Distanze e angoli nello spazio affine

Lezioni 39 (seconda parte), 40 e 41 (videolezioni n. 39–41). Prerequisiti: Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →, Complemento ortogonale e proiezioni ortogonaliL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali →, Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →. Esercizi: Esercizio 101 · distanza punto-piano e retta parallela a un piano (appello 2/9/2021), Esercizio 102 · piani paralleli con parametro e retta intersezione (appello 14/6/2022), Esercizio 104 · rette sghembe e perpendicolare comune (appello 17/6/2025), Esercizio 107 · punto di minima distanza da una retta (appello 8/7/2025).

In tutta la nota $\mathbb{A}^n$ ha il prodotto scalare usuale (si parla di spazio euclideo).

Distanza tra due punti

$$d(P, Q) = \| Q - P \| = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + \dots + (q_n - p_n)^2} .$$

È la normaIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli → del vettore $Q - P$, cioè il teorema di Pitagora applicato alle componenti. Esempio: $d((1, 2, 0), (4, 0, 1)) = \|(3, -2, 1)\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.

Distanza di un punto da un sottospazio affine

Definizione. $d(Q, L) = \min\{ d(Q, X) : X \in L \}$: la distanza dal punto di $L$ più vicino.

Esempio. $Q = (0,3)$ e $L$ la retta $y = 0$ di $\mathbb{A}^2$: il punto di $L$ più vicino è $H = (0,0)$ e $d(Q, L) = 3$.

Teorema. Sia $L = P + W$. Esiste un unico punto $H \in L$ tale che $Q - H \in W^\perp$ (cioè $Q - H$ è ortogonale a tutte le direzioni di $L$). È il punto di $L$ più vicino a $Q$, e $d(Q, L) = \|Q - H\|$. $H$ si chiama proiezione ortogonale di $Q$ su $L$ (o piede della perpendicolare).

Perché. Si sposta l'origine in $P$: il vettore $Q - P$ si decompone come $Q - P = p_W(Q - P) + (\text{componente in } W^\perp)$ (proiezione ortogonaleL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali → su $W$), e $H = P + p_W(Q - P)$. Infatti $Q - H = (Q - P) - p_W(Q - P)$ è proprio la componente in $W^\perp$. Per ogni altro $X \in L$, $Q - X = (Q - H) + (H - X)$ con $Q - H \perp H - X$ (il secondo è differenza di due punti di $L$, quindi sta in $W$), e per Pitagora (cioè sviluppando $\|a + b\|^2 = \|a\|^2 + 2\,a \cdot b + \|b\|^2$ con $a \cdot b = 0$) $\|Q - X\|^2 = \|Q - H\|^2 + \|H - X\|^2 \ge \|Q - H\|^2$, con uguaglianza solo se $\|H - X\| = 0$, cioè $X = H$. L'unicità di $H$ viene dall'unicità della decomposizione $\mathbb{R}^n = W \oplus W^\perp$.

Il metodo pratico (quello usato negli esercizi d'esame):

1. si scrive il punto generico di $L$ con le parametriche: $X = P + t_1 w_1 + \dots + t_r w_r$;
2. si impone che $Q - X$ sia ortogonale a ogni vettore direttore: $(Q - X) \cdot w_i = 0$ per $i = 1, \dots, r$ ($r$ equazioni lineari in $t_1, \dots, t_r$);
3. si ricavano i $t_i$, quindi $H$, e $d(Q, L) = \|Q - H\|$.

Il sistema del passo 2 ha sempre una e una sola soluzione: la sua matrice è la matrice di Gram $(w_i \cdot w_j)$ dei vettori direttori, invertibile perché i $w_i$ sono una base.

Esempio: punto e retta. $Q = (1, 2, 3)$, $r: X = t(1, 1, 1)$. Allora $Q - X = (1 - t, 2 - t, 3 - t)$ e

$$(Q - X) \cdot (1, 1, 1) = (1 - t) + (2 - t) + (3 - t) = 6 - 3t = 0 \iff t = 2, \qquad H = (2, 2, 2),$$

$$Q - H = (1 - 2, \ 2 - 2, \ 3 - 2) = (-1, 0, 1), \qquad d(Q, r) = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt2 .$$

Controllo: $(Q - H) \cdot (1, 1, 1) = -1 + 0 + 1 = 0$ ✓.

Distanza di un punto da un iperpiano: la formula

Per un iperpiano la direzione perpendicolare è una sola, quella della normale, e il conto si fa una volta per tutte.

Teorema. Se $\pi: a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = b$ e $a = (a_1, \dots, a_n)$, allora $$d(Q, \pi) = \frac{|a \cdot Q - b|}{\|a\|}, \qquad H = Q - \frac{a \cdot Q - b}{\|a\|^2}\, a .$$

Dimostrazione. Lo spazio direttore di $\pi$ è $\langle a \rangle^\perp$ (vedi Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →), quindi il suo ortogonale è $\langle a \rangle$: la retta per $Q$ perpendicolare a $\pi$ ha direzione $a$, e i suoi punti sono $Q + \lambda a$. Si impone che stia su $\pi$: $a \cdot (Q + \lambda a) = b$; per la linearità del prodotto scalare è $a \cdot Q + \lambda\, (a \cdot a) = a \cdot Q + \lambda \|a\|^2 = b$, quindi $\lambda = -\frac{a \cdot Q - b}{\|a\|^2}$. Questo dà $H = Q + \lambda a$, e $d(Q, \pi) = \|H - Q\| = \|\lambda a\| = |\lambda|\,\|a\| = \frac{|a \cdot Q - b|}{\|a\|^2}\,\|a\| = \frac{|a \cdot Q - b|}{\|a\|}$. ∎

In pratica: si sostituiscono le coordinate di $Q$ nell'equazione (scritta come "$\ldots = 0$"), si prende il valore assoluto e si divide per la norma della normale. In $\mathbb{A}^3$: $d(Q, \pi) = \dfrac{|a q_1 + b q_2 + c q_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Esempio. $Q = (1, 1, 1)$, $\pi: x + 2y + 2z = 1$:

$a = (1, 2, 2)$, $a \cdot Q - b = 1 + 2 + 2 - 1 = 4$, $\|a\|^2 = 1 + 4 + 4 = 9$:

$$d(Q, \pi) = \frac{|4|}{\sqrt{9}} = \frac43, \qquad H = (1, 1, 1) - \frac49 (1, 2, 2) = \left(1 - \tfrac49, \ 1 - \tfrac89, \ 1 - \tfrac89\right) = \left(\tfrac59, \tfrac19, \tfrac19\right).$$

Controllo: $\frac59 + \frac29 + \frac29 = 1$ ✓, $H \in \pi$.

Il segno di $a \cdot Q - b$ (senza valore assoluto) dice da che parte di $\pi$ sta $Q$: due punti sono dalla stessa parte se e solo se danno lo stesso segno. (Il segno è quello di $-\lambda$: positivo se per arrivare a $\pi$ da $Q$ si va nel verso di $-a$, cioè se $Q$ sta dalla parte verso cui punta $a$.)

La stessa formula nel piano (in $\mathbb{A}^2$ gli iperpiani sono le rette): $Q = (3, 3)$, retta $x + 2y = 2$, $a = (1, 2)$. Si ha $a \cdot Q - b = 3 + 6 - 2 = 7$ e $\|a\| = \sqrt5$, quindi $d = \frac{7}{\sqrt5}$ e $H = (3, 3) - \frac75 (1, 2) = \left(\frac85, \frac15\right)$ (controllo: $\frac85 + \frac25 = 2$ ✓). Il punto $R = (-1, 0)$ dà $-1 + 0 - 2 = -3 < 0$: sta dall'altra parte.

Simmetrico di un punto

Il simmetrico di $Q$ rispetto a $L$ (retta o piano) è il punto $Q'$ tale che $H$ sia il punto medio di $QQ'$: da $H = \frac{Q + Q'}{2}$ si ricava

$$Q' = 2H - Q = H + (H - Q).$$

Nell'esempio di $\mathbb{A}^3$: $Q' = 2\left(\frac59, \frac19, \frac19\right) - (1, 1, 1) = \left(\frac{10}{9} - 1, \ \frac29 - 1, \ \frac29 - 1\right) = \left(\frac19, -\frac79, -\frac79\right)$. Nel piano: $Q' = 2\left(\frac85, \frac15\right) - (3, 3) = \left(\frac15, -\frac{13}{5}\right)$.

Distanza tra sottospazi

$d(L, L') = \min\{ d(X, Y) : X \in L, \ Y \in L' \}$. Se si intersecano è $0$. Gli altri casi utili in $\mathbb{A}^3$:

Nei primi tre casi il punto scelto non conta: spostandosi parallelamente la distanza non cambia.

Da dove viene la formula per due piani paralleli. Si prende un punto $X \in \pi'$, quindi con $n \cdot X = d_2$, e si applica la formula punto-piano rispetto a $\pi$: $d(X, \pi) = \frac{|n \cdot X - d_1|}{\|n\|} = \frac{|d_2 - d_1|}{\|n\|}$. Attenzione: le due equazioni devono avere la stessa $n$, non solo normali proporzionali. Esempio: $\pi: x + 2y + 2z = 1$ e $\pi': 2x + 4y + 4z = 11$; dividendo la seconda per $2$ si ha $x + 2y + 2z = \frac{11}{2}$, e $d = \frac{|11/2 - 1|}{3} = \frac{9/2}{3} = \frac32$.

Rette sghembe: la perpendicolare comune

Siano $r: X = P + tv$ e $s: Y = Q + uw$ sghembe. Esistono un unico punto $X_0 \in r$ e un unico punto $Y_0 \in s$ tali che il segmento $X_0 Y_0$ sia ortogonale a entrambe le rette; la retta per $X_0$ e $Y_0$ è la perpendicolare comune e $d(r, s) = \|X_0 - Y_0\|$.

Metodo. Si impone

$$(X - Y) \cdot v = 0, \qquad (X - Y) \cdot w = 0,$$

con $X - Y = P - Q + tv - uw$: due equazioni lineari nelle due incognite $t, u$. Il sistema ha una sola soluzione perché $v$ e $w$ non sono proporzionali (le rette sono sghembe): il determinante del sistema è, a meno del segno, $\|v\|^2\|w\|^2 - (v \cdot w)^2$, che è positivo per la disuguaglianza di Cauchy-SchwarzIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli → stretta.

Esempio. $r: X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 0)$, $s: Y = (0, 1, 1) + u(1, -1, 0)$ (sghembe, vedi Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →). Componente per componente, $X = (1 + t, \ t, \ 0)$ e $Y = (u, \ 1 - u, \ 1)$, quindi $X - Y = (1 + t - u, \ t - 1 + u, \ -1)$:

$$(X - Y) \cdot (1, 1, 0) = (1 + t - u) + (t - 1 + u) + 0 = 2t = 0,$$

$$(X - Y) \cdot (1, -1, 0) = (1 + t - u) - (t - 1 + u) + 0 = 2 - 2u = 0 .$$

Quindi $t = 0$, $u = 1$: $X_0 = (1, 0, 0)$, $Y_0 = (1, 0, 1)$, $X_0 - Y_0 = (0, 0, -1)$ e $d(r, s) = 1$. La perpendicolare comune è la retta per $X_0$ e $Y_0$, cioè $(1, 0, 0) + \lambda (0, 0, 1)$: verticale, ortogonale a $(1, 1, 0)$ e a $(1, -1, 0)$ ✓.

Formula (con il prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →): la direzione della perpendicolare comune è $v \times w$, e la distanza è la lunghezza della proiezione di $Q - P$ su quella direzione:

$$d(r, s) = \frac{|(Q - P) \cdot (v \times w)|}{\|v \times w\|} .$$

Il numeratore è il valore assoluto del prodotto misto, cioè il volume del parallelepipedo di spigoli $Q - P$, $v$, $w$; il denominatore è l'area della base (il parallelogramma di $v$ e $w$): volume diviso base dà l'altezza, che è proprio la distanza.

Nell'esempio $v \times w = (1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1), \ 0 \cdot 1 - 1 \cdot 0, \ 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) = (0, 0, -2)$, $Q - P = (0, 1, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 1)$ e $(Q - P) \cdot (v \times w) = 0 + 0 - 2 = -2$: $d = \frac{|-2|}{\|(0, 0, -2)\|} = \frac{2}{2} = 1$ ✓.

Un'altra strada: $d(r, s)$ è la distanza di un punto di $s$ dal piano che contiene $r$ ed è parallelo a $s$ (lungo quel piano $s$ resta a distanza costante). Nell'esempio il piano per $P = (1, 0, 0)$ con normale $v \times w = (0, 0, -2)$, cioè $z = 0$, contiene $r$ ed è parallelo a $s$; il punto $Q = (0, 1, 1)$ di $s$ ha distanza $\frac{|1 - 0|}{1} = 1$ da $z = 0$ ✓.

Ortogonalità e angoli

Angolo tra due rette con vettori direttori $v$, $w$ (incidenti o no): si prende l'angolo acuto tra le direzioni,

$$\cos\theta = \frac{|v \cdot w|}{\|v\|\,\|w\|}, \qquad 0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}$$

(il valore assoluto perché una retta non ha un verso: $v$ e $-v$ individuano la stessa retta, e cambiare $v$ in $-v$ cambia l'angolo $\alpha$ in $\pi - \alpha$; il valore assoluto sceglie il più piccolo dei due). L'angolo si ricava con l'arcocosenola funzione inversa del coseno su [0, π], $\theta = \arccos\frac{|v \cdot w|}{\|v\|\,\|w\|}$ (Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →, Analisi 1): dato che l'argomento è $\ge 0$, il risultato sta in $[0, \frac{\pi}{2}]$. Ortogonali se $v \cdot w = 0$.

Esempio. $v = (1, 1, 0)$, $w = (1, 0, 1)$: $v \cdot w = 1$, $\|v\| = \|w\| = \sqrt2$, $\cos\theta = \frac{1}{2}$, $\theta = \frac{\pi}{3}$.

Angolo tra due piani: è l'angolo tra le normali, con la stessa formula. Ortogonali se $n_1 \cdot n_2 = 0$; paralleli se $n_1$, $n_2$ sono proporzionali. Esempio. $x + y - z = 1$ e $x - y = 3$: $(1, 1, -1) \cdot (1, -1, 0) = 1 - 1 + 0 = 0$, piani ortogonali.

Angolo tra una retta e un piano: è l'angolo tra la retta e la sua proiezione ortogonale sul piano, cioè il complementare dell'angolo $\alpha$ tra $v$ e la normale $n$: $\varphi = \frac{\pi}{2} - \alpha$, e $\sin\varphi = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$. Per questo la formula ha il seno a sinistra e il "coseno" di $v$ e $n$ a destra:

$$\sin\varphi = \frac{|v \cdot n|}{\|v\|\,\|n\|} .$$

Esempio. Retta con direzione $v = (1, 0, 1)$ e piano $z = 0$ ($n = (0, 0, 1)$): $v \cdot n = 1$, $\|v\| = \sqrt2$, $\|n\| = 1$, quindi $\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt2}$, $\varphi = \frac{\pi}{4}$. Infatti la retta sale di $1$ per ogni $1$ di spostamento orizzontale.

Errori comuni

• Dimenticare il valore assoluto nella formula della distanza punto-piano (una distanza non è mai negativa).
• Usare la formula $\frac{|a \cdot Q - b|}{\|a\|}$ per una retta di $\mathbb{A}^3$: vale solo per gli iperpiani; per una retta si impone l'ortogonalità al vettore direttore.
• Dimenticare di normalizzare: senza dividere per $\|a\|$ il numero dipende da come è scritta l'equazione (moltiplicandola per $2$ raddoppierebbe).
• Calcolare l'angolo retta-piano con il coseno tra $v$ e $n$: quello è l'angolo con la normale; l'angolo con il piano è il complementare.
• Prendere per le rette sghembe la distanza tra due punti qualsiasi: serve la coppia di punti della perpendicolare comune.