + W = U \cup W$: la somma è molto più grande dell'unione (due rette contro un piano).
• Dire che due sottospazi hanno intersezione vuota: al minimo l'intersezione è $\{\vec 0\}$.
• Calcolare la somma intersecando le equazioni: le equazioni messe a sistema danno l'intersezione; per la somma si uniscono i generatori.