Segno di una forma bilineare simmetrica

Lezione 37 (videolezione n. 37). Prerequisiti: Forme bilineari simmetricheUna forma bilineare simmetrica generalizza il prodotto scalare: si rappresenta con una matrice simmetrica, che cambiando base diventa PᵀAP (matrici congruenti); può essere degenere o no, definita positiva, negativa o indefinita; le definite positive sono i prodotti scalari e per esse vale Gram-Schmidt.Forme bilineari simmetriche → (definizioni di definita, semidefinita, indefinita, degenere), Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →, Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →. Esercizi: Esercizio 88 · segno di una forma quadratica con parametro, Esercizio 89 · base ortonormale di autovettori e forma quadratica diagonale. Seguito: Teorema spettrale e forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →.

In tutta la nota $\varphi$ è una forma bilineare simmetrica su $\mathbb{R}^n$ con matrice simmetrica $A$ (rispetto alla base canonica) e forma quadratica $q(x) = x^T A x$.

Dove si usa. Oltre che per le coniche e le quadriche, il segno di una forma quadratica serve in analisi in più variabili: in un punto critico di una funzione $f(x_1, \dots, x_n)$ la matrice hessianaLe derivate seconde ∂²f/∂xj∂xi formano la matrice hessiana Hf; per il teorema di Schwarz (derivate miste continue) è simmetrica. Taylor al secondo ordine: f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ hᵀHf(x0)h + o(‖h‖²). Una matrice simmetrica è definita positiva/negativa, semidefinita o indefinita a seconda del segno della forma quadratica hᵀAh; si riconosce con gli autovalori o con i minori principali (in 2×2: determinante e primo elemento).Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabili → è simmetrica, e se la sua forma quadratica è definita positiva il punto è di minimo, se è definita negativa di massimo, se è indefinita di sella (Massimi e minimi liberi in più variabiliSe f è differenziabile e ha un estremo relativo in un punto interno x0, allora ∇f(x0) = 0 (Fermat): gli estremi interni vanno cercati tra i punti critici. Se f è C², in un punto critico: hessiana definita positiva → minimo, definita negativa → massimo, indefinita → sella, semidefinita → il test non decide e si studia il segno di f(x) − f(x0). In due variabili: det H > 0 e fxx > 0 minimo, det H > 0 e fxx < 0 massimo, det H < 0 sella.Massimi e minimi liberi in più variabili →). I metodi di questa nota sono gli stessi che si usano lì.

L'idea: se la matrice è diagonale si legge tutto

Se $A = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$, allora $q(x) = d_1 x_1^2 + \dots + d_n x_n^2$ e il tipo si vede dai segni dei $d_i$:

(Per esempio se $d_1 > 0$ e $d_2 < 0$: $q(e_1) = d_1 > 0$ e $q(e_2) = d_2 < 0$, quindi è indefinita.)

Tutti i metodi che seguono fanno la stessa cosa: trovano una base in cui la forma è diagonale, oppure ricavano i segni dei $d_i$ senza calcolarli. Per questo bisogna prima sapere che il numero di segni non dipende dalla base scelta.

Teorema di Sylvester (legge d'inerzia)

Cambiando base la matrice diventa $P^T A P$ (matrici congruentiUna forma bilineare simmetrica generalizza il prodotto scalare: si rappresenta con una matrice simmetrica, che cambiando base diventa PᵀAP (matrici congruenti); può essere degenere o no, definita positiva, negativa o indefinita; le definite positive sono i prodotti scalari e per esse vale Gram-Schmidt.Forme bilineari simmetriche →), e i numeri sulla diagonale cambiano. Per esempio $\operatorname{diag}(1, 1)$ e $\operatorname{diag}(4, 9)$ sono la stessa forma in due basi diverse (basta prendere la base $\{2e_1, 3e_2\}$: per bilinearità $\varphi(2e_1, 2e_1) = 4\, \varphi(e_1, e_1) = 4$, $\varphi(3e_2, 3e_2) = 9$, $\varphi(2e_1, 3e_2) = 6 \cdot 0 = 0$). Quello che non cambia è il conteggio dei segni.

Teorema (Sylvester). Per ogni forma bilineare simmetrica reale esiste una base in cui la matrice è $$\operatorname{diag}(\underbrace{1, \dots, 1}_{p}, \underbrace{-1, \dots, -1}_{r}, \underbrace{0, \dots, 0}_{n - p - r}),$$ e i numeri $p$ e $r$ sono gli stessi in qualunque base che renda la matrice diagonale.

Esempio. $q(x,y) = x^2 - y^2$ ha già matrice $\operatorname{diag}(1, -1)$: la segnatura è $(p, r) = (1, 1)$ e il rango è $p + r = 2$.

La coppia $(p, r)$ si chiama segnatura della forma; $p + r = \operatorname{rango}(A)$.

• L'esistenza: si trova una base $\varphi$-ortogonale $\{v_1, \dots, v_n\}$ (con il teorema spettrale, o completando i quadrati) e si divide ogni $v_i$ con $\varphi(v_i, v_i) \ne 0$ per $\sqrt{|\varphi(v_i, v_i)|}$: il nuovo valore diagonale diventa $\pm 1$.
• L'unicità (idea): $p$ è la dimensione massima di un sottospazio su cui la forma è definita positiva, quindi è una proprietà della forma e non della base. Su $\langle v_1, \dots, v_p \rangle$ la forma è definita positiva; se ci fosse un sottospazio $U$ più grande con la stessa proprietà, per la formula di GrassmannFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta → $U$ intersecherebbe $W = \langle v_{p+1}, \dots, v_n \rangle$ (dove $q \le 0$) in un vettore non nullo $v$, con $q(v) > 0$ e $q(v) \le 0$ insieme: impossibile. Il conto delle dimensioni: $\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U + W) \ge \dim U + (n - p) - n = \dim U - p > 0$, perché $U + W \subseteq \mathbb{R}^n$ ha dimensione al più $n$.

Quindi il tipo si legge dalla segnatura:

Metodo 1: i segni degli autovalori

Per il teorema spettraleOgni matrice simmetrica reale ha autovalori reali e una base ortonormale di autovettori: con P ortogonale si ha PᵀAP = P⁻¹AP = diagonale.Teorema spettrale e forme quadratiche → esiste una matrice ortogonale $P$ ($P^T = P^{-1}$) con

$$P^T A P = P^{-1} A P = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n),$$

dove i $\lambda_i$ sono gli autovalori di $A$, tutti reali. Siccome $P^T A P$ è proprio la matrice della forma nella base delle colonne di $P$, la forma diagonale ha gli autovalori sulla diagonale. Quindi:

$p$ = numero di autovalori positivi, $\ r$ = numero di autovalori negativi (contati con molteplicità).

Esempio: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ ha autovalori $3, -1, -1$: segnatura $(1, 2)$, indefinita. Calcolo: la matrice è a blocchi (la terza riga e la terza colonna hanno solo l'elemento diagonale), quindi sviluppando con LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → lungo la terza riga $\det(A - xI) = (-1 - x)\left[(1 - x)^2 - 4\right]$. Il secondo fattore è una differenza di quadrati: $(1 - x - 2)(1 - x + 2) = (-1 - x)(3 - x)$. Quindi $\det(A - xI) = (-1 - x)^2 (3 - x)$: autovalori $3$ (semplice) e $-1$ (doppio).

Attenzione: questo vale perché la $P$ del teorema spettrale è ortogonale. Per una $P$ qualsiasi gli elementi di $P^T A P$ non sono gli autovalori (lo si è visto con $\operatorname{diag}(1,1)$ e $\operatorname{diag}(4,9)$); hanno però gli stessi segni, per Sylvester.

Il difetto del metodo: calcolare gli autovalori richiede di trovare le radici del polinomio caratteristico, che per $n \ge 3$ di solito non sono belle. Il metodo 2 evita di calcolarle.

Metodo 2: la regola dei segni di Cartesio

Regola di Cartesio. Sia $p(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ un polinomio a coefficienti reali con tutte le radici reali. Allora il numero di radici positive (con molteplicità) è uguale al numero di variazioni di segnoSi scrivono i coefficienti in ordine dal grado più alto al più basso, si saltano quelli nulli, e si conta quante volte due coefficienti consecutivi hanno segno opposto. nella successione dei coefficienti.

Per un polinomio qualsiasi la regola dà solo un limite superiore; l'uguaglianza vale perché le radici sono tutte reali, ed è proprio il caso del polinomio caratteristico di una matrice simmetrica.

Come si usa.

1. Si calcola $p_A(x) = \det(xI - A)$ (oppure $\det(A - xI) = (-1)^n \det(xI - A)$, perché si cambia segno a tutte le $n$ righe: cambia solo il segno complessivo, non le radici e non il numero di variazioni). Per una $3 \times 3$ c'è una scorciatoia: $\det(xI - A) = x^3 - (\operatorname{tr} A)\, x^2 + c_2\, x - \det A$, dove $c_2$ è la somma dei tre minori principali $2 \times 2$ (quelli che si ottengono cancellando la riga e la colonna $i$, per $i = 1, 2, 3$).
2. Si contano le variazioni di segno: sono gli autovalori positivi.
3. Si guarda la potenza più bassa di $x$ con coefficiente non nullo: se $p_A(x) = x^k \cdot (\dots)$ con $(\dots)$ non nullo in $0$, l'autovalore $0$ ha molteplicità $k$.
4. Gli autovalori negativi sono i rimanenti: $r = n - p - k$.

Esempio 1. $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$, $\ p_A(x) = x^3 - 6x^2 + 10x - 4$. Calcolo: $xI - A = \begin{pmatrix} x - 2 & 1 & 0 \\ 1 & x - 2 & 1 \\ 0 & 1 & x - 2 \end{pmatrix}$; sviluppando lungo la prima riga,

$$p_A(x) = (x - 2)\left[(x - 2)^2 - 1\right] - 1 \cdot \left[1 \cdot (x - 2) - 1 \cdot 0\right] = (x - 2)^3 - 2(x - 2) ,$$

e sviluppando il cubo $(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$, quindi $p_A(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - 2x + 4 = x^3 - 6x^2 + 10x - 4$. (Con la scorciatoia: $\operatorname{tr} A = 6$, $c_2 = 3 + 4 + 3 = 10$, $\det A = 4$.) Segni: $+, -, +, -$: tre variazioni, tre autovalori positivi. Definita positiva. (Gli autovalori sono $2 - \sqrt2$, $2$, $2 + \sqrt2$: dalla forma raccolta $p_A(x) = (x - 2)\left[(x - 2)^2 - 2\right]$ si legge $x = 2$ oppure $x - 2 = \pm\sqrt2$.)

Esempio 2. La matrice dell'esempio del metodo 1 ha $p_A(x) = x^3 - x^2 - 5x - 3$ (sviluppando lungo la terza riga, $\det(xI - A) = (x + 1)\left[(x - 1)^2 - 4\right] = (x + 1)(x^2 - 2x - 3) = x^3 - 2x^2 - 3x + x^2 - 2x - 3$). Segni: $+, -, -, -$: una sola variazione, un autovalore positivo; $p_A(0) = -3 \ne 0$, quindi $0$ non è autovalore; i negativi sono $3 - 1 - 0 = 2$. Segnatura $(1, 2)$ ✓.

Esempio 3. $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$, $\ p_A(x) = x^3 - 8x^2 + 6x = x(x^2 - 8x + 6)$. Con la scorciatoia: $\operatorname{tr} A = 1 + 2 + 5 = 8$; i minori principali $2 \times 2$ sono $\det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = 1$, $\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = 4$, $\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1$, quindi $c_2 = 6$; $\det A = 1 \cdot (10 - 9) - 1 \cdot (5 - 3) + 1 \cdot (3 - 2) = 0$ (Laplace lungo la prima riga). Variazioni in $+, -, +$: due. Manca il termine noto: $0$ è autovalore semplice (il fattore $x^2 - 8x + 6$ in $0$ vale $6 \ne 0$). Negativi: $3 - 2 - 1 = 0$. Segnatura $(2, 0)$: semidefinita positiva, degenere. Controllo: le radici di $x^2 - 8x + 6$ sono $4 \pm \sqrt{10}$, entrambe positive perché $\sqrt{10} \approx 3{,}16 < 4$.

Metodo 3: i minori principali di nord-ovest

I minori principali di nord-ovest (o "di guida") sono i determinanti dei blocchi quadrati in alto a sinistra:

$$D_1 = a_{11}, \quad D_2 = \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, \quad \dots, \quad D_n = \det A .$$

Criterio dei minori principali. Sia $A$ simmetrica.

• $\varphi$ è definita positiva $\iff D_1 > 0, D_2 > 0, \dots, D_n > 0$.
• $\varphi$ è definita negativa $\iff D_1 < 0, D_2 > 0, D_3 < 0, \dots$, cioè $(-1)^k D_k > 0$ per ogni $k$ (segni alterni, partendo da $-$).
• Se $\det A \ne 0$ e non si è in nessuno dei due casi precedenti, $\varphi$ è indefinita.
• Se $\det A = 0$ la forma è degenere e il criterio non basta: usare un altro metodo.

Perché funziona. Si applica il procedimento di Gram-SchmidtUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt → con la forma $\varphi$ alla base canonica, supponendo che i minori $D_1, \dots, D_{n-1}$ siano tutti non nulli (è proprio quello che serve perché il procedimento non si blocchi). Si ottengono vettori $v_1, \dots, v_n$ con

$$v_k = e_k + (\text{combinazione di } e_1, \dots, e_{k-1}),$$

cioè la matrice di cambiamento di base $P$ è triangolare superiore con $1$ sulla diagonale, e $P^T A P = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ con $d_k = \varphi(v_k, v_k)$. Ora si guardano i blocchi $k \times k$ in alto a sinistra: siccome $P$ è triangolare, il blocco di $P^TAP$ è $P_k^T A_k P_k$ (con $A_k$, $P_k$ i blocchi di $A$, $P$), e $\det P_k = 1$. Per il teorema di BinetIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →:

$$d_1 d_2 \cdots d_k = \det(P_k^T A_k P_k) = \det A_k = D_k, \qquad \text{quindi} \qquad d_k = \frac{D_k}{D_{k-1}} \quad (D_0 = 1).$$

Ora è tutto chiaro:

• tutti i $D_k > 0$ $\iff$ tutti i $d_k > 0$ $\iff$ definita positiva;
• $D_k$ di segni alterni partendo da $D_1 < 0$ $\iff$ ogni quoziente $D_k / D_{k-1}$ è negativo $\iff$ tutti i $d_k < 0$ $\iff$ definita negativa.

Il caso "$\det A \ne 0$ ma nessuno dei due" dà indefinita perché la forma è non degenere (quindi non semidefinita) e non è definita.

Esempio 1 (stessa matrice del metodo 2): $D_1 = 2$, $D_2 = 2 \cdot 2 - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3$, $D_3 = \det A = 2 \cdot (4 - 1) - (-1) \cdot (-2 - 0) + 0 = 6 - 2 = 4$ (Laplace lungo la prima riga). Tutti positivi: definita positiva ✓. I valori diagonali dopo Gram-Schmidt sono $d_1 = \frac{D_1}{D_0} = 2$, $d_2 = \frac{D_2}{D_1} = \frac32$, $d_3 = \frac{D_3}{D_2} = \frac43$.

Esempio 2. $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$: $D_1 = -2 < 0$, $D_2 = 2 - 1 = 1 > 0$. Segni $-, +$: definita negativa. (Controllo: $q(x) = -2x_1^2 + 2x_1x_2 - x_2^2 = -x_1^2 - (x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2) = -x_1^2 - (x_1 - x_2)^2 < 0$ per $x \ne 0$, perché i due quadrati sono entrambi nulli solo se $x_1 = 0$ e $x_2 = x_1 = 0$. Gli autovalori sono $\frac{-3 \pm \sqrt5}{2}$, entrambi negativi.)

Esempio 3. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$: $D_1 = 1$, $D_2 = 1 - 4 = -3$, $D_3 = (-1) \cdot D_2 = 3$ (Laplace lungo la terza riga). $\det \ne 0$, segni $+, -, +$: né tutti positivi né alterni da $-$. Indefinita ✓.

Il caso $2 \times 2$ diventa una regola da ricordare: per $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$, $\det A = ac - b^2$ è il prodotto dei due autovalori e $a + c$ (la traccia) è la loro somma: il polinomio caratteristico è $x^2 - (a + c)x + (ac - b^2) = (x - \lambda_1)(x - \lambda_2)$. Se $\det A > 0$ i due autovalori hanno lo stesso segno, e quel segno è quello di $a = q(e_1)$, perché una forma definita ha su $e_1$ il proprio segno. Se $\det A = 0$ un autovalore è nullo e l'altro vale $a + c$.

Perché il criterio non vale per le semidefinite. Le matrici $\operatorname{diag}(1, 0, 1)$ (semidefinita positiva) e $\operatorname{diag}(1, 0, -1)$ (indefinita) hanno gli stessi minori di nord-ovest: $1, 0, 0$. I minori non bastano a distinguerle. Esiste un criterio per le semidefinite, ma usa tutti i minori principali (quelli ottenuti scegliendo le stesse righe e colonne, non solo in alto a sinistra): $\varphi$ è semidefinita positiva se e solo se sono tutti $\ge 0$. In pratica, nel caso degenere, conviene il metodo 2 o il metodo 4.

Metodo 4: completamento dei quadrati

È la versione "a mano" di Gram-Schmidt: si raccolgono i termini con $x_1$ in un quadrato, poi quelli con $x_2$, e così via. Si ottiene $q$ come combinazione di quadrati di nuove variabili $y_i$ legate alle $x_i$ da un cambio di variabili invertibile; per Sylvester i segni dei coefficienti danno la segnatura.

Esempio. $q(x) = 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 - 2x_2x_3 + 2x_3^2$ (la forma dell'esempio 1).

1. Termini con $x_1$: $2x_1^2 - 2x_1x_2 = 2\left(x_1^2 - x_1x_2\right) = 2\left(x_1 - \frac{x_2}{2}\right)^2 - \frac{x_2^2}{2}$. (Si aggiunge e toglie quello che serve per completare il quadrato: $\left(x_1 - \frac{x_2}{2}\right)^2 = x_1^2 - x_1x_2 + \frac{x_2^2}{4}$.)
2. Restano $2x_2^2 - \frac{x_2^2}{2} - 2x_2x_3 + 2x_3^2 = \frac32 x_2^2 - 2x_2x_3 + 2x_3^2 = \frac32\left(x_2 - \frac23 x_3\right)^2 - \frac23 x_3^2 + 2x_3^2$. (Si raccoglie $\frac32$: $\frac32 x_2^2 - 2x_2x_3 = \frac32\left(x_2^2 - \frac43 x_2 x_3\right)$, e $\left(x_2 - \frac23 x_3\right)^2 = x_2^2 - \frac43 x_2x_3 + \frac49 x_3^2$; il termine in più $\frac32 \cdot \frac49 x_3^2 = \frac23 x_3^2$ va tolto.)
3. Totale: $$q = 2\left(x_1 - \tfrac{x_2}{2}\right)^2 + \tfrac32\left(x_2 - \tfrac23 x_3\right)^2 + \tfrac43 x_3^2 .$$

($-\frac23 + 2 = \frac43$.) Coefficienti $2, \frac32, \frac43$: tutti positivi, definita positiva. Il cambio di variabili $y_1 = x_1 - \frac{x_2}{2}$, $y_2 = x_2 - \frac23 x_3$, $y_3 = x_3$ è invertibile (la sua matrice è triangolare con $1$ sulla diagonale, determinante $1$), quindi Sylvester si applica. Sono esattamente i $d_k = D_k / D_{k-1}$ del metodo 3: non è un caso, è lo stesso procedimento.

Se manca un quadrato. In $q = 2x_1x_2$ non c'è $x_1^2$ da cui partire. Si usa $x_1 = y_1 + y_2$, $x_2 = y_1 - y_2$: $q = 2(y_1 + y_2)(y_1 - y_2) = 2(y_1^2 - y_2^2)$ (prodotto notevole), indefinita. Il cambio è invertibile perché $\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -2 \ne 0$. (Più in generale si sceglie una variabile che compare al quadrato; se nessuna compare, si fa questa sostituzione.)

Quale metodo usare

Errori comuni

• "$D_3 < 0$, quindi definita negativa": per la definita negativa serve la successione $-, +, -, \dots$; se $D_1 > 0$ la forma non può mai essere negativa ($q(e_1) = a_{11} > 0$).
• Concludere "semidefinita positiva" perché i minori di nord-ovest sono $\ge 0$: non basta (controesempio $\operatorname{diag}(1, 0, -1)$).
• Applicare Cartesio a un polinomio con radici complesse: la regola conta esattamente le radici positive solo se sono tutte reali; per una matrice simmetrica lo sono, per una qualsiasi no.
• Confondere i numeri diagonali di $P^T A P$ con gli autovalori: lo sono solo se $P$ è ortogonale; in generale hanno solo gli stessi segni.
• Dimenticare il fattore $\frac12$ nella matrice: il termine $2x_1x_2$ dà $a_{12} = a_{21} = 1$.